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Mesures d'un angle orienté et mesure principale

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Objectif
Découvrir la notion d’angle orienté de vecteurs et déterminer ses mesures ainsi que sa mesure principale.
1. Mesures d'un angle orienté
a. Angle orienté de vecteurs
Un couple de vecteurs définit un angle orienté.
(C) étant le cercle trigonométrique de centre O, considérons les points A et B de tels que et soient colinéaires et de même sens respectivement à et .

Les couples de vecteurs et définissent le même angle orienté et ont donc mêmes mesures.

 
b. Comment définir les mesures de l'angle
Les mesures en radians de l’angle sont les réels où β et α sont des réels respectivement associés aux points A et B dans l’enroulement de la droite des réels autour du cercle (C).

Ainsi, tout angle orienté admet une infinité de mesures puisque α et β sont des réels définis à 2π près.
Soit x l’une de ses mesures, toutes les autres sont de la forme x + 2kπ avec .

On écrira ou tout simplement, .

Exemple : J est repéré par et M par .
Alors une mesure de l’angle est .

Toutes les mesures de cet angle sont donc les réels avec .



2. Mesure principale d'un angle orienté
a. Définition
Étant donné un angle , une unique mesure de cet angle appartient à l’intervalle : elle est appelée mesure principale de l’angle .

En effet, étant donné que toute mesure se retrouve à 2π près, tout intervalle de longueur 2π contient une seule mesure de l’angle (une des 2 bornes étant exclue et l’autre incluse bien sûr !).
La mesure principale est très intéressante puisqu’elle donne la mesure géométrique de l’angle associée d’un signe : + si on tourne de vers dans le sens trigonométrique et d’un signe – sinon.

b. Détermination de mesure principale
Exercice 1 :

ABCD est un carré de centre O.
Déterminer la mesure principale de l’angle , puis .

• l’angle :
Étant donné que rad et que l’on tourne de vers dans le sens trigonométrique, alors la mesure principale de l’angle est .

• l’angle
Étant donné que rad et que l’on tourne de vers dans le sens contraire au sens trigonométrique, alors la mesure principale de l’angle est .

• l’angle
Plaçons tout d’abord les vecteurs et à même origine en choisissant le vecteur comme représentant d’origine D du vecteur .
L’angle mesure et comme on tourne dans le sens contraire au sens trigonométrique pour aller de vers , alors l’angle a pour mesure principale .



Exercice 2 :

On donne .
Déterminer sa mesure principale.

Méthode : on ajoute ou on enlève des multiples de 2π afin de trouver une mesure dans l’intervalle
donc on peut enlever 2π rad pour obtenir une autre mesure de cet angle et .
Or donc c’est la mesure principale de .
L'essentiel
Un angle orienté de vecteurs admet une infinité de mesures exprimées en radians, de la forme . Une seule de ces mesures appartient à l’intervalle : elle s’appelle la mesure principale de l’angle.

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Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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