Le triangle rectangle : Théorème de Pythagore, cercle circonscrit
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Objectifs :
Comment calculer la longueur d’un côté du
triangle rectangle avec le théorème de Pythagore
?
Comment savoir si un triangle est rectangle ou pas ?
Que peut-on dire de la médiane issue de l’angle droit d’un triangle rectangle ?
Quelle relation y-a-t-il entre un triangle rectangle et son cercle circonscrit ?
Telles sont les questions que nous allons traiter dans cette fiche.
Comment savoir si un triangle est rectangle ou pas ?
Que peut-on dire de la médiane issue de l’angle droit d’un triangle rectangle ?
Quelle relation y-a-t-il entre un triangle rectangle et son cercle circonscrit ?
Telles sont les questions que nous allons traiter dans cette fiche.
1. Le théorème de Pythagore et sa
réciproque
a. Comment calculer la longueur d'un côté
dans un triangle rectangle : le théorème de
Pythagore
Théorème
Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle.
Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle.
Exemple : Soit le triangle ABC rectangle en C. On donne AC = 5 cm et AB = 8 cm. Calculer BC.
Réponse
Le triangle ABC étant rectangle en C, on peut utiliser le théorème de Pythagore qui donne :
AB² = AC² + BC²
8² = 5² + BC²
D’où 64 = 25 + BC²
donc BC² = 64 - 25 = 39
Comme une longueur est positive, on a :8² = 5² + BC²
D’où 64 = 25 + BC²
donc BC² = 64 - 25 = 39
BC=
(arrondi
au centième).
b. Comment savoir si un triangle est rectangle ou
non : la réciproque et la contraposée du
théorème de Pythagore
Réciproque du
théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Contraposée du
théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.
Exemple : Le triangle EFG tel que EF = 7 cm, EG = 8 cm et FG = 4 cm est-il rectangle ?
EG² = 8² = 64
EF² + FG² = 7² + 4² = 49 + 16 = 65
EG²
EF² + FG²Or, on sait que si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle n’est pas rectangle.
Le triangle EFG n’est pas rectangle.
2. Triangle rectangle et médiane
Propriété
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
Exemple : Soit le triangle IJK rectangle en K. On note P le milieu de [IJ]. On donne IJ = 7 cm. Calculer PK.
Le triangle IJK étant rectangle en K, on sait que la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
PK =
Propriété
réciproque
Si, dans un triangle, la médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet.
Si, dans un triangle, la médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet.
Exemple : Le triangle UPR est-il rectangle ?
Comme IR = UI = IP = 5 cm, la médiane issue de R a une longueur égale à la moitié de la longueur de son côté opposé PU alors :
le triangle UPR est rectangle en R.
3. Cercle circonscrit au triangle rectangle
Propriété
Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
Propriété
réciproque
Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est un des côtés du triangle, alors ce triangle est rectangle.
Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est un des côtés du triangle, alors ce triangle est rectangle.
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