Utilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d'une fréquence.
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1. Intervalle de fluctuation relatif à une loi
binomiale
a. Etude d'un exemple
Soit une variable aléatoire X suivant une
loi binomiale de paramètre n = 50 et p
= 0,5.
Considérons les valeurs des probabilités "cumulées" données par la relation
où k décrit
tous les entiers de 0 à n, soit de 0
à 50.
On parle de probabilités cumulées car
.
Si on calcule toutes les probabilités cumulées, on obtient des valeurs croissantes allant de 0 à 1.
Dans le tableau ci-après, on a recopié un certain nombre de ces valeurs à 0,0001 près :
On remarque que 18 est le plus petit entier tel que
.
De même 32 est le plus petit entier tel que
.
Avec ces deux valeurs entières, "on laisse" 0,025 = 2,5% du côté des fortes probabilités et autant du côté des faibles probabilités. 2,5% + 2,5% = 5%.
Maintenant donnons une base concrète à notre variable aléatoire.
Considérons la naissance d'un bébé, admettons que dans 50% des cas, le bébé qui nait est un garçon.
Considérons maintenant un ensemble de 50 naissances indépendantes à venir prises au hasard dans un hôpital.
Nous sommes en présence d'un schéma de Bernoulli et la variable X, qui compte le nombre de garçons, suit une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,5.
Posons
.
La nouvelle variable aléatoire ainsi créée correspond en fait à la fréquence de garçons présents parmi les bébés.
Avec les deux entiers trouvés ci-avant, on a donc un intervalle de la forme
.
Considérons les valeurs des probabilités "cumulées" données par la relation

On parle de probabilités cumulées car

Si on calcule toutes les probabilités cumulées, on obtient des valeurs croissantes allant de 0 à 1.
Dans le tableau ci-après, on a recopié un certain nombre de ces valeurs à 0,0001 près :
k | 0 | 1 | 16 | 17 | 18 | 19 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 49 | 50 |
![]() |
0,0000 | 0,0000 | 0,0077 | 0,164 | 0,0325 | 0,0595 | 0,9405 | 0,9675 | 0,9836 | 0,9923 | 0,9967 | 1 | 1 |
On remarque que 18 est le plus petit entier tel que

De même 32 est le plus petit entier tel que

Avec ces deux valeurs entières, "on laisse" 0,025 = 2,5% du côté des fortes probabilités et autant du côté des faibles probabilités. 2,5% + 2,5% = 5%.
Maintenant donnons une base concrète à notre variable aléatoire.
Considérons la naissance d'un bébé, admettons que dans 50% des cas, le bébé qui nait est un garçon.
Considérons maintenant un ensemble de 50 naissances indépendantes à venir prises au hasard dans un hôpital.
Nous sommes en présence d'un schéma de Bernoulli et la variable X, qui compte le nombre de garçons, suit une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,5.
Posons

La nouvelle variable aléatoire ainsi créée correspond en fait à la fréquence de garçons présents parmi les bébés.
Avec les deux entiers trouvés ci-avant, on a donc un intervalle de la forme

Cet intervalle de fréquence est appelé
intervalle de fluctuation à 95% associé
à X.
b. Définition
L'intervalle de fluctuation à 95% associé
à une variable aléatoire X suivant
une loi binomiale de paramètres n et
p est l'intervalle
où a et b sont deux entiers
tels que :
♦ a est le plus petit entier vérifiant
♦ b est le plus petit entier vérifiant

♦ a est le plus petit entier vérifiant

♦ b est le plus petit entier vérifiant

a et b sont tels que


2. Prise de décision
a. Mise en place d'une règle de
décision
Entre le 1er et le 16 mai, 50 naissances ont
eu lieu.
On a compté 22 garçons pour 30 filles.
La fréquence de garçons relevée est égale à
= 0,44.
On sait bien que les fréquences sur un échantillon peuvent fluctuer, comme cela a déjà été vu en classe de seconde. Cependant, une question peut alors se poser : compte tenu de ces résultats, peut-on accepter l'hypothèse selon laquelle il nait autant de garçons que de filles ?
Cette fréquence (0,44) se situe bien à l'intérieur de l'intervalle de fluctuation à 95% trouvé précédemment.
On dit qu'au risque 5%, on accepte l'hypothèse selon laquelle il nait autant de bébés garçons que de bébés filles.
On a compté 22 garçons pour 30 filles.
La fréquence de garçons relevée est égale à

On sait bien que les fréquences sur un échantillon peuvent fluctuer, comme cela a déjà été vu en classe de seconde. Cependant, une question peut alors se poser : compte tenu de ces résultats, peut-on accepter l'hypothèse selon laquelle il nait autant de garçons que de filles ?
Cette fréquence (0,44) se situe bien à l'intérieur de l'intervalle de fluctuation à 95% trouvé précédemment.
On dit qu'au risque 5%, on accepte l'hypothèse selon laquelle il nait autant de bébés garçons que de bébés filles.
b. Cas général
Considérons une population dans laquelle un
caractère statistique A apparaît avec une
probabilité p.
Prenons un groupe de n individus de cette population. Dans ce groupe le caractère apparaît avec une fréquence observable
.
On considère alors une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre n et p.
À cette variable, correspond un intervalle de fluctuation à 95%, de la forme
.
On est en droit de se demander si le caractère A apparait avec la fréquence p dans le groupe de n individus.
Si la fréquence observée
est dans l'intervalle de
fluctuation, on accepte l'hypothèse selon laquelle
le caractère A apparait avec une fréquence
p dans le groupe.
Si
n'appartient pas à
l'intervalle, on rejette l'hypothèse.
Il faut noter que l'une ou l'autre de ces 2 conclusions possibles se font au risque ou seuil 5%. On dit aussi au coefficient de confiance 95% .
Ceci doit figurer dans la conclusion ! On n'affirme jamais rien en statistiques sans quantifier le risque.
Prenons un groupe de n individus de cette population. Dans ce groupe le caractère apparaît avec une fréquence observable

On considère alors une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre n et p.
À cette variable, correspond un intervalle de fluctuation à 95%, de la forme

On est en droit de se demander si le caractère A apparait avec la fréquence p dans le groupe de n individus.
Si la fréquence observée

Si

Il faut noter que l'une ou l'autre de ces 2 conclusions possibles se font au risque ou seuil 5%. On dit aussi au coefficient de confiance 95% .
Ceci doit figurer dans la conclusion ! On n'affirme jamais rien en statistiques sans quantifier le risque.
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