Application aux équations de cercles et de droites - Cours de Mathématiques Première avec Maxicours

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Application aux équations de cercles et de droites

Objectifs
Écrire une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal.
Écrire et reconnaître une équation de cercle.

Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un repère orthonormé .
1. Équation d'une perpendiculaire
a. Vecteur normal à une droite
Définition :
Étant donnée une droite (D), on appelle vecteur normal à (D) tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de (D).

La direction d’un vecteur normal à une droite donne la direction de l’une de ses perpendiculaires.



est un vecteur directeur de (D).
est un vecteur normal à (D).

b. Propriété caractéristique d'une droite connaissant un point et un vecteur normal
Propriété :
La droite (D) passant par A et de vecteur normal est l’ensemble des points M du plan tels que .
c. Équation d'une droite connaissant un point et un vecteur normal
La propriété ci-dessus permet ainsi de déterminer une équation cartésienne de (D) connaissant les coordonnées d’un point A  de (D) et d‘un vecteur normal .

En effet, en considérant et , on peut dire que appartient à (D) équivaut à


.

On retiendra :
• la méthode employée
• le fait que si est un vecteur normal à une droite (D), alors une équation de (D) est de la forme .

Exemple d’utilisation :


Énoncé : écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal le vecteur .

Méthode n°1 : M (x,y) appartient à la droite (D) équivaut à dire que
Or et ainsi équivaut à

équation cartésienne de la droite (D).

Méthode n°2
: Comme est un vecteur normal, on peut dire qu’une équation de (D) est de la forme d’après la 2e remarque énoncée.

Reste à déterminer c en utilisant le fait que A(-2,3) appartient à (D) donc ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci à savoir :
soit c = - 8 ce qui permet de conclure que (D) a pour équation .

Remarque
: on montre que si une droite (D) a pour équation alors le vecteur est un vecteur normal à (D).

Utilisation
: On peut dire par exemple que la droite (D) d’équation a pour vecteur normal le vecteur .
2. Équation de cercle
En connaissant le centre et le rayon

Le cercle C de centre I(a,b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :
Une équation du cercle C de centre I (a,b) et de rayon R est

Exemple 1 : Une équation du cercle (C) de centre I(–2;1) et de rayon 3 est .
On peut aussi donner une équation développée ce qui donne .

Exemple 2 : Quel est l’ensemble des points M(x,y) vérifiant ?
On remarque que cette équation ressemble à une équation de cercle.
Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver la forme initiale de l’équation à savoir une la forme .

s’écrit aussi .
Or est le début du développement de   et plus précisément . De même, .
Ainsi,   s’écrit aussi soit , c’est-à-dire .
Cette équation est de la forme avec a = 1 , (attention au signe – !) et .
On peut conclure que l’ensemble cherché est le cercle de centre et de rayon .

L'essentiel
Toute droite de vecteur normal a pour équation .
Une équation du cercle de centre et de rayon R est .

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