L'équation cartésienne d'un plan
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- Connaitre la définition d’un vecteur normal à un plan.
- Savoir trouver l’équation cartésienne d’un plan à partir d’un vecteur normal au plan et d’un point du plan.
- On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur directeur d'une droite perpendiculaire au plan P.
-
A est un point
donné,
un vecteur et M un point de l'espace.
M est dans le
plan passant par A de vecteur normal 
.
- Dans un repère orthonormé, tout
plan P a
une équation de forme ax + by + cz + d = 0,
avec a,
b et
c non nuls, et
le vecteur
est normal
à P.
-
a,
b,
c et
d étant
quatre réels donnés avec a, b et c pas tous nuls, l'ensemble
des points M(x ; y ; z) tel que ax + by + cz + d = 0
est un plan qui admet pour vecteur normal le vecteur
.
Connaitre le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace.
Si
sont deux vecteurs
non-colinéaires du plan P, le vecteur 
est normal au plan
P si et
seulement si 
est orthogonal aux
vecteurs 
.
Soit A un point donné,
un vecteur et M un point de l'espace.Si M est dans le plan passant par A de vecteur normal
, alors 
est orthogonal à et 
.
P est le plan qui passe par les points M et A et de vecteur normal
.
Dans un repère orthonormé, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non-nuls, et le vecteur
est
normal à P.
Dans un repère orthonormal, soit 
, 
et 
.
avec 
.
Dans un repère orthonormé, on donne A(2 ; 2 ; 3) et
(1 ; 2 ; 3).
Le plan de vecteur normal et passant par A a pour équation, avec
:
, soit x + 2y + 2z – 15 = 0.
Réciproquement, a, b, c et d étant quatre réels donnés avec a, b et c pas tous nuls, l'ensemble des points
tel que 
est un plan qui admet pour
vecteur normal le vecteur .
P est le plan d'équation 2x – y + z – 2 = 0 et
est normal
à P.
Dans un repère orthonormé, pour déterminer une équation cartésienne du plan
passant par les trois points
non-alignés A,
B et C, une méthode consiste
à :
- déterminer un vecteur orthogonal aux vecteurs
et 
et obtenir ainsi un
vecteur normal au plan (ABC) et les coefficients
a,
b et
c de
l'équation cherchée.
- calculer le coefficient d en utilisant l'appartenance de l'un des points au plan (ABC).
Dans un repère orthonormé soit
, 
et 
.Déterminons une équation du plan (ABC).
et 
ne sont pas colinéaires
donc A, B et C déterminent un plan.
ou 
ou 
Les vecteurs orthogonaux aux vecteurs
et sont les vecteurs dont les
coordonnées satisfont au système 
.Ce système équivaut à :
.Si a = 8 alors b = –2 et c = 13. Un vecteur normal au plan (ABC) est le vecteur
, donc
l'équation cherchée est de la forme :
.
donc ses coordonnées
vérifient l'équation du plan : 
,
d'où une équation du plan (ABC) est 
.
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