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Théorème des valeurs intermédiaires

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Objectif(s)
Théorème - Résolution graphique et encadrement de xB
1. Théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones
Si la fonction f est continue et strictement monotone (croissante ou bien décroissante) sur [a ; b] et si le réel m est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = m a une seule solution dans [a ; b].


Exemple
Soit la fonction f : , définie et continue sur [-2 ; 4].
f( -2) = -8,6 et f(4) = 11,8.
On en déduit, d'après le théorème précédent, que pour tout réel m compris entre -8,6 et 11,8, l'équation f(x) = m a une seule solution xB dans [-2 ; 4].

Soit m = 5.
L'équation s'écrit f(x) = 5.
D'après le théorème précédent, cette équation a une seule solution xB.
On peut résumer ce qui précède dans un tableau de variation :

2. Résolution graphique et encadrement de x
L'équation f(x) = 5 a une seule solution lorsque la courbe représentative de la fonction f coupe une seule fois la droite horizontale d'équation y = 5 sur l'intervalle considéré.


C'est le cas de la fonction f représentée ci-dessous :



Pour encadrer xB, on effectue un zoom au voisinage de B :

On constate que 3 < xB < 4.

Vérification à l'aide d'un tableau de valeurs :

x 3 xB 4
f(x) 3,4 5 11,8

La fonction f est continue et croissante sur [3 ; 4] ; f(3) < 5 et f(4) > 5.
Donc f(x) prend une seule fois la valeur 5 pour xB compris entre 3 et 4.

Voici un autre zoom pour préciser l'encadrement de xB :

On constate que 3,2 < xB < 3,3.

Vérification à l'aide d'un tableau de valeurs :

x 3,2 xB 3,3
f(x) 4,75 5 5,49

La fonction f est continue et croissante sur [3,2 ; 3,3] ; f(3,2) < 5 et f(3,3) > 5.

Donc f(x) prend une seule fois la valeur 5 pour xB compris entre 3,2 et 3,3.

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