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La somme de n variables aléatoires

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Objectifs
  • Étudier la somme et la moyenne de n variables aléatoires indépendantes.
  • Étudier les relations entre les espérances et les variances.
Points clés
  • Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires discrètes et Z = (X1 ; X2 ; … ; Xn). On considère la variable aléatoire n-uplets dont l’univers est noté ΩZ.
    On définit la somme de ces n variables aléatoires par S = X1 + X2 + … + Xn dont l’univers est Ωs = {s = x1 + x2 + ⋯ + xn  avec (x1 ; x2 ; … ; xn)  ΩZ} et p(S = s) = somme des p(Z = (x1 ; x2 ; … ; xn) avec x1 + x2 + ⋯ + xn = s.
  • Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires et S = X1 + X2 + … + Xn.
    E(S) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn), soit E(X1 + X2+ … + Xn) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn)
  • Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires indépendantes et S = X1 + X2 + … + Xn.
    On a V(S) = V(X1) + V(X2) + … + V(Xn), soit V(X1 + X2 + … + Xn) = V(X1) + V(X2) + … + V(Xn).
  • Soit X une variable aléatoire, un échantillon de taille n de X est un n-uplets de variables aléatoires (X1 ; X2 ; … ; Xn) indépendantes et qui suivent toutes la même loi de X.
  • Soit (X1 ; X2 ; … ; Xn) un échantillon de taille n d’une variable aléatoire X et S la somme de cet échantillon : E(S) = nE(X) et V(S) = nV(X).
  • Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, donc E(X) = np et V(X) = np(1 – p).
  • Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires et S = X1 + X2 + … + Xn la somme de ces n variables aléatoires et  la moyenne de ces n variables aléatoires : et .
  • E(M) = E(X) et .
Pour bien comprendre

Connaitre les propriétés d’une variable aléatoire.

1. La variable aléatoire somme
a. Variable aléatoires n-uplets
Propriété
Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires dont les univers sont notés ΩX1 ; ΩX2 ; … ; ΩXn. La variable aléatoire n-uplets (X1 ; X2 ; … ; Xn), qu’on peut noter Z, est la variable aléatoire dont l’univers est ΩZ = ΩX1 × ΩX2 × … × ΩXn et telle que :

p(Z = (x1 ; x2 ; … ; xn) = p((X1 = x1)  (X2 = x2)  …  (Xn = xn)).

Exemple
On considère trois urnes contenant des jetons numérotés. La première urne contient 5 jetons (2 jetons numérotés 0 et 3 jetons numérotés 1), la deuxième urne contient 10 jetons (3 jetons numérotés 0, 2 jetons numérotés 1 et 5 jetons numérotés 2) et la troisième urne contient 2 jetons (1 jeton numéroté 0 et l’autre numéroté 1).

On tire au hasard un jeton dans la première urne et on note X1 le numéro du jeton tiré. Puis on tire au hasard un jeton dans la deuxième urne et on note X2 le numéro du jeton tiré. Enfin on tire au hasard un jeton dans la troisième urne et on note X3 le numéro du jeton tiré.

On va déterminer la loi de la variable aléatoire Z = (X1 ; X2 ; X3).

Traduisons cette situation par un arbre pondéré.

Ainsi, avec cet arbre, on obtient la loi de Z.
b. Somme de n variables aléatoires
Propriété
Soit X1 ; X2 ; … ; Xn n variables aléatoires discrètes et Z = (X1 ; X2 ; … ; Xn). On considère la variable aléatoire n-uplets dont l’univers est noté ΩZ.

On définit la somme de ces n variables aléatoires par S = X1 + X2 + … + Xn dont l’univers est :

ΩS = {s = x1 + x2 + ⋯ + xn avec (x1 ; x2 ; … ; xn)  ΩZ}
et p(S = s) = somme des p(Z = (x1 ; x2 ; … ; xn) avec x1 + x2 + ⋯ + xn = s.
Exemple
Reprenons l’exemple précédent.

