La détermination de primitives

On va utiliser des tableaux de dérivées comme ci-dessous :

Si on lit le tableau dans le sens habituel (de la gauche vers la droite), on part des fonctions usuelles f₁, f₂,…, on applique les formules de dérivation, on corrige éventuellement en multipliant par une constante, puis par somme (ou soustraction) on obtient F telle que F' = f.

F est donc une primitive de f par lecture inverse de ce tableau (de la droite vers la gauche), les autres étant égales à : F + k, où k est une constante réelle.

1. Déterminer une primitive sur d'une fonction polynôme :
   f : x → x⁴ – 2x³ + x – 3.
   On utilise un tableau de dérivation :

   Fonctions	Fonctions dérivées
   x5	5x4
   	x4
   x4	4x3
   	2x3
   x2	2x
   	x
   3x	3
   	f(x) = x4 – 2x3 + x – 3

2. Déterminer une primitive sur [0 ; π] de la fonction :
   f : x → sin(x) + 3cos(2x).

Fonctions	Fonctions dérivées
cos(x)	–sin(x)
–cos(x)	sin(x)
sin(2x)	2cos(2x)
	3cos(2x)
	f(x) = sin(x) + 3cos(2x)

Dans tout ce paragraphe, u est une fonction dérivable sur un intervalle I (que l'on précisera).

• 1^er cas : n est dans ce tableau un entier naturel :

Fonctions	Fonctions dérivées	I
un+1	(n + 1)un × u'
	u' × un

Exemple
Déterminer sur une primitive de f : x → 5x(x² + 1)³.

Fonctions	Fonctions dérivées
(x2 + 1)4	4(x2 + 1)3 × (2x) = 8x(x2 + 1)3
	f(x) = 5x(x2 + 1)3

• 2^ème cas : n est dans ce tableau un entier naturel non nul et différent de 1 (donc ≥ 2 ).

Fonctions	Fonctions dérivées	I

Exemple
Déterminer pour tout réel x une primitive de .

Remarque
La fonction u : x → x² + x + 3, a un discriminant négatif donc ne s'annule pas. C'est pourquoi f est définie et continue sur .

Fonctions	Fonctions dérivées

• 3^ème cas :

Fonctions	Fonctions dérivées	I

Exemple
Déterminer une primitive pour x > 2 de : .

Fonctions	Fonctions dérivées

• 4^ème cas :

Fonctions	Fonctions dérivées	I
ln(u)

Exemple
Déterminer pour tout réel x une primitive de : .

Remarque
La fonction u : x → e^2x + 1 est strictement positive pour tout réel x puisque exp > 0 donc f est définie et continue sur .

Fonctions	Fonctions dérivées
ln(e2x + 1)
F(x) = 2 ln(e2x + 1)

• 5^ème cas :

Fonctions	Fonctions dérivées	I
eu	u' × eu

Exemple
Déterminer pour tout réel x une primitive de  f : x → 7xe ^(x² + 1).

Fonctions	Fonctions dérivées
e(x² + 1)	2xe(x² + 1)
	f(x) = 7xe(x² + 1)