Applications de la dérivation
1. À l'étude du sens de variation d'une
fonction
a. Théorème donnant le lien entre le
signe de la dérivée et le sens de variation
d'une fonction
Soit f une fonction dérivable sur un
intervalle I.
Dire que :
f est croissante sur I signifie que
pour
tout réel x de I.
f est décroissante sur I signifie que
pour
tout réel x de I.
f est constante sur I signifie que
pour
tout réel x de I.
Dire que :
f est croissante sur I signifie que
pour
tout réel x de I.f est décroissante sur I signifie que
pour
tout réel x de I.f est constante sur I signifie que
pour
tout réel x de I.
Compléments
• Être monotone sur un intervalle I signifie être croissante ou décroissante sur cet intervalle.
• Si f '(x) > 0 (respectivement f '(x) < 0) sur I alors on peut dire que f est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur l'intervalle I.
b. Comment étudier les variations d'une
fonction à l'aide de la dérivée
Exemple
Étudier les variations de la fonction f définie sur
par 
.
La fonction f est dérivable sur
en tant que somme de fonctions dérivables
et 
.
Il s'agit maintenant d'étudier le signe de
: on reconnaît ici un trinôme de
second degré.
Pour ceci, on calcule
donc le trinôme admet 2 racines distinctes
:
Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines.
Or a = – 9 < 0 donc on peut résumer ainsi le signe de f ' (x) :
D'après le théorème, on peut dire que
f est décroissante sur
et sur 
f est croissante sur
.
En général, on récapitule les variations dans un tableau, comme en seconde, en ajoutant une ligne supplémentaire : celle qui donne le signe de f '(x).
Étudier les variations de la fonction f définie sur
par .La fonction f est dérivable sur
en tant que somme de fonctions dérivables
et .Il s'agit maintenant d'étudier le signe de
: on reconnaît ici un trinôme de
second degré.Pour ceci, on calcule
donc le trinôme admet 2 racines distinctes
:Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines.
Or a = – 9 < 0 donc on peut résumer ainsi le signe de f ' (x) :
D'après le théorème, on peut dire que
f est décroissante sur
et sur f est croissante sur
.En général, on récapitule les variations dans un tableau, comme en seconde, en ajoutant une ligne supplémentaire : celle qui donne le signe de f '(x).
2. À la recherche d'extremum (minimum ou maximum)
local d'une fonction
a. Maximum ou minimum local d'une fonction
f est une fonction définie sur un
intervalle I et x0 un
réel de I.
Dire que f admet un maximum (respectivement minimum) local en x0 signifie qu'il existe un intervalle ouvert J contenant x0 tel que f (x0) soit la plus grande valeur (respectivement la plus petite valeur) prise par f (x) sur J.
Dire que f admet un maximum (respectivement minimum) local en x0 signifie qu'il existe un intervalle ouvert J contenant x0 tel que f (x0) soit la plus grande valeur (respectivement la plus petite valeur) prise par f (x) sur J.
Dans l'exemple ci-dessus, on considère la fonction f définie sur l'intervalle
.• Considérons l'intervalle ouvert
. On peut dire que f(1) est la plus grande
valeur prise par f(x) sur J. Ainsi,
la fonction f admet un maximum local en
x0 = 1.• De même, considérons l'intervalle ouvert
. On peut dire que f(3) est la plus petite
valeur prise par f(x) sur J '.
Ainsi, la fonction f admet un minimum local en
x0 = 3.
Remarque :
L'intervalle J est considéré ouvert de façon à ce que le réel x0 ne soit pas une borne de l'intervalle, autrement dit x0 est à « l'intérieur » de l'intervalle J.
L'intervalle J est considéré ouvert de façon à ce que le réel x0 ne soit pas une borne de l'intervalle, autrement dit x0 est à « l'intérieur » de l'intervalle J.
b. Lien entre dérivée et extremum
local
Soit f une fonction dérivable sur un
intervalle I.
Soit x0 un réel de I, distinct des bornes de I.
Si f ' s'annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.
Soit x0 un réel de I, distinct des bornes de I.
Si f ' s'annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.
Ainsi, 2 cas de figure s'imposent :
f admet un minimum local en x0
f admet un maximum local en x0
Réciproque
Si f admet un extremum local en x0 alors f '(x0) = 0.
c. Exemple
Déterminer les extrema locaux de la fonction f
définie sur 
par 
.
La fonction f est dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables avec x2 + 1 ≠ 0 sur
.
(x2 + 1)2 > 0 donc f '(x) est du signe de 1 – x2.
1 – x2 est un trinôme qui s'annule en –1 et en 1 ; il est du signe de a à l'extérieur des racines.
Ainsi,
sur 
et sur 
sur 
.
Dressons le tableau de variation de f pour mieux visualiser la nature des extrema de f :
Comme f '(–1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en –1 qui est en fait un minimum.
Comme f '(1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en 1 qui est en fait un maximum.
par .La fonction f est dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables avec x2 + 1 ≠ 0 sur
.(x2 + 1)2 > 0 donc f '(x) est du signe de 1 – x2.
1 – x2 est un trinôme qui s'annule en –1 et en 1 ; il est du signe de a à l'extérieur des racines.
Ainsi,
sur et sur sur .Dressons le tableau de variation de f pour mieux visualiser la nature des extrema de f :
Comme f '(–1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en –1 qui est en fait un minimum.
Comme f '(1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en 1 qui est en fait un maximum.
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