Dérivée et étude d'une fonction
- Liens entre la dérivée et extremums
- Étudier la dérivée : toujours indispensable ?
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si la fonction dérivée f' est nulle sur I, alors la fonction f est constante
• Si la fonction dérivée f' est strictement positive sur I, sauf peut-être en certains points isolés où elle est nulle, alors la fonction f est strictement croissante.
• Si la fonction dérivée f' est strictement négative sur I, sauf peut-être en certains points isolés où elle est nulle, alors la fonction f est strictement décroissante.
Exemple :
Soit f la fonction définie sur
f est une fonction polynôme donc f est dérivable sur
Soit f une fonction dérivable sur I. Soit J un intervalle ouvert inclus dans I et
• Si f admet un extremum local en x0 alors f'(x0) = 0
• Si la fonction dérivée f' s'annule en xo, en changeant de signe, alors f admet un extremum local en xo
Exemple :
L'exemple précédent montre le cas d'une
fonction où un zéro de la fonction
dérivée ne correspond pas à un
extremum local de la fonction.
En effet : 
F' s'annule en 0 sans changer de signe, f(0) n'est pas
extremum de la fonction.
Par contre, f' s'annule en 3/4 en changeant de signe donc
f(3/4) est un extremum local (un maximum local) de la
fonction.
► Si f est la somme de deux fonctions croissantes (décroissantes) sur I, alors f est croissante (décroissante) sur I
► Si f est une fonction composée, en se plaçant sur un intervalle I où la composée existe :
→ si les deux fonctions ont même sens de variation alors f est croissante
→ si les deux fonctions n'ont pas le même sens de variation, alors f est décroissante
Exemples :
•
donc f est croissante sur 
car elle est la somme de deux fonctions croissantes sur
•
,
définie sur 
comme
somme de fonctions décroissantes sur 
donc g est décroissante sur 
•
est la composée de deux fonctions croissantes sur
donc h est croissante sur cet intervalle
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