Dérivée et étude d'une fonction - Maxicours MAXICOURS

Dérivée et étude d'une fonction

Objectifs
- Découvrir la dérivée et construire les variations d'une fonction
- Liens entre la dérivée et extremums
- Étudier la dérivée : toujours indispensable ?
1. Dérivée et variations d'une fonction
Théorème (admis)

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si la fonction dérivée f' est nulle sur I, alors la fonction f est constante

• Si la fonction dérivée f' est strictement positive sur I, sauf peut-être en certains points isolés où elle est nulle, alors la fonction f est strictement croissante.

• Si la fonction dérivée f' est strictement négative sur I, sauf peut-être en certains points isolés où elle est nulle, alors la fonction f est strictement décroissante.

Exemple :

Soit f la fonction définie sur

f est une fonction polynôme donc f est dérivable sur




2. Dérivée et extremums
Théorème (admis)

Soit f une fonction dérivable sur I. Soit J un intervalle ouvert inclus dans I et

• Si f admet un extremum local en x0 alors f'(x0) = 0

• Si la fonction dérivée f' s'annule en xo, en changeant de signe, alors f admet un extremum local en xo 

Exemple :

L'exemple précédent montre le cas d'une fonction où un zéro de la fonction dérivée ne correspond pas à un extremum local de la fonction.
En effet :

F' s'annule en 0 sans changer de signe, f(0) n'est pas extremum de la fonction.

Par contre, f' s'annule en 3/4 en changeant de signe donc f(3/4) est un extremum local (un maximum local) de la fonction.

 
3. Etudier la dérivée : toujours indispensable ?
Attention, avant de se précipiter sur le calcul de la dérivée, vérifier (mentalement) si le sens de variation de la fonction ne peut être déterminé sans calculs grâce à l'un des théorèmes suivants !
Théorèmes

► Si f est la somme de deux fonctions croissantes (décroissantes) sur I, alors f est croissante (décroissante) sur I

► Si f est une fonction composée, en se plaçant sur un intervalle I où la composée existe :

   → si les deux fonctions ont même sens de variation alors f est croissante
   → si les deux fonctions n'ont pas le même sens de variation, alors f est décroissante

Exemples :

donc f est croissante sur car elle est la somme de deux fonctions croissantes sur

, définie sur comme somme de fonctions décroissantes sur donc g est décroissante sur

est la composée de deux fonctions croissantes sur donc h est croissante sur cet intervalle

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