Objectif(s)

Définition - Propriétés - Variations de la fonction ln(u)

1. Dérivée de ln(u)

Soit u une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I.
Alors :

Exemple 1
Soit la fonction f définie sur

par f(x) = ln(x² + 3) = ln(u).
Alors :

.

Exemple 2
La fonction

est définie pour 2x + 1 > 0 ou x >

.
Alors, sur ]

; +∞[ :

2. Primitive de u' / u

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si u(x) > 0 sur I, alors une primitive de

est ln(u).
• Si u(x) < 0 sur I, alors une primitive de

est ln(-u).

Exemple 1
La fonction

est définie sur ]0 ; +∞[ et x² + 3 > 0 sur ]0 ; +∞[.
Elle est de la forme

avec u = x² + 3 ; u' = 2x et u > 0.
Alors, une primitive F de f est définie par F(x) = ln(u) = ln(x² + 3).

Exemple 2
La fonction

est définie sur ]-∞ ; 1,5[ et 2x - 3 < 0 sur ]-∞ ; 1,5[.
Elle est de la forme

avec u = 2x - 3 ; u' = 2 et u < 0.
Alors, une primitive F de f est définie par F(x) = ln(-u) = ln(-(2x - 3)) = ln(-2x + 3).

3. Variations de la fonction ln(u)

Soit u une fonction strictement positive sur un intervalle I.
Puisque la fonction ln est croissante sur ]0 ; +∞[, les fonctions u et ln(u) ont le même sens de variation.

Exemple
Soit la fonction u définie sur [-4 ; 4] par u(x) = 0,5x² + 0,5.

Son tableau de variation est représenté ci-dessous:

Sa courbe représentative est celle ci-dessous :

Puisque u > 0 sur [-4 ; 4], ln(u) est bien définie et u et ln(u) ont le même sens de variation :

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Fonction ln(u)

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