Limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini - Maxicours

Limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini

Objectifs :
Prolongement du travail réalisé sur les suites.
Appropriation du concept de limite.
Acquisition des techniques de base.
1. Limite finie d'une fonction aux infinis
a. Limite en plus l'infini
Définition
Soit f une fonction et L un réel.
« f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite L en +∞ » signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On notera : .

Traduction graphique :


Exemple :
  f est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = .
Démontrons que .

Soit ]a ; b[ un intervalle contenant 0. Il est certain que a < 0 et que quel que soit x, f(x) > 0 ; donc quel que soit x, f(x) > a.

< b et x > 0 ⇔ x2 >   et x > 0 ⇔ x > et x > 0.

On en déduit que si x est assez grand (dès que x > )  alors f(x) < b.
Donc, si x est assez grand, f(x) ∈ ]a ; b[, ce qu'il fallait démontrer.
b. Limite en moins l'infini
Soit f une fonction et L un réel.
« f(x) tend vers L lorsque x tend vers -∞ » ou « f a pour limite L en -∞ » signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x négatif et assez grand en valeur absolue. On notera :.

Exemple : f est la fonction définie sur ] -∞ ; 0[ par f(x) =

Démontrons que .

Soit ]a ; b[ un intervalle contenant 0. Il est certain que a < 0 et que quel que soit x, f(x) > 0 donc quel que soit x, f(x) > a.

< b et x < 0 ⇔x2 > et x < 0 ⇔ x < et x < 0.

On en déduit que si x est assez grand en valeur absolue et négatif (dès que x < ) alors f(x)  < b donc si x est assez grand en valeur absolue et négatif, f(x) ∈ ]a ; b[, ce qu'il fallait démontrer.

2. Limite infinie aux infinis
a. En plus l'infini
« f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite +∞ en +∞ » signifie que tout intervalle ]A ; +∞[, avec A > 0, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.   ou    

Traduction graphique :
 
« f(x) tend vers -∞ lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite -∞ en +∞ » signifie que tout intervalle ]-∞ ; -B[, avec B > 0, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.    ou   .

Exemple : f est la fonction définie sur ]-∞ ; +∞[ par f(x) = x3.
Démontrons que .

Soit A > 0 ; f est croissante sur donc si x > , alors f(x) > A.
On en déduit que si x est assez grand (dès que x > ), alors f(x) ∈ ]A ; +∞[, ce qu'il fallait démontrer.
b. En moins l'infini
Les définitions sont analogues en remplaçant l'expression « pour x assez grand » par « pour x négatif et assez grand en valeur absolue ».

Exemple : f est la fonction définie sur ]-∞ ; +∞[ par f(x) = x3.

Démontrons que .

Il faut démontrer que tout intervalle ]-∞ ; -B[, avec B > 0, contient toutes les valeurs de f(x) pour x négatif et assez grand en valeur absolue.

Soit B > 0 ; f est croissante sur donc si x < , alors f(x) < -B.
On en déduit que si x est négatif et assez grand en valeur absolue (dès que x > )  alors f(x) ∈ ]-∞ ; -B[, ce qu'il fallait démontrer.
L'essentiel
• On appelle « limite d'une fonction » la valeur que semble prendre cette fonction pour un réel, un intervalle, ou un signe à l'infini donnés ; cette valeur peut être un réel ou tendre vers +∞ ou -∞.

• Certaines fonctions communes, dites fonctions de référence, ont des limites connues :



 
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