La primitive comme solution d'une équation différentielle y'=f
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- Comprendre le lien entre la notion de primitive et les équations différentielles.
- Connaitre les primitives des fonctions de référence.
- Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.
- Pour une fonction f continue et définie sur un intervalle I, une de ses primitives constitue une des solutions de l’équation différentielle y' = f.
- Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I une fonction F dérivable sur I telle que F' = f.
- Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
- Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
- Déterminer la dérivée d’une fonction.
- Connaitre la notion de continuité d’une fonction.
- Connaitre les dérivées des fonctions usuelles.
L’équation différentielle y' = 3x a pour inconnue la fonction y qui dépend de x.
Une des solutions de cette équation différentielle est la fonction y définie sur
par 
. En effet, 
.
La résolution de ce type d’équation différentielle est expliquée dans la suite de cette fiche.
Dans cette équation différentielle, le membre de gauche dépend lui-même de la fonction y.
par 
. En effet, 
et 
.
Cette équation différentielle est dite d’ordre 2 car elle fait intervenir la dérivée seconde de la fonction y.
par y(x) = cos(3x) + sin(3x).En effet, y''(x) = – 9 cos(3x) – 9 sin(3x) donc y'' + 9y = 0.
. On dit que la
fonction g est une solution de
l’équation différentielle
y' = f
sur I si et
seulement si g est dérivable
sur I et, pour
tout réel x de I, on a g'(x) = f(x).
• Soit l’équation
différentielle y = 2x2
– 4x. La fonction
définie sur par 
est solution de cette
équation différentielle car
y est
dérivable et pour tout
réel x de , 
.
• Soit l’équation
différentielle y = 
. La fonction définie
sur 
par y(x) = 2 ln(x)
est solution de cette
équation différentielle car
y est dérivable et, pour tout
réel x strictement positif,
.
On appelle primitive de f sur I une fonction F dérivable sur I telle que F' = f.
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Par définition, la recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation.
On a alors l’équivalence : « F a pour dérivée f » et « f a pour primitive F » et on obtient le tableau des primitives des fonctions de référence par lecture inverse du tableau des dérivées.
| Fonction f | Une primitive de f | Domaine de définition |
f(x) = a, a
∈ 
|
F(x) = ax |
|
f(x) = xn,
n ∈  /{– 1}
|
|
pour n ≥ 0 ou pour 
|
|
|
|
|
F(x) = ln(x) |
|
|
|
|
| f(x) = ex | F(x) = ex |
|
| f(x) = sin(x) | F(x) = – cos(x) |
|
| f(x) = cos(x) | F(x) = sin(x) |
|
Bien que l’existence de primitives sur un intervalle soit assurée pour toute fonction continue sur cet intervalle, il se peut que l’on ne dispose pas de forme explicite de ces primitives. On ne peut donc pas trouver de primitive pour ces fonctions par lecture inverse du tableau des dérivées. C’est le cas par exemple de la fonction définie sur
par 
.
Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
Soit F et
G deux
primitives de la fonction f sur I.
On a alors F'(x) = f(x)
et G'(x) = f(x).
Donc F'(x) = G'(x), soit F'(x) –
G'(x) = 0, soit encore
(F
–
G)'(x) = 0.
La fonction F
–
G
possède une dérivée nulle
sur I, elle est
donc constante sur I.
On nomme K
cette constante. Ainsi, F(x) – G(x) = K pour tout x de I.
On en déduit que les deux primitives
de f
diffèrent d’une constante.
Les primitives de la fonction f définie sur
par f(x) = 8x + 3
sont les fonctions F telles que F(x) = 4x2 + 3x + k,
avec k réel. Toutes
les primitives de la fonction f diffèrent
d’une constante.
• Déterminer la primitive de la fonction f telle que F(0) = 2.
F(0) = 2 + k, donc F(0) = 2 si et seulement si k = 2. La primitive de la fonction f telle que F(0) = 2 est la fonction F telle que F(x) = 4x2 + 3x + 2.
• Déterminer la primitive de la fonction f telle que F(1) = 0.
F(1) = 4 + 3 + k = 7 + k, donc F(1) = 0 si et seulement si k = – 7. La primitive de la fonction f telle que F(1) = 0 est la fonction F telle que F(x) = 4x2 + 3x – 7.
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