Formules d'addition et de duplication des cosinus et sinus - Maxicours

Formules d'addition et de duplication des cosinus et sinus

Objectif
Connaître et utiliser les formules donnant le cosinus et le sinus d’une somme ou d’une différence.
1. Formules d'addition
a. Propriétés
a et b sont 2 réels quelconques :


 

 

 
Preuve :



Sur le cercle trigonométrique muni du repère orthonormé , considérons les points A et B repérés respectivement par les réels a et b .
De ce fait, dans le repère , le point A a pour coordonnées , le point B a pour coordonnées et l’angle pour mesure b – a.

Évaluons le produit scalaire de 2 manières différentes :



mais aussi

car :

et sont des rayons du cercle trigonométrique de rayon 1.

pour tout réel X .

D’où l’égalité : .

En remplaçant b par (–b) on obtient :.

En ce qui concerne les sinus, on utilise le fait que .

Ainsi,

De même que ci-dessus, on obtient en remplaçant b par –b .
b. Exemples d'utilisation
• Calculer en valeurs exactes et





On obtient ainsi le cosinus et le sinus de en valeurs exactes.

• Montrer que  pour tout réel t.
En déduire les solutions de l'équation

.

Ainsi, résoudre revient à résoudre soit c'est-à-dire  .

Or , ainsi, cela revient à déterminer les réels t tels que .

D'après la résolution de l'équation du type , on en déduit que :

      où      soit      où  .
2. Formule de duplication
a. Propriétés
En remplaçant b par a dans et , on obtient :
Pour tout réel a,



 
Mais aussi en utilisant on peut obtenir en fonction de ou à savoir :

  ou  
b. Exemples d'utilisation
• Exprimer en fonction de puis en déduire en valeurs exactes .
On a vu que ; ainsi  .

En posant , on obtient :.

Comme , .

On peu de même déterminer .


• Déterminer en fonction de uniquement.
En partant du fait que , on obtient



Or , d'où


On prouverait de même que  .
L'essentiel
On retiendra que pour tous réels a et b ,



et en changeant b en (–b), on obtient             
et .

Pour tout réel a ,
et  .

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