Statistique descriptive, analyse de données
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(N entier non nul).♦ 50% au moins des valeurs du caractère sont inférieures ou égales à Me
♦ 50% au moins des valeurs du caractère sont supérieurs à Me.
♦ Q1, premier quartile, est la plus petite valeur prise par le caractère telle que 25% au moins des valeurs lui soient inférieures ou égales.
♦ Q3, troisième quartile, est la plus petite valeur prise par le caractère telle que 75% au moins des valeurs lui soient inférieures ou égales.
Une règle de calcul pour la médiane :
♦ si n est impair, Me est la valeur centrale, celle de rang
♦ si n est pair, Me est la moyenne des deux valeurs les plus au centre, de rangs
.Remarque : on peut également définir les déciles, dont principalement D1 et D9, en reprenant les définition des Q1 et Q3 en remplaçant respectivement 25% et 75% par 10% et 90%.
.
Remarque : l'intervalle
est appelé intervalle interquartile mais
attention, suivant les sources, l'intervalle
interquartile n'est autre que l'écart 
.- la médiane Me
- les quartiles Q1 et Q3
- les minimales et maximales du caractère (Min et Max).
Le cas échéant, on y trouvera également les déciles D1 et D9 ( et même des centiles...).
Sa conception obéit aux règles qu'illustre cet exemple :
En réalité, sur l'axe gradué qui est sous la boite ne doivent figurer que les valeurs des graduations.
|
5 |
15 |
19 |
21 |
29 |
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7 |
16 |
19 |
21 |
30 |
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11 |
16 |
19 |
23 |
33 |
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14 |
16 |
19 |
24 |
33 |
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15 |
16 |
19 |
24 |
33 |
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15 |
16 |
20 |
25 |
33 |
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15 |
16 |
20 |
25 |
33 |
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15 |
17 |
20 |
26 |
34 |
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15 |
18 |
20 |
27 |
34 |
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15 |
18 |
21 |
28 |
35 |
La plus petite valeur est Min = 5, la plus grande Max = 35.
Il y a 50 valeurs, la médiane est la moyenne de de la 25ème et de la 26ème : Me = (19+20)/2 = 19,5
Pour Q1 : 25% de 50, cela fait 12,5, il faut laisser au moins 25% en dessous de Q1, on prend la 13ième valeur : Q1 = 16.
Pour Q3 : 75% de 50, cela fait 37,5 , il faut laisser 75% au moins en dessous de Q3, on prend la 38ème valeur: Q3 = 26.
L'écart interquartile est donc égal à Q3-Q1 = 26-16 = 10.
Voici une représentation de la boite à moustache de cette série.
avec les effectifs respectifs 
.
.
Cette moyenne peut également se calculer à l'aide des fréquences, en posant :
,
on obtient la nouvelle formule équivalente :
".En utilisant le symbole
(symbole "grand sygma"), voici ce que l'on obtient
(N désignant l'effectif total) :
.La variance est positive, elle ne s'annule que si la série n'est composée que de 0 !
L'écart type n'est autre que la racine carrée de la variance, on le note communément
.
C'est la lettre grecque "sigma minuscule ou petit sigma",
on lit simplement "sigma": 
.On remarquera qu'étant une racine carrée,
est
un réel positif.|
xi |
2 |
3 |
4 |
5 |
10 |
11 |
12 |
14 |
15 |
17 |
|
ni |
1 |
4 |
5 |
7 |
12 |
15 |
14 |
7 |
7 |
8 |
La moyenne est :
Soit
.Calcul de la variance :
.D'où un écart type égal à :
.L'écart type est la racine carrée de la variance, la variance mesure la moyenne des écarts au carré à la moyenne, selon la formule:
.
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