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Applications de la dérivation

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1. À l'étude du sens de variation d'une fonction
a. Théorème donnant le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d'une fonction
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

Dire que :
f est croissante sur I signifie que pour tout réel x de I.
f est décroissante sur I signifie que pour tout réel x de I.
f est constante sur I signifie que pour tout réel x de I.

Compléments
• Être monotone sur un intervalle I signifie être croissante ou décroissante sur cet intervalle.
• Si f '(x) > 0 (respectivement f '(x) < 0) sur I alors on peut dire que f est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur l'intervalle I.
b. Comment étudier les variations d'une fonction à l'aide de la dérivée
Exemple
Étudier les variations de la fonction f définie sur par .

La fonction f est dérivable sur en tant que somme de fonctions dérivables et .
Il s'agit maintenant d'étudier le signe de : on reconnaît ici un trinôme de second degré.
Pour ceci, on calcule donc le trinôme admet 2 racines distinctes :





Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines.
Or a = – 9 < 0 donc on peut résumer ainsi le signe de f ' (x) :



D'après le théorème, on peut dire que
f est décroissante sur et sur
f est croissante sur .

En général, on récapitule les variations dans un tableau, comme en seconde, en ajoutant une ligne supplémentaire : celle qui donne le signe de f '(x).


2. À la recherche d'extremum (minimum ou maximum) local d'une fonction
a. Maximum ou minimum local d'une fonction
f est une fonction définie sur un intervalle I et x0 un réel de I.
Dire que f admet un maximum (respectivement minimum) local en x0 signifie qu'il existe un intervalle ouvert J contenant x0 tel que f (x0) soit la plus grande valeur (respectivement la plus petite valeur) prise par f (x) sur J.


Dans l'exemple ci-dessus, on considère la fonction f définie sur l'intervalle .

• Considérons l'intervalle ouvert . On peut dire que f(1) est la plus grande valeur prise par f(x) sur J. Ainsi, la fonction f admet un maximum local en x0 = 1.
• De même, considérons l'intervalle ouvert . On peut dire que f(3) est la plus petite valeur prise par f(x) sur J '. Ainsi, la fonction f admet un minimum local en x0 = 3.

Remarque :
L'intervalle J est considéré ouvert de façon à ce que le réel x0 ne soit pas une borne de l'intervalle, autrement dit x0 est à « l'intérieur » de l'intervalle J.
b. Lien entre dérivée et extremum local
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit x0 un réel de I, distinct des bornes de I.
Si f ' s'annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.

Ainsi, 2 cas de figure s'imposent :


f admet un minimum local en x0         

  f admet un maximum local en x0

Réciproque 
Si f admet un extremum local en x alors f '(x0) = 0.
c. Exemple
Déterminer les extrema locaux de la fonction f définie sur par .

La fonction f est dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables avec x2 + 1 ≠ 0 sur .



(x2 + 1)2 > 0 donc f '(x) est du signe de 1 – x2.
1 – x2 est un trinôme qui s'annule en –1 et en 1 ; il est du signe de a à l'extérieur des racines.
Ainsi, sur et sur
         sur .

Dressons le tableau de variation de f pour mieux visualiser la nature des extrema de f :



Comme f '(–1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en –1 qui est en fait un minimum.
Comme f '(1) = 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en 1 qui est en fait un maximum.

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