Limites et comparaisons, opérations sur les limites
- Déterminer dans des cas simples la limite d’une suite ou d’une fonction en un point, en ± ∞, en utilisant les limites usuelles.
- Utiliser les croissances comparées et les opérations sur les limites pour déterminer la limite d’une suite ou d’une fonction.
- Lorsqu’on calcule des limites : soit on peut
déterminer la limite en utilisant les
opérations sur les limites, soit on aboutit à
une forme indéterminée
qu’on doit lever en
changeant l’expression de la fonction ou de la suite.
- Soit f et
g deux fonctions
définies sur un intervalle I : si
, alors 
.
- Théorème des gendarmes : soit
f,
g et
h trois
fonctions définies sur un
intervalle I :
.
- Théorème du plus haut degré :
au voisinage de l’infini, une fonction polynôme
se comporte comme son monôme du plus haut
degré.
Au voisinage de l’infini, une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) se comporte comme le quotient du monôme de plus haut degré du dénominateur par le quotient du monôme du plus haut degré du dénominateur. -
.
- Connaitre la notion de limite de suite.
- Connaitre les limites des fonctions usuelles.
a désigne un nombre réel ou
ou 
.Soit les fonctions f et g définies sur un intervalle contenant a ou ayant a comme borne.
Si les limites des fonctions f et g existent lorsque x tend vers a, et si l'on n'obtient pas une forme indéterminée
alors :
- la limite de la somme f + g est la somme des limites de f et de g ;
- la limite du produit
est le produit des
limites de f et
de g ;
- la limite du quotient
est le quotient des
limites de f et
de g.
On peut résumer cela sous la forme d’un tableau (FI désigne une forme indéterminée).
|
|
|
|
|
| l | l' | l + l' | ll' |
|
| l |
|
|
|
0 |
| 0 |
|
|
FI | 0 |
|
|
|
ou FI
|
|
FI |
| 0 | 0 | 0 | 0 | FI |
| l | 0– | l | 0 |
|
| l | 0+ | l | 0 |
|
Le signe de l’infini est déterminé simplement en utilisant la règle des signes.
• Limite d’une somme :
On cherche la limite en de 
définie sur
.
,
d’où, par somme des limites, 
.
• Limite d’un produit
On cherche la limite en de 
définie sur
.
,
d’où, par produit des limites,
(on applique la
règle des signes).
• Limite d’un quotient
On cherche la limite en 2 de 
définie sur
.
En 2, la fonction n'a pas de limite, mais elle a une
limite à droite et une limite à
gauche.
,
d’où, par quotient des limites,
et 
.
D’après les opérations sur les
limites, il existe quatre formes
indéterminées .
Ces formes indéterminées nécessitent une étude particulière pour aboutir à un résultat d’une limite. On dit qu’on doit lever l’indétermination.
À l'infini, la limite d'une fonction polynôme est la limite du terme de plus haut degré.
Voir le paragraphe III. Limites et croissances.
Soit la fonction f définie sur
par 
.La limite de f en
est 
.En effet :
.
dans le cas d’une
fonction rationnelle
À l'infini, la limite d'une fonction rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré.
Voir le paragraphe III. Limites et croissances.
Soit la fonction f définie sur
par 
.La limite de f en
est 
.En effet
.
Si lorsque x
tend vers a
on obtient la forme 
, la méthode pour
lever l'indétermination est de
mettre (x – a)
en facteur au numérateur et au
dénominateur.
Soit la fonction
définie sur 
, par 
.Si x tend vers 2, on obtient une forme indéterminée du type
.Mettons
en facteur : 
.Si x tend vers 2,
n'a pas de limite, mais a une
limite à une droite et une limite à
gauche : 
et 
.
On transforme l'écriture de la fonction pour se
ramener à une forme du type 
ou 
et on applique l'une des
méthodes précédentes.
Soit la fonction f définie sur
par 
.Si x tend vers
, on obtient 
.En écrivant
sous la forme
, on est ramené à
la forme 
et on applique le
théorème du plus haut degré :
.
a, b et L désignent des réels, ou
ou 
.Soit une fonction u définie sur un intervalle I et une fonction f définie sur un intervalle J, telles que
soit
définie sur I.Si
.
On considère sur l'intervalle
la fonction 
telle que 
avec 
et 
.
Et
Donc, par composition de limites,
.
Si f et g sont deux fonctions telles que, pour x assez grand, f(x) ≥ g(x) et
, alors 
.
Soit les fonctions f et g définies sur
par : 
et 
.
et 
, donc 
pour tout x réel.
Si f et g sont deux fonctions telles que, pour x assez grand, f(x) ≥ g(x) et
, alors 
.
On peut généraliser ces deux théorème aux cas des limites en
et en un point a. Pour cela, il suffit
d’adapter la condition « pour x assez grand ».
Soit f, g et h des fonctions et L un nombre réel.
Si
alors 
g(x) =
L.
On peut étendre ce théorème aux cas
et en un point a. Pour cela, il faudra
adapter la condition « pour x assez
grand ».
Soit f la fonction définie sur
par 
.Pour tout nombre réel x ∶
. On a donc, pour tout nombre
x
strictement positif : 
.Or,
, donc 
.
Au voisinage de l’infini, une fonction polynôme se comporte comme son monôme du plus haut degré.
Au voisinage de l’infini, une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) se comporte comme le quotient du monôme de plus haut degré du dénominateur par le quotient du monôme du plus haut degré du dénominateur.
Ce théorème ne s’applique que pour les polynômes et les fonctions rationnelles dont on veut calculer la limite en l’infini.
L’objectif de ce théorème est de
prouver que la fonction exponentielle croît plus
vite que n’importe quelle fonction puissance au
voisinage de 
, comme on peut le constater sur
le tableur ci-dessous.
.
On considère la fonction f définie sur
par 
.
On note f’ et f’’ la
dérivée de f et la
dérivée seconde de f (la dérivée
de la dérivée).
On a ; 
et 
.
f'' est
positive sur , donc f’ est
croissante.
Or 
, donc 
, donc f’ est positive et
f est
croissante sur .
pour tout x ∈ .
Or 
, donc f(x) ≥ 1,
d’où f est positive.
On divise par x ≠ 0 :
Comme 
, donc, par comparaison,
.
On pose 
, donc x = nX.
Quand x tend
vers 
, X tend vers .
Or 
, donc 
donc 
d’où 
.
Soit f la fonction définie sur
par 
.On veut calculer la limite de f en
.
Par somme, on aboutit à une forme indéterminée du type
. Levons
l’indétermination :
Par produit :
D’où
.
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