Limites et comparaisons, opérations sur les limites
- Déterminer dans des cas simples la limite d’une suite ou d’une fonction en un point, en ± ∞, en utilisant les limites usuelles.
- Utiliser les croissances comparées et les opérations sur les limites pour déterminer la limite d’une suite ou d’une fonction.
- Lorsqu’on calcule des limites : soit on peut
déterminer la limite en utilisant les
opérations sur les limites, soit on aboutit à
une forme indéterminée
qu’on doit lever en changeant l’expression de la fonction ou de la suite.
- Soit f et
g deux fonctions
définies sur un intervalle I : si
, alors
.
- Théorème des gendarmes : soit
f,
g et
h trois
fonctions définies sur un
intervalle I :
.
- Théorème du plus haut degré :
au voisinage de l’infini, une fonction polynôme
se comporte comme son monôme du plus haut
degré.
Au voisinage de l’infini, une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) se comporte comme le quotient du monôme de plus haut degré du dénominateur par le quotient du monôme du plus haut degré du dénominateur. -
.
- Connaitre la notion de limite de suite.
- Connaitre les limites des fonctions usuelles.
a désigne un nombre réel ou


Soit les fonctions f et g définies sur un intervalle contenant a ou ayant a comme borne.
Si les limites des fonctions f et g existent lorsque x tend vers a, et si l'on n'obtient pas une forme indéterminée

- la limite de la somme f + g est la somme des limites de f et de g ;
- la limite du produit
est le produit des limites de f et de g ;
- la limite du quotient
est le quotient des limites de f et de g.
On peut résumer cela sous la forme d’un tableau (FI désigne une forme indéterminée).
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
l | l' | l + l' | ll' |
![]() |
l |
![]() |
![]() |
![]() |
0 |
0 |
![]() |
![]() |
FI | 0 |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
FI |
0 | 0 | 0 | 0 | FI |
l | 0– | l | 0 |
![]() |
l | 0+ | l | 0 |
![]() |
Le signe de l’infini est déterminé simplement en utilisant la règle des signes.
• Limite d’une somme :
On cherche la limite en de
définie sur
.
,
d’où, par somme des limites, .
• Limite d’un produit
On cherche la limite en de
définie sur
.
,
d’où, par produit des limites,
(on applique la
règle des signes).
• Limite d’un quotient
On cherche la limite en 2 de définie sur
.
En 2, la fonction n'a pas de limite, mais elle a une
limite à droite et une limite à
gauche.
,
d’où, par quotient des limites,
et
.
D’après les opérations sur les
limites, il existe quatre formes
indéterminées .
Ces formes indéterminées nécessitent une étude particulière pour aboutir à un résultat d’une limite. On dit qu’on doit lever l’indétermination.
À l'infini, la limite d'une fonction polynôme est la limite du terme de plus haut degré.
Voir le paragraphe III. Limites et croissances.
Soit la fonction f définie sur


La limite de f en


En effet :


À l'infini, la limite d'une fonction rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré.
Voir le paragraphe III. Limites et croissances.
Soit la fonction f définie sur


La limite de f en


En effet


Si lorsque x
tend vers a
on obtient la forme , la méthode pour
lever l'indétermination est de
mettre (x – a)
en facteur au numérateur et au
dénominateur.
Soit la fonction



Si x tend vers 2, on obtient une forme indéterminée du type

Mettons


Si x tend vers 2,




On transforme l'écriture de la fonction pour se
ramener à une forme du type ou
et on applique l'une des
méthodes précédentes.
Soit la fonction f définie sur


Si x tend vers


En écrivant




a, b et L désignent des réels, ou


Soit une fonction u définie sur un intervalle I et une fonction f définie sur un intervalle J, telles que

Si

On considère sur l'intervalle






Et

Donc, par composition de limites,

Si f et g sont deux fonctions telles que, pour x assez grand, f(x) ≥ g(x) et


Soit les fonctions f et g définies sur






Si f et g sont deux fonctions telles que, pour x assez grand, f(x) ≥ g(x) et


On peut généraliser ces deux théorème aux cas des limites en

Soit f, g et h des fonctions et L un nombre réel.
Si


On peut étendre ce théorème aux cas

Soit f la fonction définie sur


Pour tout nombre réel x ∶


Or,


Au voisinage de l’infini, une fonction polynôme se comporte comme son monôme du plus haut degré.
Au voisinage de l’infini, une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) se comporte comme le quotient du monôme de plus haut degré du dénominateur par le quotient du monôme du plus haut degré du dénominateur.
Ce théorème ne s’applique que pour les polynômes et les fonctions rationnelles dont on veut calculer la limite en l’infini.

L’objectif de ce théorème est de
prouver que la fonction exponentielle croît plus
vite que n’importe quelle fonction puissance au
voisinage de , comme on peut le constater sur
le tableur ci-dessous.


On considère la fonction f définie sur
par
.
On note f’ et f’’ la
dérivée de f et la
dérivée seconde de f (la dérivée
de la dérivée).
On a ;
et
.
f'' est
positive sur , donc f’ est
croissante.
Or , donc
, donc f’ est positive et
f est
croissante sur
.
pour tout x ∈
.
Or , donc f(x) ≥ 1,
d’où f est positive.
On divise par x ≠ 0 :
Comme , donc, par comparaison,
.
On pose , donc x = nX.
Quand x tend
vers , X tend vers
.
Or , donc
donc d’où
.
Soit f la fonction définie sur


On veut calculer la limite de f en


Par somme, on aboutit à une forme indéterminée du type


Par produit :

D’où


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