Limites et comparaisons, opérations sur les limites
Objectifs :
• Donner les règles opératoires
(calquées sur celles des suites) des limites de
sommes, de quotients et de multiplications de fonctions.
• Donner la règle du calcul de la limite de la composée de deux fonctions.
• Déterminer des limites par minoration, majoration ou encadrement.
• Donner la règle du calcul de la limite de la composée de deux fonctions.
• Déterminer des limites par minoration, majoration ou encadrement.
1. Limites et opérations
a. Somme, produit, quotient : sans formes
indéterminées
Théorèmes
désigne un nombre
réel ou 
ou 
. 
et
sont définies sur
un intervalle contenant 
ou
ayant 
comme
borne.
Si les limites des fonctions
et
existent lorsque
tend
vers 
, et si
l'on n'obtient pas une forme
indéterminée, (
; 
; 
; 
), alors :
• la limite de la somme
est la somme des limites ;
• la limite du produit
est le produit des limites ;
• si
, la limite du
quotient 
est le quotient des
limites.
désigne un nombre
réel ou ou . et
sont définies sur
un intervalle contenant ou
ayant comme
borne.Si les limites des fonctions
et
existent lorsque
tend
vers , et si
l'on n'obtient pas une forme
indéterminée, ( ; ; ; ), alors :• la limite de la somme
est la somme des limites ;• la limite du produit
est le produit des limites ;• si
, la limite du
quotient est le quotient des
limites.
Exemples :
• Une somme :
.en -2,
;en
, 
;en
, 
.• Un produit :
.en –2,
;en
, 
.• Un quotient :
Sur
.en –2,
;en 2, la fonction n'a pas de limite, mais elle a une limite à droite et une limite à gauche :
et
.
b. Règles opératoires pour les trois
cas de formes indéterminées
Indétermination
schématisée par 
lorsque x tend vers
l'infini. À l'infini, la
limite d'une fonction polynôme est la limite du
terme de plus haut degré.
lorsque x tend vers
l'infini. À l'infini, la
limite d'une fonction polynôme est la limite du
terme de plus haut degré.
Exemple :
est
définie sur 
par 
.La limite de
en
est 
.En effet :
.
Indétermination
schématisée par 
lorsque x tend vers
l'infini. À l'infini, la
limite d'une fonction rationnelle est la limite du
quotient des termes de plus haut degré.
lorsque x tend vers
l'infini. À l'infini, la
limite d'une fonction rationnelle est la limite du
quotient des termes de plus haut degré.
Exemple :
est
définie sur 
par 
.La limite de
en
est 
.
Indétermination
schématisée par 
. Si lorsque
x tend vers a on obtient la forme
, la méthode pour lever
l'indétermination est de mettre 
en facteur au numérateur
et au dénominateur.
. Si lorsque
x tend vers a on obtient la forme
, la méthode pour lever
l'indétermination est de mettre en facteur au numérateur
et au dénominateur.
Exemple :
est
définie sur 
, par 
.Si x tend vers 2, on obtient
.Mettons
en facteur: 
.Si x tend vers 2,
n'a pas de limite, mais a une
limite à une droite et une limite à
gauche:
et 
.
Indétermination
schématisée par 
. Cette forme se ramène soit
à 
soit à 
.
. Cette forme se ramène soit
à soit à .
Exemples :
•
est
définie sur 
par 
.Si x tend vers
, on obtient 
.En écrivant
sous la
forme 
, on est ramené à la
forme 
.•
est
définie sur 
, par 
.Si x tend vers 2, on obtient
.En écrivant
sous la
forme 
, on est ramené à la
forme 
.En effet :
.
c. Limite de la composée de deux fonctions
a, b et L désignent des
réels, ou 
ou 
Soit une fonction u définie sur un intervalle I et une fonction f définie sur un intervalle J, telles que
soit
définie sur I.
Si
ou Soit une fonction u définie sur un intervalle I et une fonction f définie sur un intervalle J, telles que
soit
définie sur I.Si
Exemple :
Sur l'intervalle
la
fonction 
et 
avec
et 
.
Et
Donc
2. Limites et comparaison
a. Théorème de comparaison
Si f et g sont deux fonctions telles que
pour x assez grand, f(x) ≥ g(x)
et 
,
alors 
.
,
alors .
Exemple :
On définit sur
les fonctions f et
g par : 
et
. On a
bien pour tout x réel :
et
, donc
.
Si f et g sont deux fonctions telles que
pour x assez grand, f(x) ≤ g(x)
et 
,
alors 
.
,
alors .
On peut généraliser ces deux théorème aux cas des limites en
et
en un point a. Pour cela, il suffit
d’adapter la condition « pour x assez
grand ».
b. Théorème des gendarmes
Soient f, g et h des fonctions et
L un nombre réel.
Si
alors 
g(x) = L.
On peut étendre ce théorème
aux cas Si
alors g(x) = L.
et en un point a. Pour
cela, il faudra adapter la condition « pour
x assez grand ».Exemple :
Soit f la fonction définie sur
par
.On sait que pour tout nombre réel x ∶
. On
a donc pour tout nombre x strictement
positif : 
.Or,
, donc 
.
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