Polynômes du second degré
Objectif
Les fonctions polynômes du second degré sont des
fonctions dont les représentations graphiques ont des
propriétés de symétrie. D'autres part, les
variations et les extremums de telles fonctions sont
très facilement descriptibles.
1. Différentes formes
Soit a un nombre réel non nul, b et
c deux nombres réels quelconques.
On appelle fonction polynôme du second degré la fonction f définie sur
par :
.
Cette forme est appelée la forme développée de
.
On appelle fonction polynôme du second degré la fonction f définie sur
par : .Cette forme est appelée la forme développée de
.
Exemples de polynômes du second degré
:
, pourtant ce sont bien des polynômes du second
degré.Remarque :
est une fonction affine, aussi
appelée fonction polynôme du premier
degré.
est une fonction polynôme du
troisième degré.
Par exemple, 
peut aussi s’écrire
.
peut aussi s’écrire
.
Un polynôme du second degré comme
peut s'écrire sous 3 formes différentes
:
est sa forme canonique ;
est sa forme
développée ;
est sa forme factorisée.
La forme canonique générale d'une fonction polynôme est :
peut s'écrire sous 3 formes différentes
:
est sa forme canonique ; est sa forme
développée ; est sa forme factorisée.La forme canonique générale d'une fonction polynôme est :
Exemple :
est écrite sous forme canonique 
.
est également sous forme canonique 
.
est écrite sous forme canonique .
est également sous forme canonique .
La forme développée sert à
vérifier qu’il s’agit bien d’un
polynôme du second degré.
La forme factorisée sert essentiellement à résoudre des équations et inéquations du second degré.
La forme factorisée sert essentiellement à résoudre des équations et inéquations du second degré.
La forme canonique sert à étudier les
variations ou trouver un extremum (minimum
ou maximum).
2. Une famille de fonctions
Exemple 1 :
Six représentations graphiques sont proposées, définies par les fonctions suivantes :
,
,
,
, 
,
.
Six représentations graphiques sont proposées, définies par les fonctions suivantes :
,
,
,, ,
.
(a) La représentation graphique d’une
fonction polynôme du second degré est une
parabole dont les branches sont tournées vers
le haut si a > 0, vers le bas si a <
0.
(b) On remarque que différentes valeurs de
β déplacent la courbe
parallèlement à l’axe des
ordonnées et que différentes valeurs de
α la déplacent parallèlement
à l’axe des abscisses.
(c) Les coordonnées de son sommet (le maximum
ou le minimum suivant les cas) sont 
;
.
Elle admet la droite d’équation 
pour axe de symétrie.
;
.
Elle admet la droite d’équation
pour axe de symétrie.
Si 
alors 
.
alors .
(d) Le tableau de variation de f est
:
| Cas a > 0 |
|
| Cas a < 0 |
|
Exemple 2 :
On considère la fonction
définie sur 
.
1. Vérifier que
.
Il suffit de développer la deuxième expression :
2. Factoriser
.
On part de la forme canonique et on reconnait l'identité remarquable
3. Résoudre
.
On utilise la forme factorisée pour faire un tableau de signes :
4. Dresser le tableau de variation de E.
On utilise la forme canonique :
On considère la fonction
définie sur .1. Vérifier que
.Il suffit de développer la deuxième expression :
2. Factoriser
.On part de la forme canonique et on reconnait l'identité remarquable
3. Résoudre
.On utilise la forme factorisée pour faire un tableau de signes :
4. Dresser le tableau de variation de E.
On utilise la forme canonique :
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