Polynômes de degré 2 : définition et propriétés
1. Définition d'un polynôme du second
degré
a. Définition
Un polynôme ou trinôme du second
degré est une fonction f
pouvant s’écrire
pour tout réel x, où a,
b et c sont des constantes réelles
avec a non nulle.

On appelle aussi trinôme du second degré l'expression seule :

b. Exemples
► La fonction
est un
trinôme du second degré car pour tout
x elle s’écrit sous la forme
avec
a = 2, b = -3 et c = 1.
► De même, la fonction
est aussi un trinôme du second degré avec
ici
,
b = 0 et c = 1.
► En revanche, la fonction
n’est
pas un trinôme du second degré car il
n’existe pas de terme en
, ce qui
correspondrait à a = 0.


► De même, la fonction


► En revanche, la fonction


2. Forme canonique du trinôme du second
degré
a. Mise sous forme canonique
Pour tout x réel,
.
Cette forme est appelée forme canonique du trinôme du second degré.

Cette forme est appelée forme canonique du trinôme du second degré.
Preuve :



On considère que



Ainsi, en réduisant au même dénominateur 4a² puis en développant a.

Remarque
Bien sûr, il n’est pas nécessaire de retenir cette formule par cœur, le plus important est de comprendre la technique employée.
b. Exemple

On reconnaît les 4 étapes :
• je mets

• je considère



• je réduis sur le même dénominateur

• je développe 3.
3. Conséquence graphique
a. Théorème
Dans un repère orthogonal, la courbe
d’équation
avec
est une parabole de sommet le point
d’abscisse
.
Elle est tournée vers le haut (forme en
« U ») lorsque a > 0 et
tournée vers le bas (forme en « pont
») lorsque a < 0.



Preuve :
On a vu en seconde que toute fonction trinôme du second degré admet une forme canonique s’écrivant



Or la forme canonique précédente permet d’écrire

En s’appuyant sur cette forme, on en déduit que la courbe d’une fonction trinôme est une parabole de sommet le point de coordonnées

Il est important de retenir l’abscisse du sommet. Par contre son ordonnée s’obtient facilement en remplaçant x par


b. Exemples
• La parabole d’équation
a pour
sommet le point
d’abscisse
.
Son ordonnée vaut
. Ainsi
.
Elle est tournée vers le haut car
.
• La parabole d’équation
a pour sommet le
point
d’abscisse
.
Son ordonnée vaut
. Ainsi
.
Elle est tournée vers le bas car
.




Son ordonnée vaut


Elle est tournée vers le haut car

• La parabole d’équation



Son ordonnée vaut


Elle est tournée vers le bas car



Fiches de cours les plus recherchées
Découvrir le reste du programme


Des profs en ligne
- 6 j/7 de 17 h à 20 h
- Par chat, audio, vidéo
- Sur les matières principales

Des ressources riches
- Fiches, vidéos de cours
- Exercices & corrigés
- Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques
- Coach virtuel
- Quiz interactifs
- Planning de révision

Des tableaux de bord
- Suivi de la progression
- Score d’assiduité
- Un compte Parent