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La primitive comme solution d'une équation différentielle y'=f

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Objectifs
  • Comprendre le lien entre la notion de primitive et les équations différentielles.
  • Connaitre les primitives des fonctions de référence.
Points clés
  • Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.
  • Pour une fonction f continue et définie sur un intervalle I, une de ses primitives constitue une des solutions de l’équation différentielle y' = f.
  • Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I une fonction F dérivable sur I telle que F' = f.
  • Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
  • Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
Pour bien comprendre
  • Déterminer la dérivée d’une fonction.
  • Connaitre la notion de continuité d’une fonction.
  • Connaitre les dérivées des fonctions usuelles.
1. Définition d'une équation différentielle
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.
Exemple – Équation différentielle du type y' = f
L’équation différentielle y' = 3x a pour inconnue la fonction y qui dépend de x.
Une des solutions de cette équation différentielle est la fonction y définie sur par . En effet, .
Remarque
La résolution de ce type d’équation différentielle est expliquée dans la suite de cette fiche.
Exemple – Équation différentielle du type y' = y2
Remarque
Dans cette équation différentielle, le membre de gauche dépend lui-même de la fonction y.
Une des solutions de cette équation différentielle est la fonction y définie sur par . En effet, et .
Exemple – Équation différentielle du type y'' + ω2y = 0
Remarque
Cette équation différentielle est dite d’ordre 2 car elle fait intervenir la dérivée seconde de la fonction y.
L’équation y'' + 9y = 0 compte parmi ses solutions la fonction y définie sur par y(x) = cos(3x) + sin(3x).
En effet, y''(x) = – 9 cos(3x) – 9 sin(3x) donc y'' + 9y = 0.
2. Définition de la primitive d'une fonction continue f sur un intervalle
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de . On dit que la fonction g est une solution de l’équation différentielle y' = f sur I si et seulement si g est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a g'(x) = f(x).
Exemples

• Soit l’équation différentielle y = 2x2 – 4x. La fonction définie sur par est solution de cette équation différentielle car y est dérivable et pour tout réel x de , .

• Soit l’équation différentielle y = . La fonction définie sur par y(x) = 2 ln(x) est solution de cette équation différentielle car y est dérivable et, pour tout réel x strictement positif, .

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I une fonction F dérivable sur I telle que F' f.
Propriété (admise)
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
3. Primitives des fonctions de référence

Par définition, la recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation.

On a alors l’équivalence : « F a pour dérivée f » et « f a pour primitive F » et on obtient le tableau des primitives des fonctions de référence par lecture inverse du tableau des dérivées.

 Fonction f  Une primitive de f  Domaine de définition
f(xa, a ∈  F(x) = ax
 f(x) = xn, n ∈  /{– 1} pour n  0
ou
pour
 
F(x) = ln(x)
 
 f(x) = ex F(x) = ex
f(x) = sin(x)  F(x) = – cos(x)  
f(x) = cos(x)  F(x) = sin(x)  
Remarque
Bien que l’existence de primitives sur un intervalle soit assurée pour toute fonction continue sur cet intervalle, il se peut que l’on ne dispose pas de forme explicite de ces primitives. On ne peut donc pas trouver de primitive pour ces fonctions par lecture inverse du tableau des dérivées. C’est le cas par exemple de la fonction définie sur par .
Propriété
Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
Démonstration

Soit F et G deux primitives de la fonction f sur I.
On a alors F'(x) = f(x) et G'(x) = f(x).
Donc F'(x) = G'(x), soit F'(x)G'(x) = 0, soit encore (F G)'(x= 0.
La fonction F G possède une dérivée nulle sur I, elle est donc constante sur I.
On nomme K cette constante. Ainsi, F(x) G(x) K pour tout x de I.
On en déduit que les deux primitives de f diffèrent d’une constante.

Exemple
Les primitives de la fonction f définie sur par f(x) = 8x + 3 sont les fonctions F telles que F(x) = 4x2 + 3x + k, avec k réel. Toutes les primitives de la fonction f diffèrent d’une constante.

• Déterminer la primitive de la fonction f telle que F(0) = 2.

F(0) = 2 + k, donc F(0) = 2 si et seulement si k = 2. La primitive de la fonction f telle que F(0) = 2 est la fonction F telle que F(x= 4x2 + 3x + 2.

• Déterminer la primitive de la fonction f telle que F(1) = 0.

F(1) = 4 + 3 + k = 7 + k, donc F(1) = 0 si et seulement si k = – 7. La primitive de la fonction f telle que F(1) = 0 est la fonction F telle que F(x4x2 + 3x 7.

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