Polynômes de degré 2 : définition et propriétés
1. Définition d'un polynôme du second
degré
a. Définition
Un polynôme ou trinôme du second
degré est une fonction f
pouvant s’écrire 
pour tout réel x, où a,
b et c sont des constantes réelles
avec a non nulle.
pour tout réel x, où a,
b et c sont des constantes réelles
avec a non nulle.
On appelle aussi trinôme du second degré l'expression seule :
.
b. Exemples
► La fonction 
est un
trinôme du second degré car pour tout
x elle s’écrit sous la forme
avec
a = 2, b = -3 et c = 1.
► De même, la fonction
est aussi un trinôme du second degré avec
ici 
,
b = 0 et c = 1.
► En revanche, la fonction
n’est
pas un trinôme du second degré car il
n’existe pas de terme en 
, ce qui
correspondrait à a = 0.
est un
trinôme du second degré car pour tout
x elle s’écrit sous la forme
avec
a = 2, b = -3 et c = 1.► De même, la fonction
est aussi un trinôme du second degré avec
ici ,
b = 0 et c = 1.► En revanche, la fonction
n’est
pas un trinôme du second degré car il
n’existe pas de terme en , ce qui
correspondrait à a = 0.
2. Forme canonique du trinôme du second
degré
a. Mise sous forme canonique
Pour tout x réel, 
.
Cette forme est appelée forme canonique du trinôme du second degré.
.Cette forme est appelée forme canonique du trinôme du second degré.
Preuve :
et 
donc
on peut le mettre en facteur 
.On considère que
est le
début de l’identité remarquable
avec
A = x et 
.Ainsi, en réduisant au même dénominateur 4a² puis en développant a.
Remarque
Bien sûr, il n’est pas nécessaire de retenir cette formule par cœur, le plus important est de comprendre la technique employée.
b. Exemple
On reconnaît les 4 étapes :
• je mets
en
facteur ;• je considère
comme le début de 
soit
;• je réduis sur le même dénominateur
;• je développe 3.
3. Conséquence graphique
a. Théorème
Dans un repère orthogonal, la courbe
d’équation 
avec 
est une parabole de sommet le point
d’abscisse 
.
Elle est tournée vers le haut (forme en
« U ») lorsque a > 0 et
tournée vers le bas (forme en « pont
») lorsque a < 0.avec est une parabole de sommet le point
d’abscisse .
Preuve :
On a vu en seconde que toute fonction trinôme du second degré admet une forme canonique s’écrivant
et, connaissant cette forme, la courbe d’une
fonction trinôme est une parabole de sommet le
point 
de coordonnées 
.Or la forme canonique précédente permet d’écrire
.En s’appuyant sur cette forme, on en déduit que la courbe d’une fonction trinôme est une parabole de sommet le point de coordonnées
.Il est important de retenir l’abscisse du sommet. Par contre son ordonnée s’obtient facilement en remplaçant x par
dans 
.
b. Exemples
• La parabole d’équation 
a pour
sommet le point 
d’abscisse
.
Son ordonnée vaut
. Ainsi
.
Elle est tournée vers le haut car
.
• La parabole d’équation
a pour sommet le
point 
d’abscisse
.
Son ordonnée vaut
. Ainsi
.
Elle est tournée vers le bas car
.
a pour
sommet le point d’abscisse
.Son ordonnée vaut
. Ainsi
.Elle est tournée vers le haut car
.• La parabole d’équation
a pour sommet le
point d’abscisse
.Son ordonnée vaut
. Ainsi
.Elle est tournée vers le bas car
.
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