Polynômes du second degré - Maxicours

Polynômes du second degré

Objectif
Les fonctions polynômes du second degré sont des fonctions dont les représentations graphiques ont des propriétés de symétrie. D'autres part, les variations et les extremums de telles fonctions sont très facilement descriptibles.
1. Différentes formes
Soit a un nombre réel non nul, b et c deux nombres réels quelconques.
On appelle fonction polynôme du second degré la fonction f définie sur par :
                                             .

Cette forme est appelée la forme développée de .

Exemples de polynômes du second degré :
   
              
 
Attention : Parfois, certaines expressions n’ont pas d’emblée la forme , pourtant ce sont bien des polynômes du second degré.

Remarque : est une fonction affine, aussi appelée fonction polynôme du premier degré.
                 est une fonction polynôme du troisième degré.


Par exemple, peut aussi s’écrire .

Un polynôme du second degré comme peut s'écrire sous 3 formes différentes : 
est sa forme canonique ;
  est sa forme développée ;
  est sa forme factorisée.

La forme canonique générale d'une fonction polynôme est :

Exemple :
est écrite sous forme canonique .
est également sous forme canonique .

La forme développée sert à vérifier qu’il s’agit bien d’un polynôme du second degré.
La forme factorisée sert essentiellement à résoudre des équations et inéquations du second degré.
La forme canonique sert à étudier les variations ou trouver un extremum (minimum ou maximum).
 

2. Une famille de fonctions
Exemple 1 :
Six représentations graphiques sont proposées, définies par les fonctions suivantes :
,       ,            ,
,     ,        .
 
 
(a) La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
 
(b) On remarque que différentes valeurs de β déplacent la courbe parallèlement à l’axe des ordonnées et que différentes valeurs de α la déplacent parallèlement à l’axe des abscisses.
 
(c) Les coordonnées de son sommet (le maximum ou le minimum suivant les cas) sont ; . Elle admet la droite d’équation pour axe de symétrie.
 
 Si  alors .
(d) Le tableau de variation de f est :             
 
Cas a > 0
Cas a < 0

Exemple 2 :
On considère la fonction définie sur .

1. Vérifier que .
Il suffit de développer la deuxième expression :


                  
                  
                  
                                                        
2. Factoriser .
On part de la forme canonique et on reconnait l'identité remarquable



3. Résoudre .
On utilise la forme factorisée pour faire un tableau de signes :



4. Dresser le tableau de variation de E.
On utilise la forme canonique :


 

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