Limites et comparaisons, opérations sur les limites - Maxicours MAXICOURS

Limites et comparaisons, opérations sur les limites

Objectifs :
• Donner les règles opératoires (calquées sur celles des suites) des limites de sommes, de quotients et de multiplications de fonctions.
• Donner la règle du calcul de la limite de la composée de deux fonctions.
• Déterminer des limites par minoration, majoration ou encadrement.
1. Limites et opérations
a. Somme, produit, quotient : sans formes indéterminées
Théorèmes
désigne un nombre réel ou ou . et sont définies sur un intervalle contenant ou ayant comme borne.
Si les limites des fonctions et existent lorsque tend vers , et si l'on n'obtient pas une forme indéterminée, ( ; ; ; ), alors :
  • la limite de la somme est la somme des limites ;
  • la limite du produit est le produit des limites ;
  • si , la limite du quotient est le quotient des limites.

Exemples :
Une somme :
.
en -2, ;

en , ;

en , .


• Un produit :
.

en –2, ;

en , .


Un quotient :
Sur .

en –2, ;

en 2, la fonction n'a pas de limite, mais elle a une limite à droite et une limite à gauche :   et     .
b. Règles opératoires pour les trois cas de formes indéterminées
Indétermination schématisée par lorsque x tend vers l'infini. À l'infini, la limite d'une fonction polynôme est la limite du terme de plus haut degré.

Exemple :
est définie sur par .
La limite de en est .
En effet : .

Indétermination schématisée par lorsque x tend vers l'infini. À l'infini, la limite d'une fonction rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré.

Exemple :
  est définie sur   par .

La limite de en est .

Indétermination schématisée par . Si lorsque x tend vers a on obtient la forme , la méthode pour lever l'indétermination est de mettre en facteur au numérateur et au dénominateur.

Exemple :
  est définie sur , par .

Si x tend vers 2, on obtient .

Mettons en facteur: .

Si x tend vers 2, n'a pas de limite, mais a une limite à une droite et une limite à gauche:


et .

Indétermination schématisée par . Cette forme se ramène soit à soit à .

Exemples :

est définie sur   par .
Si x tend vers , on obtient .
En écrivant sous la forme , on est ramené à la forme .

est définie sur , par .
Si x tend vers 2, on obtient .
En écrivant sous la forme , on est ramené à la forme .
En effet : .
c. Limite de la composée de deux fonctions
a, b et L désignent des réels, ou ou
Soit une fonction u définie sur un intervalle I et une fonction f définie sur un intervalle J, telles que soit définie sur I.

Si

Exemple :
Sur l'intervalle la fonction et avec et .


Et

Donc
2. Limites et comparaison
a. Théorème de comparaison
Si f et g sont deux fonctions telles que pour x assez grand, f(x)g(x) et , alors .

Exemple :
On définit sur les fonctions f et g par : et . On a bien pour tout x réel :
et , donc .

Si f et g sont deux fonctions telles que pour x assez grand, f(x)g(x) et , alors .

On peut généraliser ces deux théorème aux cas des limites en et en un point a. Pour cela, il suffit d’adapter la condition « pour x assez grand ».
b. Théorème des gendarmes
Soient f, g et h des fonctions et L un nombre réel.
Si alors g(x) = ⁡L.
On peut étendre ce théorème aux cas et en un point a. Pour cela, il faudra adapter la condition « pour x assez grand ».

Exemple :
Soit f la fonction définie sur  par .
On sait que pour tout nombre réel x. On a donc pour tout nombre x strictement positif : .
Or, , donc .

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