Loi binomiale, loi de Bernoulli - Maxicours

Loi binomiale, loi de Bernoulli

Objectifs :
• Reconnaître un schéma de Bernoulli,
• Calculs de probabilités dans le cadre de la loi binomiale,
• Utiliser l’espérance d’une loi binomiale.
1. Définition : schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition d’une épreuve de Bernoulli n fois où chaque issue est indépendante.

Exemple :
On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est . On gagne 5 € pour chaque sortie de « Pile ». Tracer l’arbre pondéré et déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de succès.
Un succès s est représenté par chaque apparition de l’événement « Pile », de probabilité p =   . L’échec, l’événement aura pour probabilité  .



k 0 1 2 3
P(X=k)

Les résultats sont laissés sous forme de fraction de la totalité des cas (on pourrait passer en fractions irréductibles).

Remarque :
on dit que cette loi de probabilité est la loi du nombre de succès.
2. Notation et définition
On nomme coefficient binomial, noté qui se lit k parmi n, le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n.
Exemples :
→ Pour le schéma de Bernoulli précédent,
• Pour 0 succès on a car un seul chemin n’a aucun succès.
• Pour 2 succès on a car trois chemins ont 2 succès.

Remarque : les coefficients binomiaux sont donnés par toutes les calculatrices de lycée.
3. Utilisation d'une calculatrice
a. Utilisation d’une calculatrice pour déterminer des coefficients binomiaux
Par exemple .

Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « Combinaison » (qui est dans le menu « Math/Prb ») puis l’argument k (ici 2). Si les instructions sont en anglais, la fonction sera « nCr » dans le même menu qu’indiqué.

Sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « nCr(3,2).

Sur Casio écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « nCr » (dans « OPTN » puis « PROB ) puis l’argument k (ici 2).

Utilisation d’un tableur pour déterminer des coefficients binomiaux :
• Dans une cellule écrire « =COMBIN(3;2)».
b. Loi binomiale de paramètre n et p
Pour un schéma de Bernoulli d’ordre n, de probabilité p pour chaque succès de l’épreuve, la loi de probabilité de la variable X qui à chaque issue associe k succès est avec .

Notation : cette loi est notée .

C’est ce que l’on constate avec l’exemple précédent. Pour 2 succès, on peut compter « à la main » la probabilité de chaque chemin et additionner le tout, ce qui donne . D’après la définition, pour on a .
c. Utilisation d’une calculatrice pour déterminer P(X=k) pour une loi binomiale de paramètres n et p
Par exemple P(X=k) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462.

Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) entrer la fonction « binomFdp(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.

Sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « binomPdf(1000,0.5,462) »
(rappel : les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables).

Sur Casio entrer la fonction « BinomialPD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bpd » pour finir) avec les arguments k = 462, n = 1000 et p = 0,5.

Utilisation d’un tableur pour déterminer P(X=k) :
• Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ;FAUX) ».

Remarque : sur certains tableurs au lieu de « FAUX » il faut écrire 0.
d. Utilisation d’une calculatrice pour déterminer P(X inférieur ou égal à k) pour une loi binomiale de paramètres n et p
Par exemple P(Xk) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462 (utilisé ci-après).

sur Texas instrument entrer la fonction « binomFrép(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.

sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « binomCdf(1000,0.5,0,462) »
(rappel : les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables).

Sur Casio entrer la fonction « BinomialCD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bcd » pour finir) avec les arguments k = 462 la valeur à tester, n = 1000 et p = 0,5.

Utilisation d’un tableur :
• Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ;VRAI) » que l’on tirera vers le bas.

Remarque : sur certains tableurs au lieu de « VRAI » il faut écrire « 1 ».
4. Espérance de la loi binomiale
Le calcul de l’espérance est immédiat :

Dans l’exemple précédent on aurait donc
5. Propriétés des coefficients binomiaux
On peut remarquer :
Par convention .

• Si alors .
• Si alors (formule de Pascal).

Ces deux règles permettent de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche, en construisant le « Triangle de Pascal » par exemple, ce qui se fait assez facilement sur tableur.



Dans le tableur enlever l’affichage des zéros (cliquer sur Outils/Options puis décocher la case « Valeurs zéro » dans Affichage).
Mettre des 1 en première colonne et en diagonale.
En B3 on écrira une formule du genre « =A2+B2 » que l’on recopie vers le bas, on recopie aussi cette formule vers la droite pour les cellules sans valeur à l’intérieur du triangle.

Rappel : les coefficients binomiaux sont obtenus avec la calculatrice.

Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

Découvrez
Maxicours

Des profs en ligne

Géographie

Des profs en ligne

  • 6j/7 de 17h à 20h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les 10 matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Une interface Parents

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l'utilisation de Cookies ou autres traceurs pour améliorer et personnaliser votre navigation sur le site, réaliser des statistiques et mesures d'audiences, vous proposer des produits et services ciblés et adaptés à vos centres d'intérêt et vous offrir des fonctionnalités relatives aux réseaux et médias sociaux.