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Suites numériques

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Objectifs

• Modéliser des situations simples à l’aide de suites, sens de variation d’une suite.
• Savoir écrire le terme général d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique.
• Connaître le sens de variation des suites arithmétiques et géométriques.

1. Définition

Une suite numérique est la donnée d’une suite de nombres qui peuvent être logiquement déterminés ou non.
On note (u_n) ou

la suite de nombres.

Par abus de langage on s’autorise aussi à la noter u, ce qui n’est pas une notation générale.

Exemples :

• (u_n) = {0 ; 1 ; 3 ; 8 ; 2 ; 11 ; 3 ; 7} est une suite (finie) de (8) nombres sans raison apparente, on n’est pas capable de décider de la valeur du terme qui viendrait après le dernier donné.

• (u_n) : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; … on peut penser que le terme suivant sera « logiquement » 6.

• (u_n) : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19… est le début de la suite des nombres premiers (qui ne sont divisibles que par 1 et eux même). Le suivant sera 23.

2. Modes de génération d'une suite numérique

a. Générer une suite en fonction de la variable n

On donne une relation, une formule, u_n = f(n) permettant de calculer chacun des termes.

Exemples :

• Pour tout entier naturel

. Le premier terme sera

, le second

, le 3^e

, le 15^e

.

• Pour tout entier naturel n non nul,

. Le premier terme sera

, le second

, … le 10e terme sera

b. Générer une suite par récurrence

On donne le premier terme ainsi qu’une relation permettant de passer d’un terme à son suivant.

Exemples :

• Pour tout entier naturel n, on pose u₀ = 2 et

. Le premier terme est donné,

. Le 2^e terme sera

, le 3^e

. Il n’est pas possible de calculer le 15^e terme par exemple sans avoir calculé tous les termes précédents.

• Pour tout entier naturel n, on pose u₀ = –1 et

. Le premier terme est donné, c’est u₀ = –1. Le 2^e sera

, le 3e

. La suite est constante. Dans ce cas il est facile de calculer n’importe quel terme.

3. Sens de variation d'une suite

• Une suite (u_n) est croissante si pour tout entier n on a

(qui est équivalent à

).
• Une suite (u_n) est décroissante si pour tout entier n on a

(qui est équivalent à

).
• Une suite (u_n) est constante si pour tout entier n on a

(qui est équivalent à

).
Comme pour les fonctions, on dira que la suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.

Exemples :
• La suite des nombres premiers (u_n) : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23… est croissante.
• La suite définie pour tout entier n par u₀ = –1 et

est constante (voir ci-dessus).
• Sens de variation de la suite définie pour tout entier naturel n non nul par

:
on calcule

car le numérateur est négatif, et comme n est positif n(n+1) l’est aussi,
Donc

, la suite est décroissante.

4. Représentation graphique d'une suite

Dans le plan muni d’un repère, on place les points de coordonnées M_n (n ; u_n).

Exemple :

Soit

définie par

. On peut calculer la valeur de quelques termes, puis en faire une représentation graphique (points non reliés).

On trouvera (valeurs arrondies au dixième) u₀ = 3 ; u₁ = 6 ; u₂ = 7,4 ; u₃ = 7,8 ; u₄ = 7,9 ; u₅ = 8 ; u₆ = 8 … que l’on place dans le plan muni d’un repère.

Attention, une calculatrice en mode fonction, un tableur mal initialisé, donnent une représentation graphique erronée. Les points ne doivent pas être reliés (bien choisir le mode d’affichage pour le tableur, placer la calculatrice en mode « suite » et points non reliés, voir ci-après).

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