Application aux équations de cercles et de droites
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Écrire et reconnaître une équation de cercle.
.Étant donnée une droite (D), on appelle vecteur normal à (D) tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de (D).
La direction d’un vecteur normal à une droite donne la direction de l’une de ses perpendiculaires.
est un
vecteur directeur de (D).
est un
vecteur normal à (D).La droite (D) passant par A et de vecteur normal
est
l’ensemble des points M du plan tels que
.
.En effet, en considérant
et
, on
peut dire que 
appartient
à (D) équivaut à 
.On retiendra :
• la méthode employée
• le fait que si
est un
vecteur normal à une droite (D), alors une
équation de (D) est de la forme 
.Exemple d’utilisation :
Énoncé : écrire une équation de la droite (D) passant par A(-2,3) et de vecteur normal le vecteur
.Méthode n°1 : M (x,y) appartient à la droite (D) équivaut à dire que
Or
et
ainsi
équivaut à
équation cartésienne de la droite (D).Méthode n°2 : Comme
est un
vecteur normal, on peut dire qu’une équation
de (D) est de la forme 
d’après la 2e remarque
énoncée.Reste à déterminer c en utilisant le fait que A(-2,3) appartient à (D) donc ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci à savoir :
soit c = - 8 ce qui permet de conclure que (D) a pour équation
.Remarque : on montre que si une droite (D) a pour équation
alors
le vecteur 
est
un vecteur normal à (D).Utilisation : On peut dire par exemple que la droite (D) d’équation
a pour
vecteur normal le vecteur 
.Le cercle C de centre I(a,b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :
Exemple 1 : Une équation du cercle (C) de centre I(–2;1) et de rayon 3 est
.On peut aussi donner une équation développée ce qui donne
.Exemple 2 : Quel est l’ensemble des points M(x,y) vérifiant
?On remarque que cette équation ressemble à une équation de cercle.
Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver la forme initiale de l’équation à savoir une la forme
.
s’écrit aussi 
.Or
est le
début du développement de 
et
plus précisément 
. De
même, 
.Ainsi,
s’écrit aussi 
soit
,
c’est-à-dire 
.Cette équation est de la forme
avec a = 1
, 
(attention
au signe – !) et 
.On peut conclure que l’ensemble cherché est le cercle de centre
et de
rayon 
.
a pour
équation 
.Une équation du cercle de centre
et de rayon
R est 
.Évalue ce cours !
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