Utilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d'une fréquence. - Cours de Mathématiques Première avec Maxicours

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Utilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d'une fréquence.

1. Intervalle de fluctuation relatif à une loi binomiale
a. Etude d'un exemple
Soit une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre n = 50 et p = 0,5.
Considérons les valeurs des probabilités "cumulées" données par la relation k décrit tous les entiers de 0 à n, soit de 0 à 50.
On parle de probabilités cumulées car .
Si on calcule toutes les probabilités cumulées, on obtient des valeurs croissantes allant de 0 à 1.
Dans le tableau ci-après, on a recopié un certain nombre de ces valeurs à 0,0001 près :
k 0 1 16 17 18 19 30 31 32 33 34 49 50
0,0000 0,0000 0,0077 0,164 0,0325 0,0595 0,9405 0,9675 0,9836 0,9923 0,9967 1 1

On remarque que 18 est le plus petit entier tel que .
De même 32 est le plus petit entier tel que .
Avec ces deux valeurs entières, "on laisse"  0,025 = 2,5%  du côté des fortes probabilités et autant du côté des faibles probabilités. 2,5% + 2,5% = 5%.

Maintenant donnons une base concrète à notre variable aléatoire.
Considérons la naissance d'un bébé, admettons que dans 50% des cas, le bébé qui nait est un garçon.
Considérons maintenant un ensemble de 50 naissances indépendantes à venir prises au hasard dans un hôpital.
Nous sommes en présence d'un schéma de Bernoulli et la variable X, qui compte le nombre de garçons, suit une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,5.

Posons .
La nouvelle variable aléatoire ainsi créée correspond en fait à la fréquence de garçons présents parmi les bébés.
Avec les deux entiers trouvés ci-avant, on a donc un intervalle de la forme .

Cet intervalle de fréquence est appelé intervalle de fluctuation à 95% associé à X.
b. Définition
L'intervalle de fluctuation à 95% associé à une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n et p est l'intervalle a et b sont deux entiers tels que :

a est le plus petit entier vérifiant
b est le plus petit entier vérifiant

a et b sont tels que ou bien .
2. Prise de décision
a. Mise en place d'une règle de décision
Entre le 1er et le 16 mai, 50 naissances ont eu lieu.
On a compté 22 garçons pour 30 filles.
La fréquence de garçons relevée est égale à = 0,44.

On sait bien que les fréquences sur un échantillon peuvent fluctuer, comme cela a déjà été vu en classe de seconde. Cependant, une question peut alors se poser : compte tenu de ces résultats, peut-on accepter l'hypothèse selon laquelle il nait autant de garçons que de filles ?

Cette fréquence (0,44) se situe bien à l'intérieur de l'intervalle de fluctuation à 95% trouvé précédemment.
On dit qu'au risque 5%, on accepte l'hypothèse selon laquelle il nait autant de bébés garçons que de bébés filles.
b. Cas général
Considérons une population dans laquelle un caractère statistique A apparaît avec une probabilité p.
Prenons un groupe de n individus de cette population. Dans ce groupe le caractère apparaît avec une fréquence observable .
On considère alors une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre n et p.
 À cette variable, correspond un intervalle de fluctuation à 95%, de la forme .
On est en droit de se demander si le caractère A apparait avec la fréquence p dans le groupe de n individus. 

Si la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation, on accepte l'hypothèse selon laquelle le caractère A apparait avec une fréquence p dans le groupe.
Si n'appartient pas à l'intervalle, on rejette l'hypothèse.

Il faut noter que l'une ou l'autre de ces 2 conclusions possibles se font au risque ou seuil 5%. On dit aussi au coefficient de confiance 95% .
Ceci doit figurer dans la conclusion ! On n'affirme jamais rien en statistiques sans quantifier le risque.

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