Bases et repères de l'espace
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Objectifs
- Reconnaitre une base de l’espace.
- Décomposer un vecteur dans une base de l’espace.
- Déterminer les coordonnées d’un point dans un repère de l’espace.
- Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base de l’espace.
Points clés
- Une base de l’espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Un repère de l’espace est constitué d’un point et d’une base de l’espace.
- La somme des vecteurs
et
est le vecteur dont les coordonnées sont la somme des coordonnées de
et
:
.
- Soit k un
réel quelconque. Le produit
de k par
un vecteur
donne un vecteur dont les coordonnées sont le produit des coordonnées de
par k :
.
- Deux vecteurs
et
sont colinéaires s'il existe un réel k tel que
= k ce qui implique que :
.
- Si les points A et
B ont pour
coordonnées A(xA ; yA ; zA)
et B(xB ; yB ; zB),
alors le vecteur
a pour coordonnées :
(xB – xA ; yB – yA ; zB – zA).
- Si les points A et
B ont pour
coordonnées A(xA ; yA ; zA)
et B(xB ; yB ; zB)
alors le point M, milieu du segment [AB], a pour
coordonnées :
.
Pour bien comprendre
- Connaitre la notion de colinéarité de deux vecteurs.
- Connaitre la notion de vecteurs coplanaires.
1. Base de l'espace
a. Définition
Si
,
et
sont trois vecteurs non
coplanaires, alors ils constituent une base de
l’espace.



On note cette base .
Exemple : Dans un cube

b. Propriété
Soit
une base de l’espace,
alors, pour tout vecteur
de l'espace, il existe un
unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que
.
Dans ce cas, on dit que l’on a décomposé
en fonction de
,
et
.



Dans ce cas, on dit que l’on a décomposé




Exemple
On considère la base
avec
(1 ; 0 ; 0),
(0 ; 1 ; 0)
et
(0 ; 0 ; 1).
Le vecteur
(2 ; 3 ; 5)
se décompose en
.
On considère la base






c. Opérations sur les vecteurs dans une base
Dans l’espace muni de la base on considère les
vecteurs
et
.
Addition de deux vecteurs
Propriété
La somme des vecteurs
et
est le vecteur dont les
coordonnées sont la somme des coordonnées
de
et
:
La somme des vecteurs





Exemple
Si
(1 ; 2 ; 3)
et
(2 ; 1 ;
–1), alors
+
(3 ; 3 ; 2).
Si




Multiplication par un réel
Propriété
Soit k un réel quelconque. Le produit de k par un vecteur
donne un vecteur dont les
coordonnées sont le produit des
coordonnées de
par k :
Soit k un réel quelconque. Le produit de k par un vecteur



Exemple
Si
(2 ; –1 ;
–2) et k = 3, alors
.
Si


d. Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs
et
sont colinéaires
s'il existe un réel k tel que
ce qui implique que :




Exemple
Soit
(2 ; 4 ; 6)
et
(6 ; 12 ; 18). On a
= 3
, donc
et
sont colinéaires.
Soit






2. Repère de l'espace
a. Définition
Un repère de l’espace est
constitué d’un point de l’espace et
d’une base de l’espace.
Exemple et notation
Si à une base
de l'espace on associe un
point O, alors
on obtient un repère
.
Si à une base



Remarques
Le point O est l’origine du repère.
Dans le repère
, à tout
point M on
peut associer un vecteur
décomposé de la
façon suivante :
.
(x ; y ; z) correspond alors non seulement aux coordonnées du vecteur
mais aussi à celles du
point M(x ; y ; z)
dans le repère
:
Le point O est l’origine du repère.
Dans le repère



(x ; y ; z) correspond alors non seulement aux coordonnées du vecteur


- la première coordonnée (x) correspond à l'abscisse ;
- la deuxième coordonnée (y) correspond à l'ordonnée ;
- la troisième coordonnée (z) correspond à la côte.
Un repère est orthonormé
si
,
et
Exemple
Soit un cube muni du repère orthonormé
.
On a
, donc
(1 ; 1 ; 0) et M(1 ; 1 ; 0).
Soit un cube muni du repère orthonormé




b. Propriétés
Coordonnées d'un vecteur
Propriété
Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors le vecteur
a pour
coordonnées :
(xB – xA ; yB – yA ; zB – zA).
Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors le vecteur


Milieu d'un segment
Propriété
Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) alors le point M, milieu du segment AB, a pour coordonnées :
.
Si les points A et B ont pour coordonnées A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) alors le point M, milieu du segment AB, a pour coordonnées :

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