Le cercle trigonométrique
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Objectif
Les fonctions sinus et cosinus ont été
introduites dans les formules trigonométriques qui
nous permettent de calculer des longueurs ou des angles dans
un triangle rectangle. Revoyons ces fonctions plus en
détail à partir de la notion de cercle
trigonométrique.
1. Enroulement de la droite « numérique
» sur le cercle trigonométrique
Le plan est rapporté à un repère
orthonormé . On considère un cercle
C de centre O et de rayon 1. A est
le point de C de coordonnées (1 ; 0).
Définition :
Définition :
On définit un sens sur ce cercle,
appelé « direct », c'est
à dire dans le sens inverse des aiguilles
d’une montre.
On appelle ce cercle trigonométrique le cercle C muni du sens direct.
On appelle ce cercle trigonométrique le cercle C muni du sens direct.
Rappel : la longueur du cercle C
(périmètre) est égale à
car r =1.
Exemple :
Supposons que l’on s’intéresse au
mouvement d’un satellite en orbite circulaire
autour de la Terre. Au départ, le satellite part
de la position A et tourne dans le sens de la
flèche.
L’unité choisie est la distance Terre-Satellite (TS), c’est-à-dire que TS = 1.
Si le satellite revient à sa position de départ, il a parcouru unités. Pour Atteindre la position A2, il doit parcourir unités (la moitié) et pour atteindre la position A1, il doit parcourir unités (le quart). En effectuant un parcourt de longueur , le satellite revient en position A2.
L’unité choisie est la distance Terre-Satellite (TS), c’est-à-dire que TS = 1.
Si le satellite revient à sa position de départ, il a parcouru unités. Pour Atteindre la position A2, il doit parcourir unités (la moitié) et pour atteindre la position A1, il doit parcourir unités (le quart). En effectuant un parcourt de longueur , le satellite revient en position A2.
En fait, à chaque fois que l’on repasse par
la même position, la longueur du trajet est
augmentée de .
De même, en effectuant un parcours de longueur , le satellite revient en position A1.
Soit d la droite tangente au cercle au
point A. On a construit sur d une
échelle basée sur . Si on enroule la droite
d sur le cercle, les points de d
coïncident avec des points du
cercle.
Remarque : Utiliser les abscisses négatives
revient à tourner dans le sens indirect.
Conséquence : A chaque nombre réel
x de la droite des nombres réels correspond
un point unique sur le cercle C.
2. Une nouvelle unité, le radian
Considérons le cercle trigonométrique de
centre O et A et M, deux points de
ce cercle. Soit l la longueur de l’arc de
cercle AM.
La mesure en radians de l’angle
est donnée par la longueur l.
Exemple 1 :
Si M est en B alors la longueur de l’arc de cercle AB est (car ).
Par conséquent l’angle a pour mesure radians.
Si M est en B alors la longueur de l’arc de cercle AB est (car ).
Par conséquent l’angle a pour mesure radians.
Remarque : La mesure d’un angle en radian et la
mesure du secteur angulaire correspondant en
degré, sont proportionnels :
Exemple 2 :
Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants aux réels suivant :
Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants aux réels suivant :
3. Sinus et cosinus d'un réel
Soit C le cercle trigonométrique dans un
repère orthonormal et x un nombre
réel.
Soit M est le point correspondant au nombre x lors de l’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique.
Définition :
On appelle cosinus et sinus de x, que l'on note cos(x) et sin(x), les coordonnées du point M dans le repère .
Alors M a pour coordonnées : .
Soit M est le point correspondant au nombre x lors de l’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique.
Définition :
On appelle cosinus et sinus de x, que l'on note cos(x) et sin(x), les coordonnées du point M dans le repère .
Alors M a pour coordonnées : .
Exemple :
Plaçons-nous dans la situation dans laquelle . Notons H le point situé sur l’axe des abscisses de sorte que la droite (MH) soit perpendiculaire à l’axe des abscisses.
Si l’angle mesure α degrés, la hauteur vaut car OM = 1.
On retrouve le sinus connu depuis le collège. De même .
Plaçons-nous dans la situation dans laquelle . Notons H le point situé sur l’axe des abscisses de sorte que la droite (MH) soit perpendiculaire à l’axe des abscisses.
Si l’angle mesure α degrés, la hauteur vaut car OM = 1.
On retrouve le sinus connu depuis le collège. De même .
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