Bases et repères de l'espace
Objectifs
- Reconnaitre une base de l’espace.
- Décomposer un vecteur dans une base de l’espace.
- Déterminer les coordonnées d’un point dans un repère de l’espace.
- Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base de l’espace.
Points clés
- Une base de l’espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Un repère de l’espace est constitué d’un point et d’une base de l’espace.
- La somme des vecteurs
et 
est le vecteur dont les
coordonnées sont la somme des coordonnées
de 
et 
: 
.
- Soit k un
réel quelconque. Le produit
de k par
un vecteur donne un vecteur dont les
coordonnées sont le produit des coordonnées
de par k :
.
- Deux vecteurs et sont colinéaires s'il
existe un réel k tel que = k ce qui implique que :
.
- Si les points A et
B ont pour
coordonnées A(xA ; yA ; zA)
et B(xB ; yB ; zB),
alors le vecteur
a pour coordonnées :
(xB – xA ; yB – yA ; zB – zA).
- Si les points A et
B ont pour
coordonnées A(xA ; yA ; zA)
et B(xB ; yB ; zB)
alors le point M, milieu du segment [AB], a pour
coordonnées :
.
Pour bien comprendre
- Connaitre la notion de colinéarité de deux vecteurs.
- Connaitre la notion de vecteurs coplanaires.
1. Base de l'espace
a. Définition
Si 
, 
et 
sont trois vecteurs non
coplanaires, alors ils constituent une base de
l’espace.
, et sont trois vecteurs non
coplanaires, alors ils constituent une base de
l’espace.
On note cette base 
.
Exemple : Dans un cube
b. Propriété
Soit une base de l’espace,
alors, pour tout vecteur de l'espace, il existe un
unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que
.
Dans ce cas, on dit que l’on a décomposé en fonction de , et .
une base de l’espace,
alors, pour tout vecteur de l'espace, il existe un
unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que
.Dans ce cas, on dit que l’on a décomposé
en fonction de , et .
Exemple
On considère la base avec (1 ; 0 ; 0),
(0 ; 1 ; 0)
et (0 ; 0 ; 1).
Le vecteur (2 ; 3 ; 5)
se décompose en 
.
On considère la base
avec (1 ; 0 ; 0),
(0 ; 1 ; 0)
et (0 ; 0 ; 1).
Le vecteur (2 ; 3 ; 5)
se décompose en .
c. Opérations sur les vecteurs dans une base
Dans l’espace muni de la base on considère les
vecteurs et .
Addition de deux vecteurs
Propriété
La somme des vecteurs et est le vecteur dont les
coordonnées sont la somme des coordonnées
de et 
:
La somme des vecteurs
et est le vecteur dont les
coordonnées sont la somme des coordonnées
de et :
Exemple
Si(1 ; 2 ; 3)
et (2 ; 1 ;
–1), alors +
(3 ; 3 ; 2).
Si
(1 ; 2 ; 3)
et (2 ; 1 ;
–1), alors +
(3 ; 3 ; 2).
Multiplication par un réel
Propriété
Soit k un réel quelconque. Le produit de k par un vecteur donne un vecteur dont les
coordonnées sont le produit des
coordonnées de par k :
Soit k un réel quelconque. Le produit de k par un vecteur
donne un vecteur dont les
coordonnées sont le produit des
coordonnées de par k :
Exemple
Si(2 ; –1 ;
–2) et k = 3, alors 
.
Si
(2 ; –1 ;
–2) et k = 3, alors .
d. Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs et sont colinéaires
s'il existe un réel k tel que 
ce qui implique que :
et sont colinéaires
s'il existe un réel k tel que ce qui implique que :
Exemple
Soit(2 ; 4 ; 6)
et (6 ; 12 ; 18). On a
= 3, donc et sont colinéaires.
Soit
(2 ; 4 ; 6)
et (6 ; 12 ; 18). On a
= 3, donc et sont colinéaires.
2. Repère de l'espace
a. Définition
Un repère de l’espace est
constitué d’un point de l’espace et
d’une base de l’espace.
Exemple et notation
Si à une base de l'espace on associe un
point O, alors
on obtient un repère 
.
Si à une base
de l'espace on associe un
point O, alors
on obtient un repère .
Remarques
Le point O est l’origine du repère.
Dans le repère, à tout
point M on
peut associer un vecteur 
décomposé de la
façon suivante : 
.
(x ; y ; z) correspond alors non seulement aux coordonnées du vecteur mais aussi à celles du
point M(x ; y ; z)
dans le repère :
Le point O est l’origine du repère.
Dans le repère
, à tout
point M on
peut associer un vecteur décomposé de la
façon suivante : .(x ; y ; z) correspond alors non seulement aux coordonnées du vecteur
mais aussi à celles du
point M(x ; y ; z)
dans le repère :
- la première coordonnée (x) correspond à l'abscisse ;
- la deuxième coordonnée (y) correspond à l'ordonnée ;
- la troisième coordonnée (z) correspond à la côte.
Un repère est orthonormé
si
, 
et 
Exemple
Soit un cube muni du repère orthonormé.
On a 
, donc (1 ; 1 ; 0) et M(1 ; 1 ; 0).
Soit un cube muni du repère orthonormé
.On a , donc (1 ; 1 ; 0) et M(1 ; 1 ; 0).
b. Propriétés
Coordonnées d'un vecteur
Propriété
Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors le vecteur a pour
coordonnées :
(xB – xA ; yB – yA ; zB – zA).
Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors le vecteur
a pour
coordonnées : (xB – xA ; yB – yA ; zB – zA).
Milieu d'un segment
Propriété
Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) alors le point M, milieu du segment AB, a pour coordonnées :
.
Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) alors le point M, milieu du segment AB, a pour coordonnées :
.
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