Loi binomiale, espérance et écart type
- Reconnaitre un schéma de Bernoulli.
- Calculer des probabilités dans le cadre de la loi binomiale.
- Utiliser l’espérance d’une loi binomiale.
- Considérons une variable
aléatoire X qui compte le nombre de
réalisations du succès au cours des
n
épreuves. On dit que X suit une loi binomiale de
paramètre n et p.
X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n. - On admet les résultats suivants sur
l'espérance et l'écart type d'une loi
binomiale de paramètres n et p : E(X) = np ;
V(X) = npq ;
.
- Pour un schéma de Bernoulli
d’ordre n, de
probabilité p pour chaque succès
de l’épreuve, la loi de probabilité de
la variable X qui à chaque issue
associe k succès est
avec 
.
Cette loi est notée ℬ(n, p).
Considérons un schéma de Bernoulli de
paramètres n et p.
Les n
épreuves de Bernoulli peuvent se
modéliser par un arbre qui aurait
2 branches initiales (succès-échec)
puis chacune de ces branches donnant naissance à
2 nouvelles branches (succès-échec),
etc.
À chaque épreuve, le nombre de branches
est doublé.
X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n.
Prenons k
une de ces valeurs entières.
Sur l'arbre, il existe un certain nombre de branches
(ou chemins) qui comportent k succès et
n – k échecs.
Ce nombre de chemins se note 
, il s'agit du
nombre de k-uplets d'un ensemble
à n
éléments.
Il peut se calculer aisément avec une
calculatrice.
Chacun de ces chemins comporte k succès et n – k échecs. La probabilité qu'un de ces chemins se réalise est égale à pk × qn–k (c'est le principe du produit des probabilités sur les branches).
Pour finir, puisqu'il y a 
chemins ayant
chacun la probabilité pk × qn–k
de se produire, on peut en déduire que
P(X = k) = pk × qn–k.
E(X) = np ;
V(X) = npq ;
Prenons l'exemple suivant : 
.
Écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « Combinaison » (qui est dans le menu « Math/Prb ») puis l’argument k (ici 2). Si les instructions sont en anglais, la fonction sera « nCr » dans le même menu qu’indiqué.
Dans une page calcul, entrer « nCr(3,2) ».
Écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « nCr » (dans « OPTN » puis « PROB ») puis l’argument k (ici 2).
Pour déterminer des coefficients binomiaux, dans une cellule écrire « =COMBIN(3;2) ».
avec .Cette loi est notée ℬ(n, p).
C’est ce que l’on constate avec
l’exemple précédent. Pour
2 succès, on peut compter
« à la main » la
probabilité de chaque chemin et additionner le
tout, ce qui donne 
.
D’après la définition, pour
on a : 
.
Prenons l'exemple suivant : P(X = k) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462.
Entrer la fonction « binomFdp(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.
Dans une page calcul, entrer « binomPdf(1000,0.5,462) ».
Les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables.
Entrer la fonction « BinomialPD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bpd » pour finir) avec les arguments k = 462, n = 1000 et p = 0,5.
Pour déterminer P(X = k), dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ; FAUX) ».
Sur certains tableurs au lieu de « FAUX » il faut écrire « 0 ».
Prenons l'exemple suivant : P(X
k) pour
n = 1000,
p = 0,5 et
k = 462
(utilisé ci-après).
Entrer la fonction « binomFrép(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.
Dans une page calcul entrer « binomCdf(1000,0.5,0,462) ».
Entrer la fonction « BinomialCD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bcd » pour finir) avec les arguments k = 462 la valeur à tester, n = 1000 et p = 0,5.
Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ; VRAI) » que l’on tirera vers le bas.
Sur certains tableurs au lieu de « VRAI » il faut écrire « 1 ».
On peut remarquer : 
. 
, 
.
Par convention 
.
• Si 
alors 
.
• Si 
alors 
(formule de Pascal).
Ces deux règles permettent de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche, en construisant le « Triangle de Pascal » par exemple, ce qui se fait assez facilement sur tableur.
Dans le tableur, on enlève l’affichage des
zéros (cliquer sur Outils/Options puis
décocher la case « Valeurs
zéro » dans Affichage).
On place des 1 en première colonne et en
diagonale.
En B3, on écrira une formule comme
« =A2+B2 » que l’on recopie
vers le bas. On recopie aussi cette formule vers la
droite pour les cellules sans valeur à
l’intérieur du triangle.
Les coefficients binomiaux sont obtenus avec la calculatrice.
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