On a ΩX1 = {0 ; 1} ; ΩX2 = {0 ; 1 ; 2} et ΩX3 = {0 ; 1}, donc les valeurs possibles de S = X1 + X2 + X3 sont :

Valeurs de Z Valeurs de S
(0 ; 0 ; 0) 0
(0 ; 0 ; 1) 1
(0 ; 1 ; 0) 1
(0 ; 1 ; 1) 2
(0 ; 2 ; 0) 2
(0 ; 2 ; 1) 3
(1 ; 0 ; 0) 1
(1 ; 0 ; 1) 2
(1 ; 1 ; 0) 2
(1 ; 1 ; 1) 3
(1 ; 2 ; 0) 3
(1 ; 2 ; 1) 4

Donc ΩS = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}.

p(S = 0) = p(Z = (0 ; 0 ; 0) = 0,06

p(S = 1) = p(Z = (0 ; 0 ; 1)) + p(Z = (0 ; 1 ; 0)) + p(Z = (1 ; 0 ; 0))
p(S = 1) = 0,06 + 0,04 + 0,09 = 0,19

p(S = 2) = p(Z = (0 ; 1 ; 1)) + p(Z = (0 ; 2 ; 0)) + p(Z = (1 ; 0 ; 1)) + p(Z = (1 ; 1 ; 0))
p(S = 2) = 0,04 + 0,1 + 0,09 + 0,06 = 0,29

p(S = 3) = p(Z = (0 ; 2 ; 1)) + p(Z = (1 ; 1 ; 1)) + p(Z = (1 ; 2 ; 0)) = 0,1 + 0,06 + 0,15 = 0,31

p(S = 4) = p(Z = (1 ; 2 ; 1)) = 0,15

Donc la loi de S est :

si 0 1 2 3 4
pi = p(S = si) 0,06 0,19 0,29 0,31 0,15
c. Espérance de la somme de n variables aléatoires
Rappel
Pour deux variables aléatoires X et Y, l’espérance de la somme de X et Y est égale à la somme des espérances de X et Y, soit E(X + Y) = E(X) + E(Y). Ceci se généralise à une somme de n variables aléatoires.
Propriété
Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires et S = X1 + X2+ … + Xn.

E(S) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn)

Soit E(X1 + X2+ … + Xn) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn)
Exemple
Reprenons l’exemple précédent :
  • Espérance de X1
Valeurs de X1 x11 = 0 x12 = 1
Probabilités p11 = 0,4 p12 = 0,6

E(X1) = p11x11+ p12x12 = 0,4 × 0 + 0,6 × 1 = 0,6

  • Espérance de X2
Valeurs de X2 x21 = 0 x22= 1 x23= 2
Probabilités p21 = 0,3 p22= 0,2 p23= 0,5

E(X2) = p21x21+ p22x22+ p23x23= 0,3 × 0 + 0,2 × 1 + 0,5 × 2 = 1,2

  • Espérance de X3
Valeurs de X3 x31 = 0 x32= 1
Probabilités p31 = 0,5 p32= 0,5

 E(X3) = p31x31 + p32x32= 0,5 × 0 + 0,5 × 1 = 0,5

  • Espérance de S = X1 + X2 + X3
si 0 1 2 3 4
pi = p(S = si) 0,06 0,19 0,29 0,31 0,15

E(S) = p1s1 + p2s2 + p3s3 + p4s4 + p5s5
E(S) = 0,06 × 0 + 0,19 × 1 + 0,29 × 2 + 0,31 × 3 + 0,15 × 4 = 2,3

Et on a E(X1) + E(X2) + E(X3) = 0,6 + 1,2 + 0,5 = 2,3.

On a bien E(S) = E(X1) + E(X2) + E(X3),
soit E(X1+ X2+ X3) = E(X1) + E(X2) + E(X3).
d. Variance de la somme de n variables aléatoires indépendantes

Des variables aléatoires sont indépendantes si elles sont de situations indépendantes, c’est-à-dire :

P((X1 = x1)(X2 = x2)  …  (Xn = xn))

= P(X = x1) × P(X = x2) × … × P(X = xn) pour tout xi  ΩXi

Rappel
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, la variance de la somme de X et Y est égale à la somme des variances de X et Y, soit V(X + Y) = V(X) + V(Y). Ceci se généralise pour la somme de n variables aléatoires indépendantes.
Propriété
Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires indépendantes et S = X1 + X2 + … + Xn.

