Produit scalaire dans l'espace - Maxicours MAXICOURS

Produit scalaire dans l'espace

Objectifs :
- Connaître les définitions du produit scalaire dans l'espace
- Savoir les règles de calcul
- Comprendre l'expression analytique du produit scalaire


1. Définitions
Produit scalaire de vecteurs de l'espace

? Si sont deux vecteurs de l'espace et O, A et B trois points tels que : 
alors il existe toujours un plan P contenant ces trois points.

? Le produit scalaire de est égal au produit scalaire dans le plan P. 
Donc

? Si

Exemple

ABCDEFGH est un pavé tel que AD = 3, AB = 4 et AE = 6


Vecteurs orthogonaux

Comme dans le plan, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : .

Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.

Norme d'un vecteur

Comme dans le plan, la norme du vecteur défini par :

Repère orthonormal de l'espace

O est un point de l'espace. est un repère orthonormal de l'espace si et seulement si les vecteurs de base sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux.
2. Règles de calcul
Quels que soient les vecteurs et quel que soit le réel :


Exemple d'application


3. Expression analytique
Si dans un repère orthonormal, :

Exemple

Soit dans un repère orthonormal A (2 ; 2 ; 1), B (2 ; -2 ; 1) et C (0 ; 0 ; 1). L'une des faces du tétraèdre OABC est un triangle rectangle isocèle, une autre est un triangle isocèle dont l'angle au sommet mesure au degré près, 84°.

En effet :



Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en C



Le triangle AOB est donc isocèle en 0


Pour déterminer la mesure de l'angle , calculons de deux façons différentes le produit scalaire :



Remarque

On peut aussi vérifier que   et que et en déduire que les faces OBC et OAC sont des triangles rectangles en O.

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