Étude asymptotique d'une marche aléatoire
Objectif
Prévoir l'éventuelle convergence des
états probabilistes d'une marche aléatoire.
Soit N un entier naturel non nul. Soit
Pn la matrice colonne à
N lignes décrivant l'état probabiliste
à l'étape n d'une marche aléatoire
sur un graphe probabiliste à N sommets.
La somme des coefficients de Pn vaut toujours 1.
On notera par A la matrice de transition du graphe associé à cette marche aléatoire.
La somme des coefficients de Pn vaut toujours 1.
On notera par A la matrice de transition du graphe associé à cette marche aléatoire.
1. Suite de matrices (Pn)
La suite (Pn) est définie par
P0 et
Pn+1 =
A × Pn.
Remarque : La matrice A est la matrice de transition du graphe associé à la marche aléatoire.
Cette marche aléatoire admet un état
stable S avec S =
AS.
Remarque : L'état stable ne dépend pas de l'état initial P0.
2. Étude de la convergence de (Pn)
a. Notion de convergence
Une suite de matrices colonnes (Pn)
qui converge vers la matrice colonne
L signifie que chaque coefficient
de la matrice Pn
converge vers le coefficient de L qui
lui correspond.
Exemple :
converge vers 
.
b. Théorème admis
Si la matrice de transition d'une marche
aléatoire admet une puissance dont tous les
coefficient sont strictement positifs, alors
(Pn) converge vers un
état stable unique S.
Méthode :
Pour trouver l'état stable, il faut résoudre un système en n'oubliant pas que la somme des coefficients de l'état stable vaut 1.
Exemple :
Déterminons l'état stable de la matrice de transition A =
.Posons S =
. On a alors : 
La probabilité de revenir au bout d'un certain temps à l'état initial vaut donc
.
L'essentiel
La suite (Pn), représentant la
matrice colonne qui décrit l'état probabiliste
d'une marche aléatoire, est définie par
P0 et
Pn+1 = A
× Pn.
Cette marche aléatoire admet un état stable S avec S = AS.
Cette marche aléatoire admet un état stable S avec S = AS.
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