V(S) = V(X1) + V(X2) + … + V(Xn)

V(X1 + X2+ … + Xn) = V(X1) + V(X2) + … + V(Xn)
Exemple
Reprenons l’exemple précédent.

X1, X2 et X3 sont issues de trois situations indépendantes, donc X1, X2 et X3 sont indépendantes.

V(X1) = p11(x11 – E(X1))2 + p12(x12 – E(X1))2
V(X1) = 0,4 × (0 – 0,6)2 + 0,6 × (1 – 0,6)2 = 0,24

V(X2) = p21(x21 – E(X2))2 + p22(x22 – E(X2))2 + p23(x23 – E(X2))2
V(X2) = 0,3 × (0 – 1,2)2 + 0,2 × (1 – 1,2)2 + 0,5 × (2 – 1,2)2 = 0,76

V(X3) = p31(x31 – E(X3))2 + p32(x32 – E(X3))2
V(X3) = 0,5 × (0 – 0,5)2 + 0,5 × (1 – 0,5)2 = 0,25

V(S) = p1(s1 – E(S))2 + p2(s2 – E(S))2 + … + p5(s5 – E(S))2
V(S) = 0,6 × (0 – 2,3)2 + 0,19 × (1 – 2,6)2 + … + 0,15 × (4 – 2,3)2 = 1,25

On a bien V(X1) + V(X2) + V(X3) = 0,24 + 0,76 + 0,25 = 1,25.
Donc V(S) = V(X1) + V(X2) + V(X3),
soit V(X1+ X2+ X3) = V(X1) + V(X2) + V(X3).
2. Échantillon d'une variable aléatoire
a. Définition
Soit X une variable aléatoire, un échantillon de taille n de X est un n-uplets de variables aléatoires (X1 ; X2 ; … ; Xn) indépendantes et qui suivent toutes la même loi de X.
Exemple
Dans une urne de 10 jetons, 3 jetons sont numérotés 0, 5 jetons numérotés 1 et 2 jetons numérotés 2.
On tire au hasard un jeton, on note son numéro et on note X le numéro tiré.

La loi de X est :

xi 0 1 2
pi = p(X = xi) 0,3 0,5 0,2
Maintenant, on tire un jeton trois fois de suite. Après chaque tirage on le remet dans l’urne. On note X1 le numéro du jeton tiré au premier tirage, X2 le numéro du jeton tiré au deuxième tirage et X3 le numéro du jeton tiré au troisième tirage.

X1, X2 et X3 sont indépendantes, puisqu’on remet le jeton dans l’urne après chaque tirage. Les lois de X1, de X2 et de X3 sont les mêmes que celle de X.

Donc (X1 ; X2 ; X3) est un échantillon de taille 3 de X.
b. Somme d'un échantillon d'une variable aléatoire
Théorème
Soit (X1 ; X2 ; … ; Xn) un échantillon de taille n d’une variable aléatoire X et S la somme de cet échantillon :

E(S) = nE(X)

V(S) = nV(X)
Démonstrations
  • Soit (X1 ; X2 ; … ; Xn) un échantillon de taille n d’une variable aléatoire X et S la somme de cet échantillon, c’est-à-dire S = X1 + X2 + … + Xn.

    E(S) = E(X1 + X2 + ⋯ + Xn) = E(X1) + E(X2) + ⋯ + E(Xn)

    Comme X1 ; X2 ; … ; Xn suivent la même loi que celle de X, donc :

    E(X1) = E(X2) = … = E(Xn) = E(X) et E(S) = E(X) + E(X) + ⋯+ E(X) avec n facteurs

    D’où E(S) = nE(X).

  • De même, et puisque les Xi sont indépendantes :

    V(S) = V(X1 + X2 + ⋯ + Xn) = V(X1) + V(X2) + ⋯ + V(Xn)

    Comme X1 ; X2 ; … ; Xn suivent la même loi que celle de X, donc :

    V(X1) = V(X2) = … = V(Xn) = V(X) et V(S) = V(X) + V(X) + ⋯ + V(X) avec n facteurs

    D’où V(S) = nV(X).

Exemple
Soit X la variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,4.

On sait que E(X) = p = 0,4 et V(X) = p(1 – p) = 0,4 × 0,6 = 0,24.

