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L'équation cartésienne d'un plan

Objectifs

Connaitre la définition d’un vecteur normal à un plan.
Savoir trouver l’équation cartésienne d’un plan à partir d’un vecteur normal au plan et d’un point du plan.

Points clés

On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur directeur d'une droite perpendiculaire au plan P.
A est un point donné, un vecteur et M un point de l'espace. M est dans le plan passant par A de vecteur normal .
Dans un repère orthonormé, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0, avec a, b et c non nuls, et le vecteur est normal à P.
a, b, c et d étant quatre réels donnés avec a, b et c pas tous nuls, l'ensemble des points M(x ; y ; z) tel que ax + by + cz + d = 0 est un plan qui admet pour vecteur normal le vecteur .

Pour bien comprendre

Connaitre le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace.

1. Vecteur normal

On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur directeur d'une droite perpendiculaire au plan P.

Théorème 1
Si

sont deux vecteurs non-colinéaires du plan P, le vecteur

est normal au plan P si et seulement si

est orthogonal aux vecteurs

Théorème 2
Soit A un point donné,

un vecteur et M un point de l'espace.
Si M est dans le plan passant par A de vecteur normal

, alors

est orthogonal à

Exemple
P est le plan qui passe par les points M et A et de vecteur normal

2. Équation cartésienne d'un plan

Théorème
Dans un repère orthonormé, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non-nuls, et le vecteur

est normal à P.

Démonstration

Dans un repère orthonormal, soit , et .
avec .

Exemple
Dans un repère orthonormé, on donne A(2 ; 2 ; 3) et

(1 ; 2 ; 3). Le plan de vecteur normal

et passant par A a pour équation, avec

, soit x + 2y + 2z – 15 = 0.

Réciproque
Réciproquement, a, b, c et d étant quatre réels donnés avec a, b et c pas tous nuls, l'ensemble des points

tel que

est un plan qui admet pour vecteur normal le vecteur

Exemple
P est le plan d'équation 2x – y + z – 2 = 0 et

est normal à P.

Méthode
Dans un repère orthonormé, pour déterminer une équation cartésienne du plan

passant par les trois points non-alignés A, B et C, une méthode consiste à :

déterminer un vecteur orthogonal aux vecteurs et et obtenir ainsi un vecteur normal au plan (ABC) et les coefficients a, b et c de l'équation cherchée.
calculer le coefficient d en utilisant l'appartenance de l'un des points au plan (ABC).