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La détermination de primitives

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Objectifs
  • Déterminer des primitives de fonctions usuelles par lecture inverse d'un tableau de dérivées.
  • Déterminer des primitives de fonctions non usuelles à l'aide de quelques formules spécifiques issues de la dérivation.
Points clés

Dans ce tableau, x  u est une fonction dérivable sur un intervalle I que l'on précisera, et n est un entier naturel.

Fonctions Fonctions dérivées I
cos(x) –sin(x)  [0 ; π]
sin(2x) 2cos(2x)  [0 ; π]
un+1 (n + 1)un × u'
 , où n ≥ 2  
+
ln(u) +
eu u' × eu
On rappelle qu'une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F' = f.

Le but de cette fiche est d'apprendre à déterminer, quand cela est possible, F lorsque f est donnée.
Pour les fonctions usuelles, on va utiliser un tableau de dérivées en faisant une lecture inverse ; pour des fonctions plus compliquées mais issues de formules de dérivation, on va donner quelques formules.

Par contre, on ne pourra déterminer les primitives de certaines fonctions dont on sait qu'elles en admettent puisqu'elles sont continues, celles-ci faisant appel à des formules qui ne sont pas au programme de la classe de terminale ou même n'ayant pas de primitives explicites (c'est par exemple le cas de la fonction xex²).

Il apparait donc comme une évidence que pour déterminer correctement une primitive d'une fonction donnée, il est nécessaire de maitriser parfaitement les formules de dérivation…

1. Primitives de fonctions usuelles

On va utiliser des tableaux de dérivées comme ci-dessous :

Fonctions Fonctions dérivées
f1 f1'
f2 f2'
... ...
F f

Si on lit le tableau dans le sens habituel (de la gauche vers la droite), on part des fonctions usuelles f1, f2,…, on applique les formules de dérivation, on corrige éventuellement en multipliant par une constante, puis par somme (ou soustraction) on obtient F telle que F' = f.

F est donc une primitive de f par lecture inverse de ce tableau (de la droite vers la gauche), les autres étant égales à : F + k, où k est une constante réelle.

Deux exemples pour comprendre
  1. Déterminer une primitive sur d'une fonction polynôme :
    f : x → x4 – 2x3 + x – 3.
    On utilise un tableau de dérivation :
    Fonctions Fonctions dérivées
    x5 5x4
    x4
    x4 4x3
    2x3
    x2 2x
    x
    3x 3
    f(x) = x4 – 2x3 + x – 3
  2. Déterminer une primitive sur [0 ; π] de la fonction :
    f : x → sin(x) + 3cos(2x).
Fonctions Fonctions dérivées
cos(x) –sin(x)
–cos(x) sin(x)
sin(2x) 2cos(2x)
3cos(2x)
f(x) = sin(x) + 3cos(2x)
2. Primitives de fonctions non usuelles, accessibles à l'aide d'une formule issue de la dérivation

Dans tout ce paragraphe, u est une fonction dérivable sur un intervalle I (que l'on précisera).

  • 1er cas : n est dans ce tableau un entier naturel :
Fonctions Fonctions dérivées I
un+1 (n + 1)un × u'
u' × un
Exemple
Déterminer sur une primitive de f : x → 5x(x+ 1)3.
Fonctions Fonctions dérivées
(x2 + 1)4 4(x2 + 1)3 × (2x) = 8x(x2 + 1)3
f(x) = 5x(x2 + 1)3
  • 2ème cas : n est dans ce tableau un entier naturel non nul et différent de 1 (donc ≥ 2 ).
Fonctions Fonctions dérivées I
Exemple
Déterminer pour tout réel x une primitive de .
Remarque
La fonction u : x → x2 + + 3, a un discriminant négatif donc ne s'annule pas. C'est pourquoi f est définie et continue sur .
Fonctions Fonctions dérivées
  • 3ème cas :
Fonctions
Fonctions dérivées I
Exemple
Déterminer une primitive pour x > 2 de : .
Fonctions Fonctions dérivées
  • 4ème cas :
Fonctions Fonctions dérivées I
ln(u)
Exemple
Déterminer pour tout réel x une primitive de : .
Remarque
La fonction u : x → e2x + 1 est strictement positive pour tout réel x puisque exp > 0 donc f est définie et continue sur .
Fonctions Fonctions dérivées
ln(e2x + 1)
F(x) = 2 ln(e2x + 1)
  • 5ème cas :
Fonctions Fonctions dérivées I
eu u' × eu
Exemple
Déterminer pour tout réel x une primitive de  f : x → 7xe (x² + 1).
Fonctions Fonctions dérivées
e(x² + 1) 2xe(x² + 1)
f(x) = 7xe(x² + 1)

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