S étant la somme d’un échantillon de X de taille 100, donc :

E(S) = nE(X) = 100 × 0,4 = 40

V(S) = 100 × 0,24 = 24
c. De la loi de Bernoulli vers la loi binomiale
Propriétés
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p donc :

E(X) = np

V(X) = np(1 – p)
Démonstrations

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p. n est le nombre de répétitions et p la probabilité du succès.

Comme une loi binomiale est une somme de lois de Bernoulli, c’est-à-dire une somme d’un échantillon d’une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p, alors X = X1 + X2+ … + Xn, avec X1 ; X2 ; … ; Xn des variables aléatoires qui suivent la même loi de Bernoulli de paramètre p.

Donc E(X) = E(X1 + X2+ … + Xn) = E(X1) + E(X2) + ⋯ + E(Xn)
E(X) = p + p + ⋯ + p avec n facteurs
E(X) = np

V(X) = V(X1 + X2 + ⋯ + Xn) = V(X1) + V(X2) + ⋯ + V(Xn)
V(X) = p(1 – p) + p(1 – p) + ⋯ + p(1 – p) avec n facteurs
V(X) = np(1 – p)

On retrouve ainsi l’espérance et la variance d’une loi binomiale.

3. Moyenne de n variables aléatoires
a. Rappel
Propriété
Soit a un nombre réel et X une variable aléatoire :

E(aX) = aE(X)

V(X) = a2V(X)
b. Moyenne de n variables aléatoires
Définition
Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires, la moyenne de ces n variables aléatoires est la variable aléatoire M définie par : M = , soit M = .
Exemple
Reprenons l’exemple du paragraphe I.

On reprend la loi de S = X1 + X2 + X3.

si 0 1 2 3 4
pi = p(S = si) 0,06 0,19 0,29 0,31 0,15

Donc la loi de M =  est :

mi 0 1
pi = p(M = mi) 0,06 0,19 0,29 0,31 0,15
Espérance de la moyenne
Propriété
Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires et S = X1 + X2 + ⋯ + Xn la somme de ces n variables aléatoires et M =  la moyenne de ces n variables aléatoires, donc :

E(M) = .

Démonstration

M = 
M =  avec S = X1 + X2 + ⋯ + Xn
M =  S

E(M) = E
E(M) =  E(S)

Exemple
On reprend l’exemple précédent. On avait calculé E(S) = 2,3.

E(M) = p1m1+ p2m2+ p3m3+ p4m4+ p5m5

E(M) = 0 × 0,06 + × 0,19 + × 0,29 + 1 × 0,31 + × 0,15

E(M) = 

 = = 

Donc on a bien E(M) = .
Variance de la moyenne de n variables aléatoires indépendantes
Propriété
Soit X1 ; X2 ; … ; Xnn variables aléatoires indépendantes et S = X1 + X2 + ⋯ + Xn la somme de ces n variables aléatoires et M =  la moyenne de ces n variables aléatoires, donc :
V(M) = 
Démonstration

M =  S
V(M) = V
V(M) =  V(S)
V(M) =  V(S)

Exemple
On reprend l’exemple précédent. On avait calculé V(S) = 1,25.

V(M) = p1(m1 – E(M))2+ p2(m2 – E(M))2+ ⋯ + p5(m5 – E(M))2

V(M) = 0,06 × (0 – 2,3)2+ 0,19 × (– 2,3)2+ ⋯ + 0,15 × ( – 2,3)2

V(M) = 

 =  = 

Donc on a bien V(M) = .
c. Moyenne d'un échantillon d'une variable aléatoire
Propriété
Soit X une variable aléatoire et M la moyenne d’un échantillon de taille n de X, donc :

E(M) = E(X) et V(M) = 
Démonstration

Soit X une variable aléatoire et (X1 ; X2 ; … ; Xn) un échantillon de taille n de cette variable aléatoire et S la somme des Xi.

M = 

E(M) =  et V(M) = 

Or, pour un échantillon de taille n de X, on a :

E(S) = nE(X) et V(S) = nV(X)

Donc E(M) = = E(X) et V(M) = = .

Exemple
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p :

E(X) = p et V(X) = p(1 – p).

M étant la moyenne d’un échantillon de taille n de X, donc :

E(M) = p et V(X) = .

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