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Bases et repères de l'espace

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Objectifs
  • Reconnaitre une base de l’espace.
  • Décomposer un vecteur dans une base de l’espace.
  • Déterminer les coordonnées d’un point dans un repère de l’espace.
  • Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base de l’espace.
Points clés
  • Une base de l’espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Un repère de l’espace est constitué d’un point et d’une base de l’espace.
  • La somme des vecteurs et est le vecteur dont les coordonnées sont la somme des coordonnées de  et  : .
  • Soit k un réel quelconque. Le produit de k par un vecteur  donne un vecteur dont les coordonnées sont le produit des coordonnées de  par k : .
  • Deux vecteurs et sont colinéaires s'il existe un réel k tel que   = k ce qui implique que : .
  • Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors le vecteur a pour coordonnées : (xB –  xA ; yB – yA ; zB – zA).
  • Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) alors le point M, milieu du segment [AB], a pour coordonnées : .
Pour bien comprendre
  • Connaitre la notion de colinéarité de deux vecteurs.
  • Connaitre la notion de vecteurs coplanaires.
1. Base de l'espace
a. Définition
Si , et sont trois vecteurs non coplanaires, alors ils constituent une base de l’espace.

On note cette base .

Exemple : Dans un cube
b. Propriété
Soit une base de l’espace, alors, pour tout vecteur de l'espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que .
Dans ce cas, on dit que l’on a décomposé en fonction de , et .
Exemple
On considère la base avec (1 ; 0 ; 0), (0 ; 1 ; 0) et (0 ; 0 ; 1). Le vecteur (2 ; 3 ; 5) se décompose en .
c. Opérations sur les vecteurs dans une base

Dans l’espace muni de la base on considère les vecteurs et .

Addition de deux vecteurs
Propriété
La somme des vecteurs et est le vecteur dont les coordonnées sont la somme des coordonnées de et :
Exemple
Si (1 ; 2 ; 3) et (2 ; 1 ; –1), alors + (3 ; 3 ; 2).
Multiplication par un réel
Propriété
Soit k un réel quelconque. Le produit de k par un vecteur donne un vecteur dont les coordonnées sont le produit des coordonnées de par k :
Exemple
Si (2 ; –1 ; –2) et k = 3, alors .
d. Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs et sont colinéaires s'il existe un réel k tel que ce qui implique que :
Exemple
Soit (2 ; 4 ; 6) et (6 ; 12 ; 18). On a = 3, donc et sont colinéaires.
2. Repère de l'espace
a. Définition
Un repère de l’espace est constitué d’un point de l’espace et d’une base de l’espace.
Exemple et notation
Si à une base de l'espace on associe un point O, alors on obtient un repère .
Remarques
Le point O est l’origine du repère.
Dans le repère , à tout point M on peut associer un vecteur décomposé de la façon suivante : .
(x ; y ; z) correspond alors non seulement aux coordonnées du vecteur mais aussi à celles du point M(x ; y ; z) dans le repère :
  • la première coordonnée (x) correspond à l'abscisse ;
  • la deuxième coordonnée (y) correspond à l'ordonnée ;
  • la troisième coordonnée (z) correspond à la côte.

Un repère est orthonormé si
, et

Exemple
Soit un cube muni du repère orthonormé .On a , donc (1 ; 1 ; 0) et M(1 ; 1 ; 0).
b. Propriétés
Coordonnées d'un vecteur
Propriété
Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors le vecteur a pour coordonnées :
(xBxA ; yByA ; zBzA).
Milieu d'un segment
Propriété
Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) alors le point M, milieu du segment AB, a pour coordonnées :
.

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Question 5/5

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