Application aux équations de cercles et de droites
Écrire et reconnaître une équation de cercle.

Étant donnée une droite (D), on appelle vecteur normal à (D) tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de (D).
La direction d’un vecteur normal à une droite donne la direction de l’une de ses perpendiculaires.



La droite (D) passant par A et de vecteur normal



En effet, en considérant






On retiendra :
• la méthode employée
• le fait que si


Exemple d’utilisation :
Énoncé : écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal le vecteur

Méthode n°1 : M (x,y) appartient à la droite (D) équivaut à dire que

Or





Méthode n°2 : Comme


Reste à déterminer c en utilisant le fait que A(-2,3) appartient à (D) donc ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci à savoir :

soit c = - 8 ce qui permet de conclure que (D) a pour équation

Remarque : on montre que si une droite (D) a pour équation


Utilisation : On peut dire par exemple que la droite (D) d’équation


Le cercle C de centre I(a,b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :

Exemple 1 : Une équation du cercle (C) de centre I(–2;1) et de rayon 3 est

On peut aussi donner une équation développée ce qui donne

Exemple 2 : Quel est l’ensemble des points M(x,y) vérifiant

On remarque que cette équation ressemble à une équation de cercle.
Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver la forme initiale de l’équation à savoir une la forme



Or




Ainsi,




Cette équation est de la forme



On peut conclure que l’ensemble cherché est le cercle de centre




Une équation du cercle de centre



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