Loi binomiale, espérance et écart type- Terminale- Mathématiques - Maxicours

Loi binomiale, espérance et écart type

Objectifs
  • Reconnaitre un schéma de Bernoulli.
  • Calculer des probabilités dans le cadre de la loi binomiale.
  • Utiliser l’espérance d’une loi binomiale.
Points clés
  • Considérons une variable aléatoire X qui compte le nombre de réalisations du succès au cours des n épreuves. On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n et p.
    X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n.
  • On admet les résultats suivants sur l'espérance et l'écart type d'une loi binomiale de paramètres n et p : E(X) = np ; V(X) = npq ; .
  • Pour un schéma de Bernoulli d’ordre n, de probabilité p pour chaque succès de l’épreuve, la loi de probabilité de la variable X qui à chaque issue associe k succès est avec .
    Cette loi est notée ℬ(np).
1. Loi binomiale
a. Définition

Considérons un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Les n épreuves de Bernoulli peuvent se modéliser par un arbre qui aurait 2 branches initiales (succès-échec) puis chacune de ces branches donnant naissance à 2 nouvelles branches (succès-échec), etc.
À chaque épreuve, le nombre de branches est doublé.

Considérons une variable aléatoire X qui compte le nombre de réalisations du succès au cours des n épreuves. On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n et p.
X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n.

Prenons k une de ces valeurs entières.
Sur l'arbre, il existe un certain nombre de branches (ou chemins) qui comportent k succès et n – k échecs. Ce nombre de chemins se note , il s'agit du nombre de k-uplets d'un ensemble à n éléments.
Il peut se calculer aisément avec une calculatrice.

Chacun de ces chemins comporte k succès et n – k échecs. La probabilité qu'un de ces chemins se réalise est égale à pk × qn–k (c'est le principe du produit des probabilités sur les branches).

Pour finir, puisqu'il y a chemins ayant chacun la probabilité pk × qn–k de se produire, on peut en déduire que P(X = k) =  pk × qn–k.

b. Espérance et variance d'une loi binomiale
On admet les résultats suivants sur l'espérance et l'écart type d'une loi binomiale de paramètres n et p.

E(X) = np   ;   V(X) = npq   ;   

2. Calculatrice et loi binomiale
a. Utilisation d'une calculatrice pour déterminer des coefficients binomiaux

Prenons l'exemple suivant : .

Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84)

Écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « Combinaison » (qui est dans le menu « Math/Prb ») puis l’argument k (ici 2). Si les instructions sont en anglais, la fonction sera « nCr » dans le même menu qu’indiqué.

Sur TI-NSpire

Dans une page calcul, entrer « nCr(3,2) ».

Sur Casio

Écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « nCr » (dans « OPTN » puis « PROB ») puis l’argument k (ici 2).

Utilisation d’un tableur

Pour déterminer des coefficients binomiaux, dans une cellule écrire « =COMBIN(3;2) ».

b. Loi binomiale de paramètre n et p
Pour un schéma de Bernoulli d’ordre n, de probabilité p pour chaque succès de l’épreuve, la loi de probabilité de la variable X qui à chaque issue associe k succès est avec .
Cette loi est notée ℬ(np).

C’est ce que l’on constate avec l’exemple précédent. Pour 2 succès, on peut compter « à la main » la probabilité de chaque chemin et additionner le tout, ce qui donne . D’après la définition, pour on a : .

c. Utilisation d'une calculatrice pour déterminer P(X=k) pour une loi binomiale de paramètres n et p

Prenons l'exemple suivant : P(X = k) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462.

Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84)

Entrer la fonction « binomFdp(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et = 462.

Sur TI-NSpire

Dans une page calcul, entrer « binomPdf(1000,0.5,462) ».

Rappel
Les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables.
Sur Casio

Entrer la fonction « BinomialPD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bpd » pour finir) avec les arguments k = 462, n = 1000 et p = 0,5.

Utilisation d’un tableur

Pour déterminer P(X = k), dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ; FAUX) ».

Remarque
Sur certains tableurs au lieu de « FAUX » il faut écrire « 0 ».
d. Utilisation d'une calculatrice pour déterminer P(X inférieur ou égal à k) pour une loi binomiale de paramètres n et p

Prenons l'exemple suivant : P(Xk) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462 (utilisé ci-après).

Sur Texas instrument

Entrer la fonction « binomFrép(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, = 0,5 et k = 462.

Sur TI-NSpire

Dans une page calcul entrer « binomCdf(1000,0.5,0,462) ».

Sur Casio

Entrer la fonction « BinomialCD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bcd » pour finir) avec les arguments k = 462 la valeur à tester, n = 1000 et p = 0,5.

Utilisation d’un tableur

Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ; VRAI) » que l’on tirera vers le bas.

Remarque
Sur certains tableurs au lieu de « VRAI » il faut écrire « 1 ».
3. Propriétés des coefficients binomiaux

On peut remarquer : . , .
Par convention .

• Si alors .
• Si alors (formule de Pascal).

Ces deux règles permettent de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche, en construisant le « Triangle de Pascal » par exemple, ce qui se fait assez facilement sur tableur.

Dans le tableur, on enlève l’affichage des zéros (cliquer sur Outils/Options puis décocher la case « Valeurs zéro » dans Affichage).
On place des 1 en première colonne et en diagonale.
En B3, on écrira une formule comme « =A2+B2 » que l’on recopie vers le bas. On recopie aussi cette formule vers la droite pour les cellules sans valeur à l’intérieur du triangle.

Rappel
Les coefficients binomiaux sont obtenus avec la calculatrice.

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