Formules d'addition et de duplication des cosinus et sinus
Objectif
Connaître et utiliser les formules donnant le cosinus
et le sinus d’une somme ou d’une
différence.
1. Formules d'addition
a. Propriétés
a et b sont 2 réels quelconques
:



Preuve :




Sur le cercle trigonométrique muni du repère orthonormé

De ce fait, dans le repère




Évaluons le produit scalaire


mais aussi

car :
•


•

D’où l’égalité :

En remplaçant b par (–b) on obtient :

En ce qui concerne les sinus, on utilise le fait que

Ainsi,

De même que ci-dessus, on obtient

b. Exemples d'utilisation
• Calculer en valeurs exactes
et



On obtient ainsi le cosinus et le sinus de
en
valeurs exactes.
• Montrer que
pour
tout réel t.
En déduire les solutions de l'équation
.
Ainsi, résoudre
revient
à résoudre
soit
c'est-à-dire
.
Or
, ainsi,
cela revient à déterminer les réels
t tels que
.
D'après la résolution de l'équation du type
, on en
déduit que :
où
soit
où
.




On obtient ainsi le cosinus et le sinus de

• Montrer que

En déduire les solutions de l'équation


Ainsi, résoudre




Or


D'après la résolution de l'équation du type





2. Formule de duplication
a. Propriétés
En remplaçant b par a dans
et
, on
obtient :
Mais aussi en utilisant
on peut
obtenir
en
fonction de
ou
à
savoir :
ou


Pour tout réel a,









b. Exemples d'utilisation
• Exprimer
en
fonction de
puis en
déduire en valeurs exactes
.
On a vu que
;
ainsi
.
En posant
, on
obtient :
.
Comme
,
.
On peu de même déterminer
.
• Déterminer
en
fonction de
uniquement.
En partant du fait que
, on
obtient

Or
,
d'où

On prouverait de même que
.



On a vu que


En posant


Comme


On peu de même déterminer

• Déterminer


En partant du fait que


Or


On prouverait de même que

L'essentiel
On retiendra que pour tous réels a et b
,



et en changeant b en (–b), on obtient
et
.
Pour tout réel a ,
et
.



et en changeant b en (–b), on obtient


Pour tout réel a ,



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