Étude asymptotique d'une marche aléatoire - Maxicours

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Étude asymptotique d'une marche aléatoire

Objectif
Prévoir l'éventuelle convergence des états probabilistes d'une marche aléatoire.
Soit N un entier naturel non nul. Soit Pn la matrice colonne à N lignes décrivant l'état probabiliste à l'étape n d'une marche aléatoire sur un graphe probabiliste à N sommets.
La somme des coefficients de Pn vaut toujours 1.
On notera par A la matrice de transition du graphe associé à cette marche aléatoire.

1. Suite de matrices (Pn)
La suite (Pn) est définie par P0 et Pn+1 = A × Pn.

Remarque : La matrice A est la matrice de transition du graphe associé à la marche aléatoire.

Cette marche aléatoire admet un état stable S avec S = AS.

Remarque :
L'état stable ne dépend pas de l'état initial P0.
2. Étude de la convergence de (Pn)
a. Notion de convergence
Une suite de matrices colonnes (Pn) qui converge vers la matrice colonne L signifie que chaque coefficient de la matrice Pn converge vers le coefficient de L qui lui correspond.

Exemple :
converge vers .
b. Théorème admis
Si la matrice de transition d'une marche aléatoire admet une puissance dont tous les coefficient sont strictement positifs, alors (Pn) converge vers un état stable unique S.

Méthode :

Pour trouver l'état stable, il faut résoudre un système en n'oubliant pas que la somme des coefficients de l'état stable vaut 1.

Exemple :
Déterminons l'état stable de la matrice de transition A = .
Posons S = . On a alors :
La probabilité de revenir au bout d'un certain temps à l'état initial vaut donc .
L'essentiel
La suite (Pn), représentant la matrice colonne qui décrit l'état probabiliste d'une marche aléatoire, est définie par P0 et Pn+1 = A × Pn.
Cette marche aléatoire admet un état stable S avec S = AS.

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