Repère et coordonnées d'un vecteur
Objectifs :
Les repères peuvent nous aider dans l’étude
des vecteurs. Dans cette fiche nous allons traiter des
questions suivantes :
- Comment trouver les coordonnées d’un vecteur dans un repère ?
- Comment trouver les coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d’un vecteur par un nombre réel ?
- Comment trouver les coordonnées d’un vecteur dans un repère ?
- Comment trouver les coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d’un vecteur par un nombre réel ?
1. Coordonnées d'un vecteur dans un repère
a. Définition
Le plan étant muni d’un repère
, soit 
un vecteur donné et M le point du
plan tel que 
. Si on note (x ; y) les
coordonnées de M alors 
. Donc 
. Ainsi tout vecteur 
du
plan peut s’écrire sous la forme .
, soit un vecteur donné et M le point du
plan tel que . Si on note (x ; y) les
coordonnées de M alors . Donc . Ainsi tout vecteur du
plan peut s’écrire sous la forme .
Définition
Dire que le vecteur
a pour
coordonnées x et y dans le repère
veut
dire que 
.
Pour indiquer les coordonnées du vecteur
on
utilise la notation : 
Dire que le vecteur
a pour
coordonnées x et y dans le repère
veut
dire que .Pour indiquer les coordonnées du vecteur
on
utilise la notation :
Exemple : Sur le graphique ci-dessous, lire les coordonnées des vecteurs
.
Réponse :
Propriétés
Soient
deux vecteurs d’un
plan muni d’un repère
•
équivaut à x = x’ et y =
y’
• Etant donnés deux point du plan A(xA ; yA) et B(xB ; yB) , le vecteur
a pour coordonnées 
.
Soient
deux vecteurs d’un
plan muni d’un repère•
équivaut à x = x’ et y =
y’• Etant donnés deux point du plan A(xA ; yA) et B(xB ; yB) , le vecteur
a pour coordonnées .
Exemple
Dans un plan muni d’un repère
on a les points E(3 ;4)
F(-2 ;1) et G(-4 ;2). Calculer les
coordonnées des vecteurs 
.Réponse :
d’où 
d’où 
b. Norme d'un vecteur
Propriété
Dans un plan muni d’un repère
orthonormal, si 
Dans un plan muni d’un repère
orthonormal, si
Exemple : Dans le repère orthonormal
on peut
alors calculer la norme de 
et on a
2. Coordonnées de la somme de deux vecteurs et du
produit d'un vecteur par un nombre réel dans un
repère
a. Coordonnées de la somme de deux vecteurs
Propriété
Dans un plan muni d'un repère, si
alors
le vecteur 
a pour coordonnées 
Dans un plan muni d'un repère, si
alors
le vecteur a pour coordonnées
Exemple : Dans un plan muni d'un repère, si
b. Coordonnées du produit d'un vecteur par un
réel
Propriété
Dans un plan muni d'un repère, si
est
un nombre réel alors le vecteur 
a pour coordonnées 
.
Dans un plan muni d'un repère, si
est
un nombre réel alors le vecteur a pour coordonnées .
Exemple : Le plan étant muni d'un repère, soit
Calculer les coordonnées du vecteur
Réponse : Comme
D'où :
Soit
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