Applications de la dérivation
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
Dire que :
f est croissante sur I signifie que
pour
tout réel x de I.f est décroissante sur I signifie que
pour
tout réel x de I.f est constante sur I signifie que
pour
tout réel x de I.
Compléments
• Être monotone sur un intervalle I signifie être croissante ou décroissante sur cet intervalle.
• Si f '(x) > 0 (respectivement f '(x) < 0) sur I alors on peut dire que f est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur l'intervalle I.
Étudier les variations de la fonction f définie sur
par 
.La fonction f est dérivable sur
en tant que somme de fonctions dérivables
et 
.Il s'agit maintenant d'étudier le signe de
: on reconnaît ici un trinôme de
second degré.Pour ceci, on calcule
donc le trinôme admet 2 racines distinctes
:
Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines.
Or a = – 9 < 0 donc on peut résumer ainsi le signe de f ' (x) :
D'après le théorème, on peut dire que
f est décroissante sur
et sur 
f est croissante sur
.En général, on récapitule les variations dans un tableau, comme en seconde, en ajoutant une ligne supplémentaire : celle qui donne le signe de f '(x).
Dire que f admet un maximum (respectivement minimum) local en x0 signifie qu'il existe un intervalle ouvert J contenant x0 tel que f (x0) soit la plus grande valeur (respectivement la plus petite valeur) prise par f (x) sur J.
Dans l'exemple ci-dessus, on considère la fonction f définie sur l'intervalle
.• Considérons l'intervalle ouvert
. On peut dire que f(1) est la plus grande
valeur prise par f(x) sur J. Ainsi,
la fonction f admet un maximum local en
x0 = 1.• De même, considérons l'intervalle ouvert
. On peut dire que f(3) est la plus petite
valeur prise par f(x) sur J '.
Ainsi, la fonction f admet un minimum local en
x0 = 3.L'intervalle J est considéré ouvert de façon à ce que le réel x0 ne soit pas une borne de l'intervalle, autrement dit x0 est à « l'intérieur » de l'intervalle J.
Soit x0 un réel de I, distinct des bornes de I.
Si f ' s'annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.
Ainsi, 2 cas de figure s'imposent :
f admet un minimum local en x0
f admet un maximum local en x0
Réciproque
Si f admet un extremum local en x0 alors f '(x0) = 0.
par 
.La fonction f est dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables avec x2 + 1 ≠ 0 sur
.
(x2 + 1)2 > 0 donc f '(x) est du signe de 1 – x2.
1 – x2 est un trinôme qui s'annule en –1 et en 1 ; il est du signe de a à l'extérieur des racines.
Ainsi,
sur 
et sur 
sur 
.Dressons le tableau de variation de f pour mieux visualiser la nature des extrema de f :
Comme f '(–1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en –1 qui est en fait un minimum.
Comme f '(1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en 1 qui est en fait un maximum.
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Fermer
Accédez gratuitement à
