La détermination de primitives
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- Déterminer des primitives de fonctions usuelles par lecture inverse d'un tableau de dérivées.
- Déterminer des primitives de fonctions non usuelles à l'aide de quelques formules spécifiques issues de la dérivation.
Dans ce tableau, x ∈ 
, u est une fonction
dérivable sur un intervalle I que l'on précisera,
et n est un
entier naturel.
| Fonctions | Fonctions dérivées | I |
| cos(x) | –sin(x) | [0 ; π] |
| sin(2x) | 2cos(2x) | [0 ; π] |
| un+1 | (n + 1)un × u' |
|
 , où n ≥ 2
|
|
|
|
|
 +
|
| ln(u) |
|
 +
|
| eu | u' × eu |
|
Le but de cette fiche est d'apprendre à
déterminer, quand cela est possible,
F lorsque
f est
donnée.
Pour les fonctions usuelles, on va utiliser un tableau de
dérivées en faisant une lecture inverse ;
pour des fonctions plus compliquées mais issues de
formules de dérivation, on va donner quelques
formules.
Par contre, on ne pourra déterminer les primitives de certaines fonctions dont on sait qu'elles en admettent puisqu'elles sont continues, celles-ci faisant appel à des formules qui ne sont pas au programme de la classe de terminale ou même n'ayant pas de primitives explicites (c'est par exemple le cas de la fonction xe–x²).
Il apparait donc comme une évidence que pour déterminer correctement une primitive d'une fonction donnée, il est nécessaire de maitriser parfaitement les formules de dérivation…
On va utiliser des tableaux de dérivées comme ci-dessous :
| Fonctions | Fonctions dérivées |
| f1 | f1' |
| f2 | f2' |
| ... | ... |
| F | f |
Si on lit le tableau dans le sens habituel (de la gauche vers la droite), on part des fonctions usuelles f1, f2,…, on applique les formules de dérivation, on corrige éventuellement en multipliant par une constante, puis par somme (ou soustraction) on obtient F telle que F' = f.
F est donc une primitive de f par lecture inverse de ce tableau (de la droite vers la gauche), les autres étant égales à : F + k, où k est une constante réelle.
- Déterminer une primitive sur
d'une fonction
polynôme :
f : x → x4 – 2x3 + x – 3.
On utilise un tableau de dérivation :Fonctions Fonctions dérivées x5 5x4 
x4 x4 4x3 
2x3 x2 2x 
x 3x 3 
f(x) = x4 – 2x3 + x – 3 - Déterminer une primitive sur [0 ;
π] de la
fonction :
f : x → sin(x) + 3cos(2x).
| Fonctions | Fonctions dérivées |
| cos(x) | –sin(x) |
| –cos(x) | sin(x) |
| sin(2x) | 2cos(2x) |
|
3cos(2x) |
|
f(x) = sin(x) + 3cos(2x) |
Dans tout ce paragraphe, u est une fonction dérivable sur un intervalle I (que l'on précisera).
- 1er cas : n est dans ce tableau un entier naturel :
| Fonctions | Fonctions dérivées | I |
| un+1 | (n + 1)un × u' |
|
|
u' × un |
Déterminer sur
une primitive de
f :
x → 5x(x2 + 1)3.
| Fonctions | Fonctions dérivées |
| (x2 + 1)4 | 4(x2 + 1)3 × (2x) = 8x(x2 + 1)3 |
|
f(x) = 5x(x2 + 1)3 |
- 2ème cas : n est dans ce tableau un entier naturel non nul et différent de 1 (donc ≥ 2 ).
| Fonctions | Fonctions dérivées | I |
|
|
|
|
|
Déterminer pour tout réel x une primitive de
.
La fonction u : x → x2 + x + 3, a un discriminant négatif donc ne s'annule pas. C'est pourquoi f est définie et continue sur
.
| Fonctions | Fonctions dérivées |
|
|
|
|
- 3ème cas :
|
Fonctions |
Fonctions dérivées | I |
|
|
|
|
|
Déterminer une primitive pour x > 2 de :
.
| Fonctions | Fonctions dérivées |
|
|
|
|
- 4ème cas :
| Fonctions | Fonctions dérivées | I |
| ln(u) |
|
|
Déterminer pour tout réel x une primitive de :
.La fonction u : x → e2x + 1 est strictement positive pour tout réel x puisque exp > 0 donc f est définie et continue sur
.
| Fonctions | Fonctions dérivées |
| ln(e2x + 1) |
|
| F(x) = 2 ln(e2x + 1) |
|
- 5ème cas :
| Fonctions | Fonctions dérivées | I |
| eu | u' × eu |
|
Déterminer pour tout réel x une primitive de f : x → 7xe (x² + 1).
| Fonctions | Fonctions dérivées |
| e(x² + 1) | 2xe(x² + 1) |
|
f(x) = 7xe(x² + 1) |
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