Fiche de cours

Repère et coordonnées d'un vecteur

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Objectifs :
Les repères peuvent nous aider dans l’étude des vecteurs. Dans cette fiche nous allons traiter des questions suivantes :
- Comment trouver les coordonnées d’un vecteur dans un repère ?
- Comment trouver les coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d’un vecteur par un nombre réel ?
1. Coordonnées d'un vecteur dans un repère
a. Définition
Le plan étant muni d’un repère , soit un vecteur donné et M le point du plan tel que . Si on note (x ; y) les coordonnées de M alors . Donc . Ainsi tout vecteur du plan peut s’écrire sous la forme .


 
Définition 

Dire que le vecteur a pour coordonnées x et y dans le repère veut dire que .
Pour indiquer les coordonnées du vecteur on utilise la notation :

Exemple : Sur le graphique ci-dessous, lire les coordonnées des vecteurs .


Réponse :

Propriétés

Soient deux vecteurs d’un plan muni d’un repère
• équivaut à x = x’ et y = y’
• Etant donnés deux point du plan A(xA  ; yA) et B(xB  ; yB) , le vecteur a pour coordonnées .
 

Exemple
 Dans un plan muni d’un repère on a les points E(3 ;4) F(-2 ;1) et G(-4 ;2). Calculer les coordonnées des vecteurs .

Réponse :  d’où
  d’où
b. Norme d'un vecteur
Propriété
Dans un plan muni d’un repère orthonormal, si

Exemple : Dans le repère orthonormal on peut alors calculer la norme de et on a
2. Coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d'un vecteur par un nombre réel dans un repère
a. Coordonnées de la somme de deux vecteurs
Propriété

Dans un plan muni d'un repère, si alors le vecteur a pour coordonnées

Exemple : Dans un plan muni d'un repère, si
b. Coordonnées du produit d'un vecteur par un réel
Propriété

Dans un plan muni d'un repère, si est un nombre réel alors le vecteur a pour coordonnées .

Exemple : Le plan étant muni d'un repère, soit
Calculer les coordonnées du vecteur

Réponse : Comme
D'où :
Soit

 

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