L'équation cartésienne d'un plan - Maxicours

L'équation cartésienne d'un plan

Objectifs
  • Connaitre la définition d’un vecteur normal à un plan.
  • Savoir trouver l’équation cartésienne d’un plan à partir d’un vecteur normal au plan et d’un point du plan.
Points clés
  • On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur directeur d'une droite perpendiculaire au plan P.
  • A est un point donné, un vecteur et M un point de l'espace. M est dans le plan passant par A de vecteur normal .
  • Dans un repère orthonormé, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0, avec a, b et c non nuls, et le vecteur est normal à P.
  • a, b, c et d étant quatre réels donnés avec a, b et c pas tous nuls, l'ensemble des points M(x ; y ; z) tel que ax + by + cz + d = 0 est un plan qui admet pour vecteur normal le vecteur .
Pour bien comprendre

Connaitre le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace.

1. Vecteur normal
On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur directeur d'une droite perpendiculaire au plan P.

Théorème 1
Si sont deux vecteurs non-colinéaires du plan P, le vecteur est normal au plan P si et seulement si est orthogonal aux vecteurs .

Théorème 2
Soit A un point donné, un vecteur et M un point de l'espace.
Si M est dans le plan passant par A de vecteur normal , alors est orthogonal à et .
Exemple
P est le plan qui passe par les points M et A et de vecteur normal .
2. Équation cartésienne d'un plan
Théorème
Dans un repère orthonormé, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non-nuls, et le vecteur est normal à P.

Démonstration

Dans un repère orthonormal, soit , et .
avec .

Exemple
Dans un repère orthonormé, on donne A(2 ; 2 ; 3) et (1 ; 2 ; 3). Le plan de vecteur normal et passant par A a pour équation, avec  :
, soit x + 2y + 2z – 15 = 0.
Réciproque
Réciproquement, a, b, c et d étant quatre réels donnés avec a, b et c pas tous nuls, l'ensemble des points tel que est un plan qui admet pour vecteur normal le vecteur .
Exemple
P est le plan d'équation 2x – y + z – 2 = 0 et est normal à P.
Méthode
Dans un repère orthonormé, pour déterminer une équation cartésienne du plan passant par les trois points non-alignés A, B et C, une méthode consiste à :
  • déterminer un vecteur orthogonal aux vecteurs et et obtenir ainsi un vecteur normal au plan (ABC) et les coefficients a, b et c de l'équation cherchée.
  • calculer le coefficient d en utilisant l'appartenance de l'un des points au plan (ABC).
Exemple
Dans un repère orthonormé soit , et .
Déterminons une équation du plan (ABC).
et ne sont pas colinéaires donc A, B et C déterminent un plan.
ou

ou
Les vecteurs orthogonaux aux vecteurs et sont les vecteurs dont les coordonnées satisfont au système .

Ce système équivaut à : .

Si a = 8 alors b = –2 et c = 13. Un vecteur normal au plan (ABC) est le vecteur , donc l'équation cherchée est de la forme : .

donc ses coordonnées vérifient l'équation du plan : , d'où une équation du plan (ABC) est

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