Applications de la dérivation
1. À l'étude du sens de variation d'une
fonction
a. Théorème donnant le lien entre le
signe de la dérivée et le sens de variation
d'une fonction
Soit f une fonction dérivable sur un
intervalle I.
Dire que :
f est croissante sur I signifie que
pour
tout réel x de I.
f est décroissante sur I signifie que
pour
tout réel x de I.
f est constante sur I signifie que
pour
tout réel x de I.
Dire que :
f est croissante sur I signifie que

f est décroissante sur I signifie que

f est constante sur I signifie que

Compléments
• Être monotone sur un intervalle I signifie être croissante ou décroissante sur cet intervalle.
• Si f '(x) > 0 (respectivement f '(x) < 0) sur I alors on peut dire que f est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur l'intervalle I.
b. Comment étudier les variations d'une
fonction à l'aide de la dérivée
Exemple
Étudier les variations de la fonction f définie sur
par
.
La fonction f est dérivable sur
en tant que somme de fonctions dérivables
et
.
Il s'agit maintenant d'étudier le signe de
: on reconnaît ici un trinôme de
second degré.
Pour ceci, on calcule
donc le trinôme admet 2 racines distinctes
:


Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines.
Or a = – 9 < 0 donc on peut résumer ainsi le signe de f ' (x) :

D'après le théorème, on peut dire que
f est décroissante sur
et sur 
f est croissante sur
.
En général, on récapitule les variations dans un tableau, comme en seconde, en ajoutant une ligne supplémentaire : celle qui donne le signe de f '(x).

Étudier les variations de la fonction f définie sur


La fonction f est dérivable sur


Il s'agit maintenant d'étudier le signe de

Pour ceci, on calcule



Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines.
Or a = – 9 < 0 donc on peut résumer ainsi le signe de f ' (x) :

D'après le théorème, on peut dire que
f est décroissante sur


f est croissante sur

En général, on récapitule les variations dans un tableau, comme en seconde, en ajoutant une ligne supplémentaire : celle qui donne le signe de f '(x).

2. À la recherche d'extremum (minimum ou maximum)
local d'une fonction
a. Maximum ou minimum local d'une fonction
f est une fonction définie sur un
intervalle I et x0 un
réel de I.
Dire que f admet un maximum (respectivement minimum) local en x0 signifie qu'il existe un intervalle ouvert J contenant x0 tel que f (x0) soit la plus grande valeur (respectivement la plus petite valeur) prise par f (x) sur J.
Dire que f admet un maximum (respectivement minimum) local en x0 signifie qu'il existe un intervalle ouvert J contenant x0 tel que f (x0) soit la plus grande valeur (respectivement la plus petite valeur) prise par f (x) sur J.

Dans l'exemple ci-dessus, on considère la fonction f définie sur l'intervalle

• Considérons l'intervalle ouvert

• De même, considérons l'intervalle ouvert

Remarque :
L'intervalle J est considéré ouvert de façon à ce que le réel x0 ne soit pas une borne de l'intervalle, autrement dit x0 est à « l'intérieur » de l'intervalle J.
L'intervalle J est considéré ouvert de façon à ce que le réel x0 ne soit pas une borne de l'intervalle, autrement dit x0 est à « l'intérieur » de l'intervalle J.
b. Lien entre dérivée et extremum
local
Soit f une fonction dérivable sur un
intervalle I.
Soit x0 un réel de I, distinct des bornes de I.
Si f ' s'annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.
Soit x0 un réel de I, distinct des bornes de I.
Si f ' s'annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.
Ainsi, 2 cas de figure s'imposent :

f admet un minimum local en x0

f admet un maximum local en x0
Réciproque
Si f admet un extremum local en x0 alors f '(x0) = 0.
c. Exemple
Déterminer les extrema locaux de la fonction f
définie sur
par
.
La fonction f est dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables avec x2 + 1 ≠ 0 sur
.

(x2 + 1)2 > 0 donc f '(x) est du signe de 1 – x2.
1 – x2 est un trinôme qui s'annule en –1 et en 1 ; il est du signe de a à l'extérieur des racines.
Ainsi,
sur
et sur 
sur
.
Dressons le tableau de variation de f pour mieux visualiser la nature des extrema de f :

Comme f '(–1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en –1 qui est en fait un minimum.
Comme f '(1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en 1 qui est en fait un maximum.


La fonction f est dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables avec x2 + 1 ≠ 0 sur


(x2 + 1)2 > 0 donc f '(x) est du signe de 1 – x2.
1 – x2 est un trinôme qui s'annule en –1 et en 1 ; il est du signe de a à l'extérieur des racines.
Ainsi,





Dressons le tableau de variation de f pour mieux visualiser la nature des extrema de f :

Comme f '(–1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en –1 qui est en fait un minimum.
Comme f '(1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en 1 qui est en fait un maximum.

Fiches de cours les plus recherchées
Découvrir le reste du programme


Des profs en ligne
- 6 j/7 de 17 h à 20 h
- Par chat, audio, vidéo
- Sur les matières principales

Des ressources riches
- Fiches, vidéos de cours
- Exercices & corrigés
- Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques
- Coach virtuel
- Quiz interactifs
- Planning de révision

Des tableaux de bord
- Suivi de la progression
- Score d’assiduité
- Un compte Parent