Repères et coordonnées d'un point - Maxicours

Repères et coordonnées d'un point

Objectifs :
Les repères nous offrent une autre manière de répondre à de nombreux problèmes de géométrie. Dans cette fiche nous allons aborder les questions suivantes :
- Quelles sont les différents types de repères ?
- Comment lire les coordonnées d’un point dans un repère ?
- Comment placer un point dans un repère lorsque l’on connait ses coordonnées ?
- Comment calculer les coordonnées du milieu d’un segment et comment calculer sa longueur ?
1. Les repères
Définition

Un repère du plan est défini par trois points non alignés (O,I,J). Le point O est l’origine du repère, la droite (OI) est appelée l’axe des abscisses, la droite (OJ) est appelée l’axe des ordonnées.

On peut aussi définir un repère à l’aide des vecteurs. Si on pose le repère sera noté avec deux vecteurs non colinéaires. Dans ce cas est l’axe des abscisses et est l’axe des ordonnées.

Exemples :

Cas particuliers :
Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal.
Si les points O, I, J forment un triangle rectangle isocèle en O (c'est-à-dire si OI = OJ et (OI) (OJ)) alors le repère est dit orthonormal (ou orthonormé).

Exemple de repère orthonormal :

avec .

2. Coordonnées d'un point
Propriété
Dans un repère , pour tout point M du plan il existe un couple unique de nombres réels (x ;y) tels que 

On dit que (x ; y) est le couple de coordonnées du point M et on notera M(x ; y).
On appelle x l’abscisse de M et y son ordonnée.
a. Comment lire les coordonnées d'un point
Pour lire les coordonnées d’un point M dans un repère, on commence par tracer la parallèle à chacun des axes passant par M.
On lit la valeur de l’abscisse du point M à l’intersection entre l’axe des abscisses et la parallèle à l’axe des ordonnées.
On lit la valeur de l’ordonnée du point M à l’intersection entre l’axe des ordonnées et la parallèle à l’axe des abscisses.

Exemple

On a donc M(2 ; 3).
 

b. Comment placer un point dont on connait les coordonnées
Si l’on veut placer dans un repère le point M(2 ;-1) On commence par tracer la parallèle à l’axe des ordonnées passant par l’abscisse 2.

Puis on trace la parallèle à l’axe des abscisses passant par l’ordonnée -1.

3. Milieu et longueur d'un segment
a. Milieu d'un segment
Propriété

Dans un plan muni d’un repère étant donné deux points A(xA ;yA) et B(xB ;yB), le milieu du segment [AB] a pour coordonnées ( (xA + xB) ; ( (yA + yB) )

Exemple
Dans un repère , on considère les points E(3 ;4) et F (-1 ; 2). Calculer les coordonnées du point P milieu de [EF] :

L’abscisse de P vaut (3-1) = 1 et l’ordonnée de P vaut (4+2)=3.
D’où P(1 ;3).
b. Longueur d'un segment
Propriété

Dans un plan muni d’un repère orthonormal, si A(xA ;yA) et B(xB ;yB) sont deux points alors la distance de A à B est AB =

Exemple

Soit A(4 ;3) et E(5 ;-2) deux points d’un plan muni d’un repère orthonormal Calculer la distance AE.


AE =
D’où AE =  cm.

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