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Formules d'addition et de duplication des cosinus et sinus

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Objectif
Connaître et utiliser les formules donnant le cosinus et le sinus d’une somme ou d’une différence.
1. Formules d'addition
a. Propriétés
a et b sont 2 réels quelconques :


 

 

 
Preuve :



Sur le cercle trigonométrique muni du repère orthonormé , considérons les points A et B repérés respectivement par les réels a et b .
De ce fait, dans le repère , le point A a pour coordonnées , le point B a pour coordonnées et l’angle pour mesure b – a.

Évaluons le produit scalaire de 2 manières différentes :



mais aussi

car :

et sont des rayons du cercle trigonométrique de rayon 1.

pour tout réel X .

D’où l’égalité : .

En remplaçant b par (–b) on obtient :.

En ce qui concerne les sinus, on utilise le fait que .

Ainsi,

De même que ci-dessus, on obtient en remplaçant b par –b .
b. Exemples d'utilisation
• Calculer en valeurs exactes et





On obtient ainsi le cosinus et le sinus de en valeurs exactes.

• Montrer que  pour tout réel t.
En déduire les solutions de l'équation

.

Ainsi, résoudre revient à résoudre soit c'est-à-dire  .

Or , ainsi, cela revient à déterminer les réels t tels que .

D'après la résolution de l'équation du type , on en déduit que :

      où      soit      où  .
2. Formule de duplication
a. Propriétés
En remplaçant b par a dans et , on obtient :
Pour tout réel a,



 
Mais aussi en utilisant on peut obtenir en fonction de ou à savoir :

  ou  
b. Exemples d'utilisation
• Exprimer en fonction de puis en déduire en valeurs exactes .
On a vu que ; ainsi  .

En posant , on obtient :.

Comme , .

On peu de même déterminer .


• Déterminer en fonction de uniquement.
En partant du fait que , on obtient



Or , d'où


On prouverait de même que  .
L'essentiel
On retiendra que pour tous réels a et b ,



et en changeant b en (–b), on obtient             
et .

Pour tout réel a ,
et  .

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Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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