Probabilités conditionnelles
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Soit B un événement de probabilité non nulle et A un événement quelconque.
On en déduit que : p(A∩B) = p(B) × p(A/B) ;
c'est la formule qui permet de calculer p(A?B) si l'on connait p(B) et p(A/B).
Exemple : Une boîte contient 10 jetons rouges et 5 jetons verts. On tire successivement, et sans remise, 2 jetons de cette boîte.
La probabilité que les deux jetons tirés soient rouges est
.Le raisonnement est le suivant :
Si A est l'événement "le 2e jeton tiré est rouge" et B l'événement "le 1er jeton est rouge", on cherche p(A∩B).
Or, p(B)
et
p(A/B)
car B étant
réalisé, il reste 14 jetons dans la
boîte dont 9 rouges.On obtient donc : p(A∩B)
.
Enoncé :
Alice effectue des lancers successifs d'une
fléchette.
• Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer,
la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer
suivant est égale à 
.
• Lorsqu'elle a manqué la cible à un
lancer, la probabilité qu'elle manque la cible au
lancer suivant est égale à 
.
• On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de
chances d'atteindre la cible que de la manquer.
On considère An : "Alice atteint la
cible au n-ième coup" et Bn : "Alice
rate la cible au n-ième coup".
Calculons p(A2).
L'arbre :
Traduction des données : p(A1) =
p(B1) = 
;
p(A2/A1) = 
;
p(B2/B1) = 
;
Grâce à l'événement contraire
et la formule : p(A∩B) = p(B)
× p(A/B) , on complète l'arbre.
p(A2∩A1) = p(A1) × p(A2/A1)
;p(A2∩B1) = p(B1) × p(A2/B1)
;A2 est la réunion des événements incompatibles A2∩A1 et A2∩B1
donc p(A2) = p(A2∩A1) et p(A2∩B1)
.La probabilité qu'Alice réussisse au 2e lancer est :
.Un arbre pour bien comprendre :
On connaît p(A2) =  et p(A2∩A1) =  ;et l'on cherche p(A1/A2). "Retournons l'arbre" comme ci-contre : On cherche le nombre p(A1/A2) ; on a :  × p(A1/A2) =  ;
|
|
.Sachant qu'Alice a réussi le 2e lancer, la probabilité qu'elle ait réussi le 1er lancer est :
.Ce nouvel arbre n'est qu'une illustration de la formule :
ou 
.A retenir :
• Avec la formule :
,
nous avons calculé p(A∩B) connaissant p(B) et
p(A/B).• Avec la formule :
,
nous avons calculé p(B/A) connaissant p(A∩B) et
p(A).Attention :
Certains événements sont indépendants a priori ; par exemple lorsque l'on tire 2 cartes avec remise d'un paquet de 32 cartes, si l'on considère les événements "la 1ère carte tirée est un as" et "la 2ème carte tirée est un cœur", ces deux événements sont indépendants a priori puisque la 1ère carte a été remise dans le jeu.
Dans d'autres cas, il faudra faire les calculs pour savoir si les événements sont indépendants.
Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches.
On en tire 3 successivement avec remise et l'on considère les événements A : "A on obtient des boules des 2 couleurs" et B: "on obtient au plus une blanche".
On démontre que A et B sont indépendants.
En effet, pour calculer p(A), calculons p(
) (la probabilité de
l'événement contraire) : est l'événement
"les boules tirées au sort sont soit toutes noires,
soit toutes blanches".p(
) 
Donc p(A)
.B s'écrit "on obtient 0 boule blanche ou 1 seule boule blanche".
p(B)
.A∩B s'écrit "on obtient 1 seule blanche".
p(A∩B)
.p(A∩B) =
et p(A)×p(B)
.Donc p(A∩B) = p(A) × p(B) , ce qu'il fallait démontrer.
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