Repères et coordonnées d'un point
Objectifs :
Les repères nous offrent une autre manière de
répondre à de nombreux problèmes de
géométrie. Dans cette fiche nous allons aborder les
questions suivantes :
- Quelles sont les différents types de repères ?
- Comment lire les coordonnées d’un point dans un repère ?
- Comment placer un point dans un repère lorsque l’on connait ses coordonnées ?
- Comment calculer les coordonnées du milieu d’un segment et comment calculer sa longueur ?
- Quelles sont les différents types de repères ?
- Comment lire les coordonnées d’un point dans un repère ?
- Comment placer un point dans un repère lorsque l’on connait ses coordonnées ?
- Comment calculer les coordonnées du milieu d’un segment et comment calculer sa longueur ?
1. Les repères
Définition
Un repère du plan est défini par trois points non alignés (O,I,J). Le point O est l’origine du repère, la droite (OI) est appelée l’axe des abscisses, la droite (OJ) est appelée l’axe des ordonnées.
On peut aussi définir un repère à l’aide des vecteurs. Si on pose
le repère sera noté 
avec 
deux vecteurs non colinéaires. Dans ce cas
est l’axe des abscisses et 
est l’axe des ordonnées.
Un repère du plan est défini par trois points non alignés (O,I,J). Le point O est l’origine du repère, la droite (OI) est appelée l’axe des abscisses, la droite (OJ) est appelée l’axe des ordonnées.
On peut aussi définir un repère à l’aide des vecteurs. Si on pose
le repère sera noté
avec
deux vecteurs non colinéaires. Dans ce cas
est l’axe des abscisses et
est l’axe des ordonnées.
Exemples :
Cas particuliers :
Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal.
Si les points O, I, J forment un triangle rectangle isocèle en O (c'est-à-dire si OI = OJ et (OI) (OJ)) alors le repère est dit orthonormal (ou orthonormé).
Exemple de repère orthonormal :
avec
.
2. Coordonnées d'un point
Propriété
Dans un repère
,
pour tout point M du plan il existe un couple unique de nombres
réels (x ;y) tels que 
Dans un repère
,
pour tout point M du plan il existe un couple unique de nombres
réels (x ;y) tels que
On dit que (x ; y) est le couple de coordonnées du point M et on
notera M(x ; y).
On appelle x l’abscisse de M et y son ordonnée.
On appelle x l’abscisse de M et y son ordonnée.
a. Comment lire les coordonnées d'un point
Pour lire les coordonnées d’un point M dans un
repère, on commence par tracer la parallèle
à chacun des axes passant par M.
On lit la valeur de l’abscisse du point M à l’intersection entre l’axe des abscisses et la parallèle à l’axe des ordonnées.
On lit la valeur de l’ordonnée du point M à l’intersection entre l’axe des ordonnées et la parallèle à l’axe des abscisses.
Exemple
On a donc M(2 ; 3).
On lit la valeur de l’abscisse du point M à l’intersection entre l’axe des abscisses et la parallèle à l’axe des ordonnées.
On lit la valeur de l’ordonnée du point M à l’intersection entre l’axe des ordonnées et la parallèle à l’axe des abscisses.
Exemple
On a donc M(2 ; 3).
b. Comment placer un point dont on connait les
coordonnées
Si l’on veut placer dans un repère 
le point M(2 ;-1) On commence
par tracer la parallèle à l’axe des
ordonnées passant par l’abscisse 2.
Puis on trace la parallèle à l’axe des abscisses passant par l’ordonnée -1.
le point M(2 ;-1) On commence
par tracer la parallèle à l’axe des
ordonnées passant par l’abscisse 2.Puis on trace la parallèle à l’axe des abscisses passant par l’ordonnée -1.
3. Milieu et longueur d'un segment
a. Milieu d'un segment
Propriété
Dans un plan muni d’un repère
étant donné deux points
A(xA ;yA) et
B(xB ;yB), le
milieu du segment
[AB] a pour coordonnées ( 
(xA
+ xB) ; (
(yA + yB) )
Dans un plan muni d’un repère
étant donné deux points
A(xA ;yA) et
B(xB ;yB), le
milieu du segment
[AB] a pour coordonnées ( (xA
+ xB) ; (
(yA + yB) )
Exemple
Dans un repère
, on
considère les points E(3 ;4) et F (-1 ;
2). Calculer les coordonnées du point P milieu de
[EF] :L’abscisse de P vaut
(3-1) =
1 et l’ordonnée de P vaut (4+2)=3.D’où P(1 ;3).
b. Longueur d'un segment
Propriété
Dans un plan muni d’un repèreorthonormal,
si A(xA ;yA) et
B(xB ;yB) sont deux points
alors la distance de A à B est AB = 
Dans un plan muni d’un repère
orthonormal,
si A(xA ;yA) et
B(xB ;yB) sont deux points
alors la distance de A à B est AB =
Exemple
Soit A(4 ;3) et E(5 ;-2) deux points d’un plan muni d’un repère orthonormal
Calculer la distance AE.AE =
D’où AE =
cm.
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