Application aux équations de cercles et de droites
Objectifs
Écrire une équation de droite connaissant un
point et un vecteur normal.
Écrire et reconnaître une équation de cercle.
Écrire et reconnaître une équation de cercle.
Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un
repère orthonormé 
.
.
1. Équation d'une perpendiculaire
a. Vecteur normal à une droite
Définition :
Étant donnée une droite (D), on appelle vecteur normal à (D) tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de (D).
Étant donnée une droite (D), on appelle vecteur normal à (D) tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de (D).
La direction d’un vecteur normal à une droite donne la direction de l’une de ses perpendiculaires.
est un
vecteur directeur de (D).
est un
vecteur normal à (D).
b. Propriété caractéristique
d'une droite connaissant un point et un vecteur normal
Propriété :
La droite (D) passant par A et de vecteur normal
est
l’ensemble des points M du plan tels que
.
La droite (D) passant par A et de vecteur normal
est
l’ensemble des points M du plan tels que
.
c. Équation d'une droite connaissant un point
et un vecteur normal
La propriété ci-dessus permet ainsi de
déterminer une équation cartésienne
de (D) connaissant les coordonnées d’un
point A de (D) et d‘un vecteur normal
.
En effet, en considérant
et
, on
peut dire que 
appartient
à (D) équivaut à 
.
On retiendra :
• la méthode employée
• le fait que si
est un
vecteur normal à une droite (D), alors une
équation de (D) est de la forme 
.
Exemple d’utilisation :
Énoncé : écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal le vecteur
.
Méthode n°1 : M (x,y) appartient à la droite (D) équivaut à dire que
Or
et
ainsi
équivaut à
équation cartésienne de la droite (D).
Méthode n°2 : Comme
est un
vecteur normal, on peut dire qu’une équation
de (D) est de la forme 
d’après la 2e remarque
énoncée.
Reste à déterminer c en utilisant le fait que A(-2,3) appartient à (D) donc ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci à savoir :
soit c = - 8 ce qui permet de conclure que (D) a pour équation
.
Remarque : on montre que si une droite (D) a pour équation
alors
le vecteur 
est
un vecteur normal à (D).
Utilisation : On peut dire par exemple que la droite (D) d’équation
a pour
vecteur normal le vecteur 
.
.En effet, en considérant
et
, on
peut dire que appartient
à (D) équivaut à .On retiendra :
• la méthode employée
• le fait que si
est un
vecteur normal à une droite (D), alors une
équation de (D) est de la forme .Exemple d’utilisation :
Énoncé : écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal le vecteur
.Méthode n°1 : M (x,y) appartient à la droite (D) équivaut à dire que
Or
et
ainsi
équivaut à
équation cartésienne de la droite (D).Méthode n°2 : Comme
est un
vecteur normal, on peut dire qu’une équation
de (D) est de la forme
d’après la 2e remarque
énoncée.Reste à déterminer c en utilisant le fait que A(-2,3) appartient à (D) donc ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci à savoir :
soit c = - 8 ce qui permet de conclure que (D) a pour équation
.Remarque : on montre que si une droite (D) a pour équation
alors
le vecteur est
un vecteur normal à (D).Utilisation : On peut dire par exemple que la droite (D) d’équation
a pour
vecteur normal le vecteur .
2. Équation de cercle
En connaissant le centre et le rayon
Le cercle C de centre I(a,b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :
Exemple 1 : Une équation du cercle (C) de centre I(–2;1) et de rayon 3 est
.
On peut aussi donner une équation développée ce qui donne
.
Exemple 2 : Quel est l’ensemble des points M(x,y) vérifiant
?
On remarque que cette équation ressemble à une équation de cercle.
Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver la forme initiale de l’équation à savoir une la forme
.
s’écrit aussi 
.
Or
est le
début du développement de 
et
plus précisément 
. De
même, 
.
Ainsi,
s’écrit aussi 
soit
,
c’est-à-dire 
.
Cette équation est de la forme
avec a = 1
, 
(attention
au signe – !) et 
.
On peut conclure que l’ensemble cherché est le cercle de centre
et de
rayon 
.
Le cercle C de centre I(a,b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :
Une équation du cercle C de centre I (a,b) et de
rayon R est 
Exemple 1 : Une équation du cercle (C) de centre I(–2;1) et de rayon 3 est
.On peut aussi donner une équation développée ce qui donne
.Exemple 2 : Quel est l’ensemble des points M(x,y) vérifiant
?On remarque que cette équation ressemble à une équation de cercle.
Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver la forme initiale de l’équation à savoir une la forme
.
s’écrit aussi .Or
est le
début du développement de et
plus précisément . De
même, .Ainsi,
s’écrit aussi soit
,
c’est-à-dire .Cette équation est de la forme
avec a = 1
, (attention
au signe – !) et .On peut conclure que l’ensemble cherché est le cercle de centre
et de
rayon .
L'essentiel
Toute droite de vecteur normal 
a pour
équation 
.
Une équation du cercle de centre
et de rayon
R est 
.
a pour
équation .Une équation du cercle de centre
et de rayon
R est .
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