Produit scalaire dans l'espace
Objectifs :
- Connaître les définitions du produit scalaire
dans l'espace
- Savoir les règles de calcul
- Comprendre l'expression analytique du produit scalaire
- Savoir les règles de calcul
- Comprendre l'expression analytique du produit scalaire
1. Définitions
Produit scalaire de vecteurs de
l'espace
? Si
sont deux vecteurs de l'espace et O, A et B trois
points tels que :
alors il existe toujours un plan P contenant ces
trois points.
? Le produit scalaire de
est égal au produit scalaire 
dans le plan P.
Donc
? Si
? Si
sont deux vecteurs de l'espace et O, A et B trois
points tels que : alors il existe toujours un plan P contenant ces
trois points.? Le produit scalaire de
est égal au produit scalaire dans le plan P. Donc
? Si
Exemple
ABCDEFGH est un pavé tel que AD = 3, AB = 4 et AE
= 6
Vecteurs
orthogonaux
Comme dans le plan, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :
.
Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.
Norme d'un vecteur
Comme dans le plan, la norme du vecteur
défini par : 
Repère orthonormal de l'espace
O est un point de l'espace.
est un repère
orthonormal de l'espace si et seulement si les vecteurs
de base 
sont de norme 1 et orthogonaux
deux à deux.
Comme dans le plan, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :
.Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.
Norme d'un vecteur
Comme dans le plan, la norme du vecteur
défini par : Repère orthonormal de l'espace
O est un point de l'espace.
est un repère
orthonormal de l'espace si et seulement si les vecteurs
de base sont de norme 1 et orthogonaux
deux à deux.
2. Règles de calcul
Quels que soient les vecteurs 
et quel que soit le
réel 
:
et quel que soit le
réel :
Exemple d'application
3. Expression analytique
Si dans un repère orthonormal, 
:
:
Exemple
Soit dans un repère orthonormal A (2 ; 2 ; 1), B (2 ; -2 ; 1) et C (0 ; 0 ; 1). L'une des faces du tétraèdre OABC est un triangle rectangle isocèle, une autre est un triangle isocèle dont l'angle au sommet mesure au degré près, 84°.
En effet :
Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en C
Le triangle AOB est donc isocèle en 0
Pour déterminer la mesure de l'angle
, calculons de deux façons différentes le
produit scalaire 
:
Remarque
On peut aussi vérifier que
et que 
et en déduire que les faces OBC et OAC sont des
triangles rectangles en O.Vous avez déjà mis une note à ce cours.
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