La limite d'une suite
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- Établir la convergence d’une suite vers +∞ ou –∞.
- Établir la divergence d’une suite vers +∞ ou –∞.
- Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l’infini ou si elle n’a pas de limite.
- Une suite (un) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I. On note .
- Une suite est dite divergente si elle n’est pas convergente. Il existe deux sortes de suites divergentes : celles qui tendent vers l’infini et celles qui n’ont pas de limite.
Connaitre la notion de suite.
On considère la suite définie
par pour tout n > 0.
Observons le comportement de lorsque prend de très grandes
valeurs positives.
1 | 10 | 50 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 | |
1 | 0,32 | 0,14 | 0,1 | 0,03 | 0,0100000 | 0,0031623 | 0,0010000 |
Il semblerait que les termes de la suite s'accumulent
près de 0 lorsque tend vers , c'est-à-dire que la
suite tend vers 0.
On peut noter .
Donnons-nous un intervalle contenant 0, par
exemple .
Existe-t-il un rang à partir duquel tous
les rentrent dans cet
intervalle ?
Pour cela, résolvons la double inéquation
.
Tout d'abord, l'inégalité est toujours
vérifiée puisque est toujours positif donc
a fortiori plus grand qu'un nombre
négatif.
Déterminons tel que soit .
La fonction inverse est décroissante
sur , donc cela revient à
dire que soit .
Conclusion : à partir de , , c'est-à-dire, pour
tout entier n > 1000,
.
Prenons en général un intervalle quelconque centré en 0, soit , avec a un nombre réel positif, et cherchons un rang p tel que, à partir de ce rang, tous les termes de cette suite rentrent dans cet intervalle.
En effet, un ∈ I est équivalent
à , soit .
est positif, donc il est plus
grand que –a qui est négatif,
donc on résout l'équation .
On a démontré que, pour tout intervalle
I centré en
0, il existe un rang tel que, pour
tout supérieur à ce
rang, soit dans I.
Ainsi, les termes de la suite s'accumulent près
de 0.
On dira que la suite converge (tend)
vers 0 ou que la suite a pour limite 0
lorsque tend vers .
On pourra écrire .
Une suite est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
On note .
On considère la suite définie par pour tout n entier naturel non nul.
Observons le comportement de lorsque prend de très grandes valeurs positives.
Il semblerait que les termes de la suite s’accumulent autour de 2 lorsque tend vers , mais alternativement au-dessus et en dessous de 2.
La suite semble être une suite convergente qui a pour limite 2.
Démontrons que cette suite est bien convergente vers 2.
Soit I un intervalle quelconque centré en 2, c’est-à-dire I = ]2 – a ; 2 + a[ avec a un nombre réel positif. Cherchons à partir de quel rang tous les termes de la suite appartiennent à I.
En effet, un ∈ I ⟺ 2 – a < un < 2 + a.
On procède par équivalences :
Donc, à partir du rang n (qui est supérieur à n), tous les termes de la suite appartiennent à I, donc la suite converge vers 2.
Les suites de terme général avec entier supérieur ou égal à 1, tendent vers 0 lorsque tend vers .
Les suites de terme général , avec –1 < q < 1, tendent vers 0 lorsque tend vers .
Il existe deux sortes de suites divergentes : celles qui tendent vers l’infini et celles qui n’ont pas de limite.
Considérons la suite définie par .
Observons le comportement de lorsque prend de grandes valeurs.
0 | 1 | 10 | 50 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | |
–1 | –0,9 | 9 | 249 | 999 | 99 999 | 9 999 999 | 999 999 999 |
Comment expliquer cette divergence vers ?
Prenons par exemple A = 106. Existe-t-il un rang tel que pour , on ait ?
Ainsi, à partir de , les termes sont supérieurs à 106.
On démontre de même que cela est vrai pour tout nombre réel A choisi aussi grand que l’on veut.
On dit alors que la suite tend vers lorsque tend vers .
On pourra écrire : .
On dit qu’une suite est divergente et tend vers –∞ si, pour tout nombre réel A, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont inférieurs à A.
Reprenons la suite de l’exemple précédent : .
Montrons que cette suite est divergente et tend vers + ∞.
Soit A un nombre réel quelconque, on cherche à partir de quel rang les termes sont supérieurs à A.
Si A + 1 est négatif, n2 est positif, donc l’inégalité est vraie pour tous les entiers.
Donc tous les termes de la suite sont supérieurs à A.
Si A + 1 est positif : .
Donc, à partir du rang qui est juste supérieur à , tous les termes de la suite sont supérieurs à A.
Considérons par exemple la suite définie par .
La suite est divergente, sans admettre de limite. On ne peut pas « canaliser » la direction des termes .
C'est le cas notamment de toute suite géométrique de raison strictement inférieure à –1.
On ne pourra pas utiliser la notation lorsque aucune limite n'existe pour la suite étudiée.
Les suites de terme général ; n ; n2 ; … ; np, avec p entier supérieur ou égal à 1, tendent vers lorsque n tend vers .
Les suites de terme général avec tendent vers lorsque tend vers .
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