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Statistique descriptive, analyse de données

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Objectif

Découvrir de nouveaux paramètres caractérisant une série, réaliser un diagramme schématique synthétisant certains paramètres.

1. Diagramme en boite

Une bonne connaissance des définitions vues les années précédentes est un pré-requis fondamental, des rappels sommaires sont toutefois proposés.

a. Rappels

On considère pour toute la suite une série statistique à N individus, dont un caractère quantitatif prend les valeurs

(N entier non nul).

La médiane : la médiane de la série est un réel M_e tel que :
♦ 50% au moins des valeurs du caractère sont inférieures ou égales à M_e
♦ 50% au moins des valeurs du caractère sont supérieurs à M_e.

Les quartiles : complétant la médiane, ce sont deux autres nombres Q₁ et Q₃ tels que :
♦ Q₁, premier quartile, est la plus petite valeur prise par le caractère telle que 25% au moins des valeurs lui soient inférieures ou égales.
♦ Q₃, troisième quartile, est la plus petite valeur prise par le caractère telle que 75% au moins des valeurs lui soient inférieures ou égales.

Une règle de calcul pour la médiane :
♦ si n est impair, M_e est la valeur centrale, celle de rang

♦ si n est pair, M_e est la moyenne des deux valeurs les plus au centre, de rangs

.

Remarque : on peut également définir les déciles, dont principalement D₁ et D₉, en reprenant les définition des Q₁ et Q₃ en remplaçant respectivement 25% et 75% par 10% et 90%.

L'écart interquartile : C'est la différence

Remarque : l'intervalle

est appelé intervalle interquartile mais attention, suivant les sources, l'intervalle interquartile n'est autre que l'écart

b. Le diagramme en boite

Le diagramme en boite, appelé également boite à moustaches, est en quelque sorte une représentation symbolique comportant divers paramètres de la série. Sa définition peut varier suivant les auteurs mais de manière consensuelle, on y trouvera toujours :
- la médiane M_e
- les quartiles Q₁ et Q₃
- les minimales et maximales du caractère (Min et Max).

Le cas échéant, on y trouvera également les déciles D₁ et D₉ ( et même des centiles...).

Sa conception obéit aux règles qu'illustre cet exemple :

En réalité, sur l'axe gradué qui est sous la boite ne doivent figurer que les valeurs des graduations.

c. Exemple

On considère la série statistique de 50 valeurs présentées dans le tableau ci-dessous. On a pris soin de les ordonner de la plus petite à la plus grande.

5	15	19	21	29
7	16	19	21	30
11	16	19	23	33
14	16	19	24	33
15	16	19	24	33
15	16	20	25	33
15	16	20	25	33
15	17	20	26	34
15	18	20	27	34
15	18	21	28	35

La plus petite valeur est Min = 5, la plus grande Max = 35.
Il y a 50 valeurs, la médiane est la moyenne de de la 25ème et de la 26ème : Me = (19+20)/2 = 19,5
Pour Q₁ : 25% de 50, cela fait 12,5, il faut laisser au moins 25% en dessous de Q₁, on prend la 13ième valeur : Q₁ = 16.
Pour Q₃ : 75% de 50, cela fait 37,5 , il faut laisser 75% au moins en dessous de Q₃, on prend la 38ème valeur: Q₃ = 26.

L'écart interquartile est donc égal à Q₃-Q₁ = 26-16 = 10.
Voici une représentation de la boite à moustache de cette série.

2. Variance et écart type

a. Rappel : la moyenne

Soit une série statistique prenant les valeurs

avec les effectifs respectifs

La moyenne de cette série est le réel :

Cette moyenne peut également se calculer à l'aide des fréquences, en posant :

, on obtient la nouvelle formule équivalente :

b. Variance et écart type

La variance de la série exposée précédemment est le réel :

C'est un réel positif, qui n'est autre que " la moyenne des écarts au carré à la moyenne

".

En utilisant le symbole

(symbole "grand sygma"), voici ce que l'on obtient (N désignant l'effectif total) :

.
La variance est positive, elle ne s'annule que si la série n'est composée que de 0 !

L'écart type n'est autre que la racine carrée de la variance, on le note communément

. C'est la lettre grecque "sigma minuscule ou petit sigma", on lit simplement "sigma":

.

On remarquera qu'étant une racine carrée,

est un réel positif.

c. Exemple

Soit la série de 80 nombres suivante:

x_i	2	3	4	5	10	11	12	14	15	17
n_i	1	4	5	7	12	15	14	7	7	8

La moyenne est :

Soit

.

Calcul de la variance :

.

D'où un écart type égal à :

Ces calculs sont facilement réalisables à l'aide des "menus stat" des calculatrices.

L'essentiel

On retiendra que le diagramme en boite est composé généralement des valeurs extrêmes, des quartiles et de la médiane.
L'écart type est la racine carrée de la variance, la variance mesure la moyenne des écarts au carré à la moyenne, selon la formule: