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Limites et comparaisons, opérations sur les limites

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Objectifs

Déterminer dans des cas simples la limite d’une suite ou d’une fonction en un point, en ± ∞, en utilisant les limites usuelles.
Utiliser les croissances comparées et les opérations sur les limites pour déterminer la limite d’une suite ou d’une fonction.

Points clés

Lorsqu’on calcule des limites : soit on peut déterminer la limite en utilisant les opérations sur les limites, soit on aboutit à une forme indéterminée qu’on doit lever en changeant l’expression de la fonction ou de la suite.
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I : si , alors .
Théorème des gendarmes : soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle I :
.
Théorème du plus haut degré : au voisinage de l’infini, une fonction polynôme se comporte comme son monôme du plus haut degré.
Au voisinage de l’infini, une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) se comporte comme le quotient du monôme de plus haut degré du dénominateur par le quotient du monôme du plus haut degré du dénominateur.
.

Pour bien comprendre

Connaitre la notion de limite de suite.
Connaitre les limites des fonctions usuelles.

1. Limites et opérations

a. Somme, produit, quotient

Théorèmes
a désigne un nombre réel ou

.
Soit les fonctions f et g définies sur un intervalle contenant a ou ayant a comme borne.
Si les limites des fonctions f et g existent lorsque x tend vers a, et si l'on n'obtient pas une forme indéterminée

alors :

la limite de la somme f + g est la somme des limites de f et de g ;
la limite du produit est le produit des limites de f et de g ;
la limite du quotient est le quotient des limites de f et de g.

On peut résumer cela sous la forme d’un tableau (FI désigne une forme indéterminée).


l	l'	l + l'	ll'
l				0
0			FI	0
		ou FI		FI
0	0	0	0	FI
l	0^–	l	0
l	0⁺	l	0

Remarque
Le signe de l’infini est déterminé simplement en utilisant la règle des signes.

Exemples

• Limite d’une somme :
On cherche la limite en de définie sur .
,
d’où, par somme des limites, .

• Limite d’un produit
On cherche la limite en de définie sur .
,
d’où, par produit des limites, (on applique la règle des signes).

• Limite d’un quotient
On cherche la limite en 2 de définie sur .
En 2, la fonction n'a pas de limite, mais elle a une limite à droite et une limite à gauche.
,
d’où, par quotient des limites, et .

b. Règles opératoires pour les trois cas de formes indéterminées

D’après les opérations sur les limites, il existe quatre formes indéterminées .

Ces formes indéterminées nécessitent une étude particulière pour aboutir à un résultat d’une limite. On dit qu’on doit lever l’indétermination.

Méthode : Lever une indétermination dans le cas d’un polynôme

À l'infini, la limite d'une fonction polynôme est la limite du terme de plus haut degré.

Remarque
Voir le paragraphe III. Limites et croissances.

Exemple
Soit la fonction f définie sur

par

.
La limite de f en

est

.
En effet :

Méthode : Lever une indétermination de type

dans le cas d’une fonction rationnelle

À l'infini, la limite d'une fonction rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré.

Remarque
Voir le paragraphe III. Limites et croissances.

Exemple
Soit la fonction f définie sur

par

.
La limite de f en

est

.
En effet

Méthode : Lever une indétermination de type

Si lorsque x tend vers a on obtient la forme , la méthode pour lever l'indétermination est de mettre (x – a) en facteur au numérateur et au dénominateur.

Exemple
Soit la fonction

définie sur

, par

.
Si x tend vers 2, on obtient une forme indéterminée du type

.
Mettons

en facteur :

.
Si x tend vers 2,

n'a pas de limite, mais a une limite à une droite et une limite à gauche :

Méthode : Lever une indétermination de type

On transforme l'écriture de la fonction pour se ramener à une forme du type ou et on applique l'une des méthodes précédentes.

Exemple
Soit la fonction f définie sur

par

.
Si x tend vers

, on obtient

.
En écrivant

sous la forme

, on est ramené à la forme

et on applique le théorème du plus haut degré :

c. Limite de la composée de deux fonctions

Propriété
a, b et L désignent des réels, ou

.
Soit une fonction u définie sur un intervalle I et une fonction f définie sur un intervalle J, telles que

soit définie sur I.
Si

Exemple
On considère sur l'intervalle

la fonction

telle que

avec

Donc, par composition de limites,

2. Limites et comparaison

a. Théorème de comparaison

Théorème
Si f et g sont deux fonctions telles que, pour x assez grand, f(x) ≥ g(x) et

, alors

Exemple
Soit les fonctions f et g définies sur

par :

, donc

pour tout x réel.

Théorème
Si f et g sont deux fonctions telles que, pour x assez grand, f(x) ≥ g(x) et

, alors

Remarque
On peut généraliser ces deux théorème aux cas des limites en

et en un point a. Pour cela, il suffit d’adapter la condition « pour x assez grand ».

b. Rappel : théorème des gendarmes

Théorème
Soit f, g et h des fonctions et L un nombre réel.
Si

alors

g(x) = ⁡L.

Remarque
On peut étendre ce théorème aux cas

et en un point a. Pour cela, il faudra adapter la condition « pour x assez grand ».

Exemple
Soit f la fonction définie sur

par

.
Pour tout nombre réel x ∶

. On a donc, pour tout nombre x strictement positif :

.
Or,

, donc

3. Limites et croissances

a. Théorème du plus haut degré

Théorème
Au voisinage de l’infini, une fonction polynôme se comporte comme son monôme du plus haut degré.
Au voisinage de l’infini, une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) se comporte comme le quotient du monôme de plus haut degré du dénominateur par le quotient du monôme du plus haut degré du dénominateur.

Remarque
Ce théorème ne s’applique que pour les polynômes et les fonctions rationnelles dont on veut calculer la limite en l’infini.

Exemples

b. Croissances comparées

L’objectif de ce théorème est de prouver que la fonction exponentielle croît plus vite que n’importe quelle fonction puissance au voisinage de , comme on peut le constater sur le tableur ci-dessous.

Théorème

Démonstrations

On considère la fonction f définie sur par .
On note f’ et f’’ la dérivée de f et la dérivée seconde de f (la dérivée de la dérivée).
On a ; et .

f'' est positive sur , donc f’ est croissante.

Or , donc , donc f’ est positive et f est croissante sur .
pour tout x ∈ .
Or , donc f(x) ≥ 1, d’où f est positive.

On divise par x ≠ 0 :

Comme , donc, par comparaison, .