Éléments de base et instructions conditionnelles - Cours de Mathématiques avec Maxicours - Lycée

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Éléments de base et instructions conditionnelles

Objectif(s)
• Connaître le vocabulaire de l’algorithmique.
• Utiliser, créer un algorithme.
• Traduire un algorithme sur une machine (calculatrice ou autre).

1. Introduction
a. Algorithme
Un algorithme est un plan, un canevas, une liste concise d’opérations à effectuer, une suite d’instructions logiques qui doit permettre d’obtenir le résultat d’un problème que l’on se pose.

Par définition, un algorithme est un processus (procédé) fini permettant d’obtenir un résultat.
Un algorithme est normalement traduit en instructions comprises par une machine, ordinateur, calculatrice, pour effectuer les calculs nécessaires à l’obtention du résultat espéré. C’est programmer l’algorithme.

Exemple de problème : Comment calculer la moyenne de trois notes ?

Un algorithme de résolution du problème

Prendre les notes les unes après les autres, les ajouter pour en obtenir la somme totale.
Diviser cette somme totale par trois donne la moyenne.

On peut remarquer qu’il est possible de généraliser cet algorithme pour répondre à la question « moyenne des notes » sans connaître le nombre de notes, avec quelques légères transformations.
Prendre les notes les unes après les autres en les comptant, les ajouter pour en obtenir la somme totale. Diviser cette somme totale par le nombre de notes donne la moyenne.
b. De l'algorithmique pour quoi faire ?
Il s’agit généralement d’essayer de résoudre un problème de façon automatique (à l’aide d’une machine qui travaille pour nous).

En statistiques, il est agréable d’utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer les caractéristiques d’une liste de donnée : moyenne, médiane, quartiles…
Or, si la moyenne obtenue par la calculatrice est bien celle recherchée, la médiane comme les quantiles (médiane, quartiles, déciles…) ne sont plus calculés avec les mêmes définitions qu’il y a quelques années.
Toutes les calculatrices, tous les tableurs donnent un résultat qui n’est pas celui que l’on doit obtenir avec les définitions actuelles des programmes de mathématiques. L'idée est de construire un petit programme qui donnera « les » bonnes valeurs.

Le problème des quatre couleurs

C’est grâce à un programme sur ordinateur que l’on a pu démontrer qu’il suffisait de 4 couleurs pour représenter différents pays sur une carte de géographie.
La démonstration a montré que l’on pouvait n’étudier qu’un certain nombre de cas (nombreux), qui ont tous été testés par ordinateur et permis la réponse.
2. Eléments de base d'un algorithme
On considérera que l’écriture d’un algorithme exige trois parties.

Les variables, les entrées
On indique toutes les variables, les données qui seront nécessaires à l’exécution de l’algorithme.
Le traitement
On indique toutes les opérations à effectuer, les unes après les autres pour arriver au résultat.
La sortie des résultats
Les résultats obtenus peuvent être affichés sur l’écran, tracés sous forme de graphiques, imprimés, ou conservés dans un fichier (pour une utilisation ultérieure).
3. Les instructions première partie
a. L'affectation
Les différentes variables utilisées seront « affectées » par des valeurs qui pourront être numériques ou alphanumériques (des mots).

L’affectation consiste à donner une valeur à une variable.

On peut écrire « affecter 10 à A » ou plus rapidement on pourra écrire : 10 → A.
Sur calculatrice ou logiciel de programmation, on trouvera : 10 → A, A := 10, A = = 10 ou autres...
Un exemple d’utilisation est donné ci-après.

Remarques générales sur la notation des variables
Par habitude, on utilise :
• I, J, K entiers utilisés comme compteurs (boucles).
• N, M entiers d’utilisations diverses (suites…).
• X, Y, Z réels pour des coordonnées (géométrie) ou en auxiliaires de calcul.

b. La structure alternative ou conditionnelle
Selon qu’une certaine condition est vérifiée, on fera un certain traitement et si la condition n’est pas réalisée on ne fera rien ou un autre traitement.

