Mesures d'un angle orienté et mesure principale
Objectif
Découvrir la notion d’angle orienté de
vecteurs et déterminer ses mesures ainsi que sa mesure
principale.
1. Mesures d'un angle orienté
a. Angle orienté de vecteurs
Un couple de vecteurs 
définit
un angle orienté.
(C) étant le cercle
trigonométrique de centre O, considérons
les points A et B de tels que définit
un angle orienté.
et 
soient colinéaires
et de même sens respectivement à 
et 
.Les couples de vecteurs
et 
définissent le même angle
orienté et ont donc mêmes mesures.
b. Comment définir les mesures de l'angle
Les mesures en radians de l’angle 
sont
les réels 
où
β et α sont des réels respectivement
associés aux points A et B dans
l’enroulement de la droite des réels
autour du cercle (C).
sont
les réels où
β et α sont des réels respectivement
associés aux points A et B dans
l’enroulement de la droite des réels
autour du cercle (C).
Ainsi, tout angle orienté admet une infinité de mesures puisque α et β sont des réels définis à 2π près.
Soit x l’une de ses mesures, toutes les autres sont de la forme x + 2kπ avec
.On écrira
ou tout simplement, 
.Exemple : J est repéré par
et M par 
.Alors une mesure de l’angle
est 
.Toutes les mesures de cet angle sont donc les réels
avec 
.
2. Mesure principale d'un angle orienté
a. Définition
Étant donné un angle 
, une unique mesure de cet
angle appartient à l’intervalle
: elle est appelée
mesure principale de l’angle 
.
, une unique mesure de cet
angle appartient à l’intervalle
: elle est appelée
mesure principale de l’angle .
En effet, étant donné que toute mesure se retrouve à 2π près, tout intervalle de longueur 2π contient une seule mesure de l’angle (une des 2 bornes étant exclue et l’autre incluse bien sûr !).
La mesure principale est très intéressante puisqu’elle donne la mesure géométrique de l’angle
associée d’un signe : + si on tourne
de 
vers 
dans le sens trigonométrique et d’un
signe – sinon.
b. Détermination de mesure principale
Exercice 1 :
ABCD est un carré de centre O.
Déterminer la mesure principale de l’angle
, 
puis 
.
• l’angle
:
Étant donné que
rad et que l’on tourne de
vers 
dans le sens trigonométrique, alors la
mesure principale de l’angle 
est 
.
• l’angle
Étant donné que
rad et que l’on tourne de
vers 
dans le sens contraire au sens
trigonométrique, alors la mesure principale de
l’angle 
est 
.
• l’angle
Plaçons tout d’abord les vecteurs
et 
à même origine en choisissant le
vecteur 
comme représentant d’origine D du
vecteur 
.
L’angle
mesure 
et comme on tourne dans le sens
contraire au sens trigonométrique pour aller de
vers 
, alors l’angle 
a pour mesure principale
.
Exercice 2 :
On donne
.
Déterminer sa mesure principale.
Méthode : on ajoute ou on enlève des multiples de 2π afin de trouver une mesure dans l’intervalle
donc on peut enlever 2π rad
pour obtenir une autre mesure de cet angle et 
.
Or
donc c’est la mesure
principale de 
.
ABCD est un carré de centre O.
Déterminer la mesure principale de l’angle
, puis .• l’angle
:Étant donné que
rad et que l’on tourne de
vers dans le sens trigonométrique, alors la
mesure principale de l’angle est .• l’angle
Étant donné que
rad et que l’on tourne de
vers dans le sens contraire au sens
trigonométrique, alors la mesure principale de
l’angle est .• l’angle
Plaçons tout d’abord les vecteurs
et à même origine en choisissant le
vecteur comme représentant d’origine D du
vecteur .L’angle
mesure et comme on tourne dans le sens
contraire au sens trigonométrique pour aller de
vers , alors l’angle a pour mesure principale
.Exercice 2 :
On donne
.Déterminer sa mesure principale.
Méthode : on ajoute ou on enlève des multiples de 2π afin de trouver une mesure dans l’intervalle
donc on peut enlever 2π rad
pour obtenir une autre mesure de cet angle et .Or
donc c’est la mesure
principale de .
L'essentiel
Un angle orienté de vecteurs admet une infinité
de mesures exprimées en radians, de la forme
où 
. Une seule de ces mesures
appartient à l’intervalle
:
elle s’appelle la mesure principale de
l’angle.
où . Une seule de ces mesures
appartient à l’intervalle :
elle s’appelle la mesure principale de
l’angle.
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