Formules d'addition et de duplication des cosinus et sinus
Objectif
Connaître et utiliser les formules donnant le cosinus
et le sinus d’une somme ou d’une
différence.
1. Formules d'addition
a. Propriétés
a et b sont 2 réels quelconques
:
Preuve :
Sur le cercle trigonométrique muni du repère orthonormé
,
considérons les points A et B
repérés respectivement par les réels
a et b .De ce fait, dans le repère
, le
point A a pour coordonnées 
, le
point B a pour coordonnées 
et
l’angle 
pour
mesure b – a.Évaluons le produit scalaire
de 2
manières différentes :
mais aussi
car :
•
et
sont des
rayons du cercle trigonométrique de rayon 1.•
pour
tout réel X .D’où l’égalité :
.En remplaçant b par (–b) on obtient :
.En ce qui concerne les sinus, on utilise le fait que
.Ainsi,
De même que ci-dessus, on obtient
en
remplaçant b par –b .
b. Exemples d'utilisation
• Calculer en valeurs exactes 
et
On obtient ainsi le cosinus et le sinus de
en
valeurs exactes.
• Montrer que
pour
tout réel t.
En déduire les solutions de l'équation
.
Ainsi, résoudre
revient
à résoudre 
soit
c'est-à-dire 
.
Or
, ainsi,
cela revient à déterminer les réels
t tels que 
.
D'après la résolution de l'équation du type
, on en
déduit que :
où 
soit 
où 
.
et
On obtient ainsi le cosinus et le sinus de
en
valeurs exactes.• Montrer que
pour
tout réel t.En déduire les solutions de l'équation
.Ainsi, résoudre
revient
à résoudre soit
c'est-à-dire .Or
, ainsi,
cela revient à déterminer les réels
t tels que .D'après la résolution de l'équation du type
, on en
déduit que :
où
soit
où .
2. Formule de duplication
a. Propriétés
En remplaçant b par a dans
et
, on
obtient :
Mais aussi en utilisant 
on peut
obtenir 
en
fonction de 
ou
à
savoir :
ou 
et
, on
obtient :
Pour tout réel a,
on peut
obtenir en
fonction de ou
à
savoir :
ou
b. Exemples d'utilisation
• Exprimer 
en
fonction de 
puis en
déduire en valeurs exactes 
.
On a vu que
;
ainsi 
.
En posant
, on
obtient :
.
Comme
,
.
On peu de même déterminer
.
• Déterminer
en
fonction de 
uniquement.
En partant du fait que
, on
obtient
Or
,
d'où
On prouverait de même que
.
en
fonction de puis en
déduire en valeurs exactes .On a vu que
;
ainsi .En posant
, on
obtient :.Comme
,
.On peu de même déterminer
.• Déterminer
en
fonction de uniquement.En partant du fait que
, on
obtientOr
,
d'oùOn prouverait de même que
.
L'essentiel
On retiendra que pour tous réels a et b
,
et en changeant b en (–b), on obtient
et
.
Pour tout réel a ,
et
.
et en changeant b en (–b), on obtient
et
.
Pour tout réel a ,
et
.
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