On distingue deux cas :
SI condition… Faire…FinSi
Dans ce cas, on effectue les opérations entre Faire… et FinSi si la condition est vérifiée, on ne fera rien de ce traitement si la condition n’est pas vérifiée.
SI condition… Faire…traitement1 Sinon… Faire…traitement2 FinSi
Dans ce cas, on effectue les opérations du traitement1 entre Faire… et FinSi si la condition est vérifiée, on effectue les opérations du traitement2 entre Faire et FinSi si la condition n’est pas vérifiée.

Exemple : Simulation d’un tirage aléatoire « pile-face ».

Les machines possèdent un générateur de nombres aléatoires (on doit dire « pseudo aléatoires »). Il est possible de demander le tirage d’un nombre entre 0 (inclus) et 1 (exclus).
On considère que SI le nombre tiré est inférieur (strictement) à 0,5 on attribue le résultat à la sortie de « Pile », SINON on considère que c’est « Face ».

Remarque

Certains logiciels ou calculatrices permettent d’obtenir le tirage d’un entier compris entre deux bornes (incluses), par exemple entre 0 et 1 (on attribue 0 pour « Pile » et 1 pour « Face »), ce qui est pratique pour simuler un prolongement du problème précédent qui devient la simulation de sortie d’une face d’un dé.

Algorithme

PFACE1 Commentaires
Variables

Entrées

Traitement
Effacer l’écran
Afficher « Pile ou Face »
PAUSE (jusqu’à l’appui d’une touche)
Initialiser aléatoirement X par 0 ou 1
SI X<0,5 ALORS
Afficher « PILE »
SINON
Afficher « FACE »
FINSI
Sorties
Affichages du traitement
Il n’y a pas d’entrée à faire, on peut n’utiliser aucune variable.



On aura l’affichage de « Pile » ou « Face » chaque fois que le programme est lancé.



On peut ajouter l’instruction « Pause » si elle existe sur la calculatrice pour n’obtenir le résultat qu’après avoir appuyé sur une touche.

Traduction sur calculatrice (les instructions sont présentées à la suite les unes des autres, alors qu’elles occupent souvent plusieurs écrans).

TI- 84
TI-82 Stat TI-82

Casio Graph 35+
TI-Nspire CAS

Exemple du lancer de dé

Le principe
Choisir un nombre entier compris entre 1 et 6, l’indiquer à la machine.
Lancer un dé (utiliser le simulateur de tirage aléatoire).
Si le nombre affiché par la face supérieure correspond au nombre choisi afficher « Gagné », sinon afficher « Perdu ».

Remarque
Certaines calculatrice peuvent donner directement un nombre aléatoire entier compris entre deux entiers (bornes incluses).
Si ce n’est pas le cas, une astuce est de multiplier le nombre aléatoire fourni par la machine (entre 0 inclus et 1 exclus) par la borne supérieure de ce qui est demandé (ici 6), d’en prendre la partie entière (on obtient un entier entre 0 et 5) et d’ajouter 1.

Algorithme

Lancer d’un dé Commentaires

Variables

X , N entiers de l’ensemble [1 ; 6]
Entrées
Lire N
Traitement
Afficher « LANCER UN DE »
Afficher « UN ENTIER DE 1 A 6 »
Saisir N
Initialiser aléatoirement X par un entier entre 1 et 6
SI X=N ALORS
Afficher « Gagné »
SINON
Afficher « Perdu, face sortie », X
FINSI
Sorties
Affichages du traitement
 
Les deux variables utilisées sont des entiers de l’intervalle [1 ; 6]. On pourrait se passer de la variable X.






Si la calculatrice le fait directement. Sinon il faudra utiliser l’indication ci-dessus.



 

TI- 84
TI-82 Stat TI-82
Casio Graph 35+
TI-Nspire CAS

Remarque
Ce programme ne vérifie pas que le nombre entré répond aux conditions demandées.
À vous de réaliser ce petit complément avec ce qui a été vu précédemment.



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