Applications de la dérivation
Dire que :
f est croissante sur I signifie que

f est décroissante sur I signifie que

f est constante sur I signifie que

Compléments
• Être monotone sur un intervalle I signifie être croissante ou décroissante sur cet intervalle.
• Si f '(x) > 0 (respectivement f '(x) < 0) sur I alors on peut dire que f est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur l'intervalle I.
Étudier les variations de la fonction f définie sur


La fonction f est dérivable sur


Il s'agit maintenant d'étudier le signe de

Pour ceci, on calcule



Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines.
Or a = – 9 < 0 donc on peut résumer ainsi le signe de f ' (x) :

D'après le théorème, on peut dire que
f est décroissante sur


f est croissante sur

En général, on récapitule les variations dans un tableau, comme en seconde, en ajoutant une ligne supplémentaire : celle qui donne le signe de f '(x).

Dire que f admet un maximum (respectivement minimum) local en x0 signifie qu'il existe un intervalle ouvert J contenant x0 tel que f (x0) soit la plus grande valeur (respectivement la plus petite valeur) prise par f (x) sur J.

Dans l'exemple ci-dessus, on considère la fonction f définie sur l'intervalle

• Considérons l'intervalle ouvert

• De même, considérons l'intervalle ouvert

L'intervalle J est considéré ouvert de façon à ce que le réel x0 ne soit pas une borne de l'intervalle, autrement dit x0 est à « l'intérieur » de l'intervalle J.
Soit x0 un réel de I, distinct des bornes de I.
Si f ' s'annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.
Ainsi, 2 cas de figure s'imposent :

f admet un minimum local en x0

f admet un maximum local en x0
Réciproque
Si f admet un extremum local en x0 alors f '(x0) = 0.


La fonction f est dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables avec x2 + 1 ≠ 0 sur


(x2 + 1)2 > 0 donc f '(x) est du signe de 1 – x2.
1 – x2 est un trinôme qui s'annule en –1 et en 1 ; il est du signe de a à l'extérieur des racines.
Ainsi,





Dressons le tableau de variation de f pour mieux visualiser la nature des extrema de f :

Comme f '(–1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en –1 qui est en fait un minimum.
Comme f '(1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en 1 qui est en fait un maximum.

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