Fiche de cours

Somme de deux vecteurs

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Objectifs :
Les vecteurs sont des objets géométriques qui nous permettent de définir les translations. Dans cette fiche, nous allons continuer notre étude des vecteurs.
- Que signifie additionner des vecteurs ?
- Comment construire géométriquement cette somme ?
- Comment définir le milieu d'un segment avec des vecteurs ?
- A quoi correspond la relation de Chasles ?
Tels sont les thèmes que nous allons aborder.
1. Somme de deux vecteurs
Sur le dessin ci-dessous, on enchaîne une translation de vecteur qui transforme le triangle ABC en le triangle A1B1C1 et une translation de vecteur  qui transforme le triangle A1B1C1 en le triangle A2B2C2.


On peut constater que l’on peut passer directement du triangle ABC au triangle A2B2C2 par une translation dont on notera le vecteur .

D’où la propriété

L’enchaînement d’une translation de vecteur et d’une translation de vecteur est une translation de vecteur . Ce vecteur  est appelé somme des vecteurs .

Exemples
 Construire dans chacun des cas suivants la somme des deux vecteurs.

Cas 1 Cas 2
   

Réponses
Cas 1 Cas 2
Pour retrouver la situation géométrique précédente, on peut prendre le représentant qui a pour origine l’extrémité de Puis on effectue la construction du vecteur Comme au cas 1, on peut prendre le représentant de qui a pour origine B. Puis on construit le vecteur somme nommé
   

2. Relation de Chasles
Relation de Chasles

Quels que soient les points A, B et C du plan on a : .

Exemple : Simplifier l’expression suivante.


 

3. Opposé d'un vecteur
Définition

Si un vecteur et un vecteur ont la même direction, la même longueur et des sens opposés, on dit que ces vecteurs sont opposés et on note :

Exemple : Sur le dessin suivant, citer des vecteurs opposés.

AEFG est un parallélogramme

Réponse 
Les vecteurs sont opposés et on peut écrire
Les vecteurs sont opposés et on peut écrire .
4. Milieu d'un segment
Propriété

Si I est le milieu du segment [AB], on peut écrire :

Propriété réciproque

Si alors I est le milieu du segment [AB].

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