Bases et repères de l'espace
- Reconnaitre une base de l’espace.
- Décomposer un vecteur dans une base de l’espace.
- Déterminer les coordonnées d’un point dans un repère de l’espace.
- Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base de l’espace.
- Une base de l’espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Un repère de l’espace est constitué d’un point et d’une base de l’espace.
- La somme des vecteurs
et
est le vecteur dont les coordonnées sont la somme des coordonnées de
et
:
.
- Soit k un
réel quelconque. Le produit
de k par
un vecteur
donne un vecteur dont les coordonnées sont le produit des coordonnées de
par k :
.
- Deux vecteurs
et
sont colinéaires s'il existe un réel k tel que
= k ce qui implique que :
.
- Si les points A et
B ont pour
coordonnées A(xA ; yA ; zA)
et B(xB ; yB ; zB),
alors le vecteur
a pour coordonnées :
(xB – xA ; yB – yA ; zB – zA).
- Si les points A et
B ont pour
coordonnées A(xA ; yA ; zA)
et B(xB ; yB ; zB)
alors le point M, milieu du segment [AB], a pour
coordonnées :
.
- Connaitre la notion de colinéarité de deux vecteurs.
- Connaitre la notion de vecteurs coplanaires.



On note cette base .




Dans ce cas, on dit que l’on a décomposé




On considère la base






Dans l’espace muni de la base on considère les
vecteurs
et
.
La somme des vecteurs





Si




Soit k un réel quelconque. Le produit de k par un vecteur



Si






Soit






Si à une base



Le point O est l’origine du repère.
Dans le repère



(x ; y ; z) correspond alors non seulement aux coordonnées du vecteur


- la première coordonnée (x) correspond à l'abscisse ;
- la deuxième coordonnée (y) correspond à l'ordonnée ;
- la troisième coordonnée (z) correspond à la côte.
Un repère est orthonormé
si
,
et
Soit un cube muni du repère orthonormé




Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors le vecteur


Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) alors le point M, milieu du segment AB, a pour coordonnées :


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