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Fonction ln(u)

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Objectif(s)
Définition - Propriétés - Variations de la fonction ln(u)
1. Dérivée de ln(u)
Soit u une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I.
Alors : .

Exemple 1
Soit la fonction f définie sur par f(x) = ln(x2 + 3) = ln(u).
Alors : .

Exemple 2
La fonction est définie pour 2x + 1 > 0 ou x > .
Alors, sur ]; +∞[ : .
2. Primitive de u' / u
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si u(x) > 0 sur I, alors une primitive de est ln(u).
• Si u(x) < 0 sur I, alors une primitive de est ln(-u).

Exemple 1
La fonction est définie sur ]0 ; +∞[ et x2 + 3 > 0 sur ]0 ; +∞[.
Elle est de la forme avec u = x2 + 3 ; u' = 2x et u > 0.
Alors, une primitive F de f est définie par F(x) = ln(u) = ln(x2 + 3).

Exemple 2
La fonction est définie sur ]-∞ ; 1,5[ et 2x - 3 < 0 sur ]-∞ ; 1,5[.
Elle est de la forme avec u = 2x - 3 ; u' = 2 et u < 0.
Alors, une primitive F de f est définie par F(x) = ln(-u) = ln(-(2x - 3)) = ln(-2x + 3).
3. Variations de la fonction ln(u)
Soit u une fonction strictement positive sur un intervalle I.
Puisque la fonction ln est croissante sur ]0 ; +∞[, les fonctions u et ln(u) ont le même sens de variation.

Exemple
Soit la fonction u définie sur [-4 ; 4] par u(x) = 0,5x2 + 0,5.

Son tableau de variation est représenté ci-dessous:


Sa courbe représentative est celle ci-dessous :


Puisque u > 0 sur [-4 ; 4], ln(u) est bien définie et u et ln(u) ont le même sens de variation :

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