Probabilités conditionnelles

Soit p une probabilité définie sur un ensemble Ω.
Soit B un événement de probabilité non nulle et A un événement quelconque.
On en déduit que : p(A∩B) = p(B) × p(A/B) ;
c'est la formule qui permet de calculer p(A?B) si l'on connait p(B) et p(A/B).

Exemple : Une boîte contient 10 jetons rouges et 5 jetons verts. On tire successivement, et sans remise, 2 jetons de cette boîte.
La probabilité que les deux jetons tirés soient rouges est .
Le raisonnement est le suivant :
Si A est l'événement "le 2^e jeton tiré est rouge" et B l'événement "le 1^er jeton est rouge", on cherche p(A∩B).
Or, p(B) et p(A/B) car B étant réalisé, il reste 14 jetons dans la boîte dont 9 rouges.
On obtient donc : p(A∩B).

Enoncé :
Alice effectue des lancers successifs d'une fléchette.
• Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à .
• Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu'elle manque la cible au lancer suivant est égale à .
• On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.
On considère A_n : "Alice atteint la cible au n-ième coup" et B_n : "Alice rate la cible au n-ième coup".
Calculons p(A₂).

L'arbre :
Traduction des données : p(A₁) = p(B₁) = ; p(A₂/A₁) = ; p(B₂/B₁) = ;

Grâce à l'événement contraire et la formule : p(A∩B) = p(B) × p(A/B) , on complète l'arbre.

On en déduit que :
p(A₂∩A₁) = p(A₁) × p(A₂/A₁)  ;
p(A₂∩B₁) = p(B₁) × p(A₂/B₁) ;

A2 est la réunion des événements incompatibles A₂∩A₁ et A₂∩B₁
donc p(A2) = p(A₂∩A₁) et p(A₂∩B₁) .
La probabilité qu'Alice réussisse au 2^e lancer est : .

Reprenons l'énoncé précédent : Alice atteint la cible au 2e lancer ; cherchons quelle est la probabilité qu'elle ait atteint la cible au 1er lancer.

Un arbre pour bien comprendre :

On connaît p(A2) = et p(A2∩A1) = ; et l'on cherche p(A1/A2). "Retournons l'arbre" comme ci-contre :   On cherche le nombre p(A1/A2) ; on a : × p(A1/A2) = ;

donc p(A1/A2) .

Sachant qu'Alice a réussi le 2e lancer, la probabilité qu'elle ait réussi le 1er lancer est : .

Ce nouvel arbre n'est qu'une illustration de la formule :
  ou  .

A retenir :
• Avec la formule : , nous avons calculé p(A∩B) connaissant p(B) et p(A/B).
• Avec la formule : , nous avons calculé p(B/A) connaissant p(A∩B) et p(A).

Attention :
Certains événements sont indépendants a priori ; par exemple lorsque l'on tire 2 cartes avec remise d'un paquet de 32 cartes, si l'on considère les événements "la 1ère carte tirée est un as" et "la 2ème carte tirée est un cœur", ces deux événements sont indépendants a priori puisque la 1ère carte a été remise dans le jeu.
Dans d'autres cas, il faudra faire les calculs pour savoir si les événements sont indépendants.
Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches.
On en tire 3 successivement avec remise et l'on considère les événements A : "A on obtient des boules des 2 couleurs" et B: "on obtient au plus une blanche".
On démontre que A et B sont indépendants.

En effet, pour calculer p(A), calculons p() (la probabilité de l'événement contraire) :
est l'événement "les boules tirées au sort sont soit toutes noires, soit toutes blanches".
p()
Donc p(A).

B s'écrit "on obtient 0 boule blanche ou 1 seule boule blanche".
p(B) .

A∩B s'écrit "on obtient 1 seule blanche".
p(A∩B) .

p(A∩B) =   et p(A)×p(B).

Donc p(A∩B) = p(A) × p(B) , ce qu'il fallait démontrer.