Somme de deux vecteurs
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Objectifs :
Les vecteurs sont des objets géométriques qui nous
permettent de définir les translations. Dans cette
fiche, nous allons continuer notre étude des
vecteurs.
- Que signifie additionner des vecteurs ?
- Comment construire géométriquement cette somme ?
- Comment définir le milieu d'un segment avec des vecteurs ?
- A quoi correspond la relation de Chasles ?
Tels sont les thèmes que nous allons aborder.
- Que signifie additionner des vecteurs ?
- Comment construire géométriquement cette somme ?
- Comment définir le milieu d'un segment avec des vecteurs ?
- A quoi correspond la relation de Chasles ?
Tels sont les thèmes que nous allons aborder.
1. Somme de deux vecteurs
Sur le dessin ci-dessous, on enchaîne une translation
de vecteur qui transforme le triangle ABC en le
triangle A1B1C1 et une
translation de vecteur qui transforme le triangle
A1B1C1 en le triangle
A2B2C2.
On peut constater que l’on peut passer directement du triangle ABC au triangle A2B2C2 par une translation dont on notera le vecteur .
Exemples
Construire dans chacun des cas suivants la somme des deux vecteurs.
Réponses
On peut constater que l’on peut passer directement du triangle ABC au triangle A2B2C2 par une translation dont on notera le vecteur .
D’où la
propriété
L’enchaînement d’une translation de vecteur et d’une translation de vecteur est une translation de vecteur . Ce vecteur est appelé somme des vecteurs .
L’enchaînement d’une translation de vecteur et d’une translation de vecteur est une translation de vecteur . Ce vecteur est appelé somme des vecteurs .
Exemples
Construire dans chacun des cas suivants la somme des deux vecteurs.
Cas 1 | Cas 2 |
Réponses
Cas 1 | Cas 2 |
Pour retrouver la situation géométrique précédente, on peut prendre le représentant qui a pour origine l’extrémité de Puis on effectue la construction du vecteur | Comme au cas 1, on peut prendre le représentant de qui a pour origine B. Puis on construit le vecteur somme nommé |
2. Relation de Chasles
Relation de
Chasles
Quels que soient les points A, B et C du plan on a : .
Quels que soient les points A, B et C du plan on a : .
Exemple : Simplifier l’expression suivante.
3. Opposé d'un vecteur
Définition
Si un vecteur et un vecteur ont la même direction, la même longueur et des sens opposés, on dit que ces vecteurs sont opposés et on note :
Si un vecteur et un vecteur ont la même direction, la même longueur et des sens opposés, on dit que ces vecteurs sont opposés et on note :
Exemple : Sur le dessin suivant, citer des vecteurs opposés.
AEFG est un parallélogramme
Réponse
Les vecteurs sont opposés et on peut écrire
Les vecteurs sont opposés et on peut écrire .
4. Milieu d'un segment
Propriété
Si I est le milieu du segment [AB], on peut écrire :
Si I est le milieu du segment [AB], on peut écrire :
Propriété
réciproque
Si alors I est le milieu du segment [AB].
Si alors I est le milieu du segment [AB].
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