Somme de deux vecteurs
Objectifs :
Les vecteurs sont des objets géométriques qui nous
permettent de définir les translations. Dans cette
fiche, nous allons continuer notre étude des
vecteurs.
- Que signifie additionner des vecteurs ?
- Comment construire géométriquement cette somme ?
- Comment définir le milieu d'un segment avec des vecteurs ?
- A quoi correspond la relation de Chasles ?
Tels sont les thèmes que nous allons aborder.
- Que signifie additionner des vecteurs ?
- Comment construire géométriquement cette somme ?
- Comment définir le milieu d'un segment avec des vecteurs ?
- A quoi correspond la relation de Chasles ?
Tels sont les thèmes que nous allons aborder.
1. Somme de deux vecteurs
Sur le dessin ci-dessous, on enchaîne une translation
de vecteur 
qui transforme le triangle ABC en le
triangle A1B1C1 et une
translation de vecteur 
qui transforme le triangle
A1B1C1 en le triangle
A2B2C2.
On peut constater que l’on peut passer directement du triangle ABC au triangle A2B2C2 par une translation dont on notera le vecteur
.
Exemples
Construire dans chacun des cas suivants la somme des deux vecteurs.
Réponses
qui transforme le triangle ABC en le
triangle A1B1C1 et une
translation de vecteur qui transforme le triangle
A1B1C1 en le triangle
A2B2C2.On peut constater que l’on peut passer directement du triangle ABC au triangle A2B2C2 par une translation dont on notera le vecteur
.
D’où la
propriété
L’enchaînement d’une translation de vecteur
et d’une translation de vecteur 
est une translation de vecteur 
. Ce vecteur 
est appelé somme des
vecteurs 
.
L’enchaînement d’une translation de vecteur
et d’une translation de vecteur est une translation de vecteur . Ce vecteur
est appelé somme des
vecteurs .
Exemples
Construire dans chacun des cas suivants la somme des deux vecteurs.
| Cas 1 | Cas 2 |
|
|
Réponses
| Cas 1 | Cas 2 |
Pour retrouver la situation géométrique
précédente, on peut prendre le
représentant  qui a pour origine
l’extrémité de  Puis on effectue la construction du vecteur
|
Comme au cas 1, on peut prendre le
représentant de  qui a pour origine B. Puis on construit le
vecteur somme nommé 
|
|
|
2. Relation de Chasles
Relation de
Chasles
Quels que soient les points A, B et C du plan on a :
.
Quels que soient les points A, B et C du plan on a :
.
Exemple : Simplifier l’expression suivante.
3. Opposé d'un vecteur
Définition
Si un vecteur
et un vecteur 
ont la même direction, la même longueur et
des sens opposés, on dit que ces vecteurs sont opposés et on
note : 
Si un vecteur
et un vecteur ont la même direction, la même longueur et
des sens opposés, on dit que ces vecteurs sont opposés et on
note :
Exemple : Sur le dessin suivant, citer des vecteurs opposés.
AEFG est un parallélogramme
Réponse
Les vecteurs
sont opposés et on peut écrire 
Les vecteurs
sont opposés et on peut écrire 
.
4. Milieu d'un segment
Propriété
Si I est le milieu du segment [AB], on peut écrire :
Si I est le milieu du segment [AB], on peut écrire :
Propriété
réciproque
Si
alors I est le milieu du segment [AB].
Si
alors I est le milieu du segment [AB].
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