Le calcul approché de nombres remarquables avec Python

Le principe d’Archimède consiste à trouver géométriquement l'encadrement du nombre en considérant deux polygones réguliers : l’un inscrit (rose) et l’autre circonscrit (bleu) à un cercle de rayon 1.

Triangle équilatéral

Carré

Pentagone régulier

...

Dodécagone

On remarque que les périmètres des deux polygones convergent vers celui du cercle lorsque n devient grand.
On peut démontrer que, pour tout n entier supérieur ou égal à 3 :

• le périmètre du polygone circonscrit est donné par :
• le périmètre du cercle de rayon 1 est donné par : P = 2π
• le périmètre du polygone inscrit est donné par :

On a donc l’inégalité suivante : .
D’où : .
Soit, en posant et  : I_n ≤ π ≤ C_n.
En particulier, on a pour n = 3 : et .
Pour obtenir une approximation de π avec une erreur e, il suffit de calculer les termes des deux suites jusqu'à ce que : C_n – I_n ≤ e.

Pour résumer, cet algorithme s’écrit en langage naturel de la façon suivante :

Une façon de trouver une approximation de e est de calculer la somme suivante :
avec n! = 1 × 2 × 3 × … × n, appelé factorielle de n.

Pour trouver une approximation de e, on va écrire deux fonctions : une première qui détermine la factorielle d’un nombre, puis une seconde qui donne l’approximation de e.

En langage naturel, les deux fonctions s'écrivent de la façon suivante :

L’algorithme de Brouncker sert à donner une approximation de ln 2. On commence par remarquer que : .

On cherche donc à déterminer l’aire sous la courbe de la fonction inverse sur l’intervalle [1 ; 2].
Pour déterminer cette aire, on pave successivement l’aire sous la courbe en plaçant des rectangles les plus grands possibles.
Voici les 4 premières étapes :

Étape	Graphique	Commentaire
1		On construit un premier rectangle et on peut alors estimer que ln 2 est environ égal à .
2		On complète la partie restante d’un autre rectangle et on peut alors estimer que ln 2 est environ égal à .
3		On complète encore chacune des deux zones restantes par des rectangles et on peut alors estimer que ln 2 est environ égal à .
4		On complète chacune des quatre zones restantes par des rectangles et on peut alors estimer que ln 2 est environ égal à .

On continue de la même manière jusqu’à la n-ième étape. Pour tout n entier naturel, on a donc : .

On obtient donc l’algorithme suivant, en langage naturel :

Deux longueurs strictement positives a et b respectent la proportion du nombre d’or si et seulement si : .
En remarquant que , et en notant , on obtient alors : .
On appelle φ le nombre d’or.
On pose alors la suite (φ_n) définie par : φ₀ = 1 et, pour tout entier naturel n, .
On peut alors démontrer que (φ_n) converge vers φ.

On obtient donc l’algorithme suivant, en langage naturel :