Formules d'addition et de duplication des cosinus et sinus
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Objectif
Connaître et utiliser les formules donnant le cosinus
et le sinus d’une somme ou d’une
différence.
1. Formules d'addition
a. Propriétés
a et b sont 2 réels quelconques
:
Preuve :Sur le cercle trigonométrique muni du repère orthonormé , considérons les points A et B repérés respectivement par les réels a et b .
De ce fait, dans le repère , le point A a pour coordonnées , le point B a pour coordonnées et l’angle pour mesure b – a.
Évaluons le produit scalaire de 2 manières différentes :
mais aussi
car :
• et sont des rayons du cercle trigonométrique de rayon 1.
• pour tout réel X .
D’où l’égalité : .
En remplaçant b par (–b) on obtient :.
En ce qui concerne les sinus, on utilise le fait que .
Ainsi,
De même que ci-dessus, on obtient en remplaçant b par –b .
b. Exemples d'utilisation
• Calculer en valeurs exactes et
On obtient ainsi le cosinus et le sinus de en valeurs exactes.
• Montrer que pour tout réel t.
En déduire les solutions de l'équation
.
Ainsi, résoudre revient à résoudre soit c'est-à-dire .
Or , ainsi, cela revient à déterminer les réels t tels que .
D'après la résolution de l'équation du type , on en déduit que :
où soit où .
On obtient ainsi le cosinus et le sinus de en valeurs exactes.
• Montrer que pour tout réel t.
En déduire les solutions de l'équation
.
Ainsi, résoudre revient à résoudre soit c'est-à-dire .
Or , ainsi, cela revient à déterminer les réels t tels que .
D'après la résolution de l'équation du type , on en déduit que :
où soit où .
2. Formule de duplication
a. Propriétés
En remplaçant b par a dans
et
, on
obtient :
Mais aussi en utilisant on peut
obtenir en
fonction de ou
à
savoir :
ou
Pour tout réel a,
ou
b. Exemples d'utilisation
• Exprimer en
fonction de puis en
déduire en valeurs exactes .
On a vu que ; ainsi .
En posant , on obtient :.
Comme , .
On peu de même déterminer .
• Déterminer en fonction de uniquement.
En partant du fait que , on obtient
Or , d'où
On prouverait de même que .
On a vu que ; ainsi .
En posant , on obtient :.
Comme , .
On peu de même déterminer .
• Déterminer en fonction de uniquement.
En partant du fait que , on obtient
Or , d'où
On prouverait de même que .
L'essentiel
On retiendra que pour tous réels a et b
,
et en changeant b en (–b), on obtient
Pour tout réel a ,
et .
et en changeant b en (–b), on obtient
et
.
Pour tout réel a ,
et .
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