Combinaisons dans un ensemble fini et coefficients binomiaux - Maxicours

Combinaisons dans un ensemble fini et coefficients binomiaux

Objectif

Effectuer des dénombrements simples dans différentes situations.

Points clés
  • Soit E un ensemble fini de cardinal n et k un entier tel que 0  k  n. Une combinaison de k éléments de E est une partie de E ayant k éléments.
  • Le nombre de combinaisons de k éléments de E est :
    .
  • .
  • Pour tous entiers naturels n et k tels que 0 k n : .
  • Relation de Pascal : Pour tous entiers naturels n et k tels que 1 ≤ k ≤ n  1 : .
Pour bien comprendre
  • Connaitre le vocabulaire des ensembles.
  • Calculer le cardinal d’un ensemble.
  • Connaitre les propriétés des ensembles et sous-ensembles, k-uplets.
  • Calculer le nombre de parties d’un ensemble fini.
  • Connaitre le nombre de permutations d’un ensemble E.
1. Combinaisons
Soit E un ensemble de cardinal n et k un entier tel que 0 ≤ k ≤ n.
On appelle combinaison de k éléments de E toute partie de E ayant k éléments.
Remarque
Dans une combinaison, l’ordre des éléments n’a aucune importance et les éléments sont deux à deux distincts.
Exemple
Soit E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}.
Alors {1 ; 5 ; 6} est une combinaison d’éléments de E.
Ainsi {6 ; 5 ; 1} et {1 ; 6 ; 5} représentent la même combinaison.
Propriété
Soit E un ensemble fini de cardinal n et k un entier tel que 0 ≤ k ≤ n. Alors le nombre de combinaisons de k éléments de E est noté  et on a :
Démonstration

Pour obtenir un k-uplet d’éléments distincts de E, on peut procéder de la manière suivante :

  • on choisit une partie de E à k éléments, c’est-à-dire une combinaison de k éléments de E : il y en a  ;
  • on ordonne ensuite ces k éléments, c’est-à-dire on les permute. Il y a k! possibilités.

Ainsi on en déduit, d’après le principe multiplicatif, qu’il y a k! ×  k-uplets d’éléments distincts de E.
Or on sait que le nombre de k-uplets d’éléments distincts de E est .
Donc .
Ainsi .
Or .
Donc .

Méthode : Calcul pratique sans calculatrice

On simplifie les factorielles .

Exemple
Méthode : Calcul pratique avec calculatrice
Casio Graph 35+ ou 90+E Menu Exe-Mat / OPTN / F6 / PROB / F3 (nCr)
TI 83 Premium CE MATH / PROB / 3 / Combinaison
Numworks Touche Boite à outils (paste) / Dénombrement / binomial (n,k)
Remarque
Pour Casio et TI, on tape 11C4 pour .
Exemple fondamental à connaitre : Tirage simultané
Une urne contient 15 boules. On tire simultanément 7 boules de l’urne.
Un tirage possible est une combinaison de 7 éléments de l’urne.
Il y a  tirages possibles.
Remarque
Le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est 2n. Cela représente le nombre de parties à 0 élément , plus le nombre de parties à 1 élément , plus le nombre de parties à 2 éléments , … plus le nombre de parties à n éléments .
Ainsi ou encore .
2. Formules avec les combinaisons
Propriétés
  1. Pour tout entier naturel n, et .
  2. Pour tout entier naturel n non nul, .
  3. Pour tout entier naturel n ≥ 2, .
  4. Pour tous entiers naturels n et k tels que 0 ≤ k ≤ n, .
  5. Relation de Pascal : Pour tous entiers naturels n et k tels que 1 ≤  n  1 : .
Démonstrations

Soit E un ensemble de cardinal n.

  1. Dans E, il y a une seule partie à 0 élément : c’est l’ensemble vide donc .
    De même, il y a une seule partie qui contient tous les éléments : c’est E, donc .
  2. Il y a autant de parties à 1 élément que d’éléments dans E donc .
  3. On utilise la formule .
  4. Soit n et k deux entiers naturels tels que 0 ≤ k ≤ n, est le nombre de parties à k éléments de E, est le nombre de parties à n  k éléments de E.
    Or, à chaque partie à k éléments de E correspond une partie à n  k éléments de E.
    Il y donc autant de parties à k éléments que de parties à n k éléments dans E.
    Donc .
  5. Soit E un ensemble à n éléments avec n 2.
    Soit a un élément fixé appartenant à E.
    Soit k un entier naturel tel que 1 kn 1, le nombre de parties à k éléments est .
    On effectue une partition de ces parties à k éléments :
    • soit A l’ensemble de ces parties qui ne contiennent pas a : elles contiennent k éléments parmi les n 1 éléments de E distincts de a, il y en a donc  ;
    • soit B l’ensemble de ces parties qui contiennent a : elles contiennent k 1 éléments parmi n 1 éléments de E distincts de a, il y en a .
    A et B sont disjoints donc card (A  B) = card A + card B, soit .
Application : Triangle de Pascal

Grâce à la relation de Pascal, on peut calculer connaissant et .
On utilise le tableau ci-dessous appelé triangle de Pascal : on trouve à l’intersection de la n-ième ligne et de la k-ième colonne.
On place des 1 dans la première colonne puisque et des 1 sur la première diagonale puisque .
On obtient les autres coefficients en utilisant la relation de Pascal :

Exemple : et , donc .

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