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Étude asymptotique d'une marche aléatoire

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Objectif

Prévoir l'éventuelle convergence des états probabilistes d'une marche aléatoire.

Soit N un entier naturel non nul. Soit P_n la matrice colonne à N lignes décrivant l'état probabiliste à l'étape n d'une marche aléatoire sur un graphe probabiliste à N sommets.
La somme des coefficients de P_n vaut toujours 1.
On notera par A la matrice de transition du graphe associé à cette marche aléatoire.

1. Suite de matrices (Pn)

La suite (P_n) est définie par P₀ et P_n₊₁ = A × P_n.

Remarque : La matrice A est la matrice de transition du graphe associé à la marche aléatoire.

Cette marche aléatoire admet un état stable S avec S = AS.

Remarque : L'état stable ne dépend pas de l'état initial P₀.

2. Étude de la convergence de (Pn)

a. Notion de convergence

Une suite de matrices colonnes (P_n) qui converge vers la matrice colonne L signifie que chaque coefficient de la matrice P_n converge vers le coefficient de L qui lui correspond.

Exemple :

converge vers

b. Théorème admis

Si la matrice de transition d'une marche aléatoire admet une puissance dont tous les coefficient sont strictement positifs, alors (P_n) converge vers un état stable unique S.

Méthode :
Pour trouver l'état stable, il faut résoudre un système en n'oubliant pas que la somme des coefficients de l'état stable vaut 1.

Exemple :
Déterminons l'état stable de la matrice de transition A =

.
Posons S =

. On a alors :

La probabilité de revenir au bout d'un certain temps à l'état initial vaut donc

L'essentiel

La suite (P_n), représentant la matrice colonne qui décrit l'état probabiliste d'une marche aléatoire, est définie par P₀ et P_n₊₁ = A × P_n.
Cette marche aléatoire admet un état stable S avec S = AS.

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