Fonctions : variations et extrema
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Comment déterminer le sens de variation d'une fonction par calculs et sur un graphique ? Qu'est ce que les extrema d'une fonction ? Comment dresser et lire un tableau de variation ?
f est croissante sur I signifie que pour tout a et b de I, si a ≤ b, alors f(a) ≤ f(b).
f est décroissante sur I signifie que pour tout a et b de I, si a ≤ b, alors f(a) ≥ f(b).
f est constante sur I signifie que pour tout a et b de I, on a f(a) = f(b).
Exemples :
1) la fonction
est décroissante sur 
.En effet si a ≤ b, alors –a ≥ –b, d’où –a+2 ≥ –b+2, c’est à dire f(a) ≥ f(b).
2) la fonction
est
croissante sur 
.En effet, si a et b sont deux nombres strictement positifs tels que a ≤ b, alors
et 
d’où f(b) ≥
f(a).3) la fonction
est constante sur 
.| f est croissante sur I | f est décroissante sur I | f est constante sur I |
|
|
|
Une flèche montante indiquant la croissance et une descendante indiquant la décroissance.
Exemple : Voici la représentation graphique d’une fonction f sur [0 ; 4], elle est décroissante sur [0 ; 2] et est croissante sur [2 ; 4], on a donc le tableau de variation suivant :
|
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Le maximum M de f sur I est la plus grande valeur de f(x) pour x parcourant I.
On a alors pour tout x de I, f(x) ≤ M.
Le minimum de f sur I est la plus petite valeur de f(x) pour x parcourant I.
On a alors pour tout x de I, f(x) ≥ m.
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Exemple 1 : Voici la représentation graphique d’une fonction f.
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Sur l’intervalle [1 ; 4] : le minimum de f est 1 atteint pour x = 2 le maximum de f est 5 atteint pour x = 4 |
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Exemple 2 : Voici la représentation graphique d’une fonction f :
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Sur l’intervalle [1 ; 4] : le minimum de f est -5 atteint pour x = 4 le maximum de f est -1 atteint pour x = 2 |
 |
Exemple 3 : Voici le tableau de variation d’une fonction f :
Sur l’intervalle [0 ; 5], le maximum de f est 2 atteint pour x = 2 et le minimum est -2 atteint
pour x = 4.
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