Combinaisons dans un ensemble fini et coefficients binomiaux
Effectuer des dénombrements simples dans différentes situations.
- Soit E un ensemble fini de cardinal n et k un entier tel que 0 ≤ k ≤ n. Une combinaison de k éléments de E est une partie de E ayant k éléments.
- Le nombre de combinaisons de k éléments
de E est :
.
-
.
- Pour tous entiers naturels n et k tels que 0 ≤ k ≤
n :
.
- Relation de Pascal : Pour tous entiers
naturels n
et k tels
que 1 ≤ k ≤ n – 1 :
.
- Connaitre le vocabulaire des ensembles.
- Calculer le cardinal d’un ensemble.
- Connaitre les propriétés des ensembles et sous-ensembles, k-uplets.
- Calculer le nombre de parties d’un ensemble fini.
- Connaitre le nombre de permutations d’un ensemble E.
On appelle combinaison de k éléments de E toute partie de E ayant k éléments.
Dans une combinaison, l’ordre des éléments n’a aucune importance et les éléments sont deux à deux distincts.
Soit E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}.
Alors {1 ; 5 ; 6} est une combinaison d’éléments de E.
Ainsi {6 ; 5 ; 1} et {1 ; 6 ; 5} représentent la même combinaison.
Soit E un ensemble fini de cardinal n et k un entier tel que 0 ≤ k ≤ n. Alors le nombre de combinaisons de k éléments de E est noté


Pour obtenir un k-uplet d’éléments distincts de E, on peut procéder de la manière suivante :
- on choisit une partie de E à
k éléments,
c’est-à-dire une combinaison de
k éléments
de E : il y en a
;
- on ordonne ensuite ces k éléments, c’est-à-dire on les permute. Il y a k! possibilités.
Ainsi on en déduit, d’après le
principe multiplicatif, qu’il y a k! × k-uplets
d’éléments distincts de E.
Or on sait que le nombre de k-uplets
d’éléments distincts de E est
.
Donc .
Ainsi .
Or .
Donc .
On simplifie les factorielles .

Casio Graph 35+ ou 90+E | Menu Exe-Mat / OPTN / F6 / PROB / F3 (nCr) |
TI 83 Premium CE | MATH / PROB / 3 / Combinaison |
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Pour Casio et TI, on tape 11C4 pour

Une urne contient 15 boules. On tire simultanément 7 boules de l’urne.
Un tirage possible est une combinaison de 7 éléments de l’urne.
Il y a

Le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est 2n. Cela représente le nombre de parties à 0 élément




Ainsi


- Pour tout entier naturel n,
et
.
- Pour tout entier naturel n non nul,
.
- Pour tout entier naturel n ≥ 2,
.
- Pour tous entiers naturels n et k tels que
0 ≤ k ≤ n,
.
-
Relation de Pascal : Pour tous entiers
naturels n
et k tels
que 1 ≤ k ≤ n – 1 :
.
Soit E un ensemble de cardinal n.
- Dans E, il y a une seule partie à 0
élément : c’est l’ensemble
vide donc
.
De même, il y a une seule partie qui contient tous les éléments : c’est E, donc.
- Il y a autant de parties à 1
élément que d’éléments
dans E donc
.
- On utilise la formule
.
- Soit n et
k deux entiers
naturels tels que 0 ≤ k ≤ n,
est le nombre de parties à k éléments de E,
est le nombre de parties à n – k éléments de E.
Or, à chaque partie à k éléments de E correspond une partie à n – k éléments de E.
Il y donc autant de parties à k éléments que de parties à n – k éléments dans E.
Donc.
- Soit E un ensemble à n éléments avec
n
≥ 2.
Soit a un élément fixé appartenant à E.
Soit k un entier naturel tel que 1 ≤ k ≤ n – 1, le nombre de parties à k éléments est.
On effectue une partition de ces parties à k éléments :- soit A l’ensemble de ces parties qui
ne contiennent pas a : elles
contiennent k éléments
parmi les n – 1
éléments de E distincts de
a, il y en
a donc
;
- soit B l’ensemble de ces parties qui
contiennent a : elles
contiennent k – 1
éléments parmi n – 1
éléments de E distincts de
a, il y en
a
.
.
- soit A l’ensemble de ces parties qui
ne contiennent pas a : elles
contiennent k éléments
parmi les n – 1
éléments de E distincts de
a, il y en
a donc
Grâce à la relation de Pascal, on peut
calculer connaissant
et
.
On utilise le tableau ci-dessous appelé
triangle de Pascal : on trouve à l’intersection de
la n-ième ligne et de la
k-ième
colonne.
On place des 1 dans la première colonne
puisque et des 1 sur la
première diagonale puisque
.
On obtient les autres coefficients en utilisant la
relation de Pascal :






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