Fonction ln(u)
Objectif(s)
Définition - Propriétés - Variations de
la fonction ln(u)
1. Dérivée de ln(u)
Soit u une fonction strictement positive et
dérivable sur un intervalle I.
Alors :
.
Alors :
.
Exemple 1
Soit la fonction f définie sur
par f(x) = ln(x2 + 3) =
ln(u).Alors :
.Exemple 2
La fonction
est définie pour 2x + 1
> 0 ou x > 
.Alors, sur ]
; +∞[ : 
.
2. Primitive de u' / u
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle
I.
• Si u(x) > 0 sur I, alors une primitive de
est ln(u).
• Si u(x) < 0 sur I, alors une primitive deest ln(-u).
• Si u(x) > 0 sur I, alors une primitive de
est ln(u).• Si u(x) < 0 sur I, alors une primitive de
est ln(-u).
Exemple 1
La fonction
est
définie sur ]0 ; +∞[ et x2 + 3 >
0 sur ]0 ; +∞[.Elle est de la forme
avec u = x2 + 3 ; u' = 2x et u
> 0.Alors, une primitive F de f est définie par F(x) = ln(u) = ln(x2 + 3).
Exemple 2
La fonction
est
définie sur ]-∞ ; 1,5[ et 2x - 3 < 0
sur ]-∞ ; 1,5[.Elle est de la forme
avec u = 2x - 3 ; u' = 2 et u < 0.Alors, une primitive F de f est définie par F(x) = ln(-u) = ln(-(2x - 3)) = ln(-2x + 3).
3. Variations de la fonction ln(u)
Soit u une fonction strictement positive sur un
intervalle I.
Puisque la fonction ln est croissante sur ]0 ; +∞[, les fonctions u et ln(u) ont le même sens de variation.
Puisque la fonction ln est croissante sur ]0 ; +∞[, les fonctions u et ln(u) ont le même sens de variation.
Exemple
Soit la fonction u définie sur [-4 ; 4] par u(x) = 0,5x2 + 0,5.
Son tableau de variation est représenté ci-dessous:
Sa courbe représentative est celle ci-dessous :
Puisque u > 0 sur [-4 ; 4], ln(u) est bien définie et u et ln(u) ont le même sens de variation :
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