Théorème des valeurs intermédiaires
Exemple
Soit la fonction f : 
, définie et
continue sur [-2 ; 4].
f( -2) = -8,6 et f(4) = 11,8.
On en déduit, d'après le
théorème précédent, que pour
tout réel m compris entre -8,6 et 11,8,
l'équation f(x) = m a une seule solution
xB dans [-2 ; 4].
Soit m = 5.
L'équation s'écrit f(x) = 5.
D'après le théorème
précédent, cette équation a une
seule solution xB.
On peut résumer ce qui précède dans
un tableau de variation :
C'est le cas de la fonction f représentée
ci-dessous :
Pour encadrer xB, on effectue un zoom au
voisinage de B :
On constate que 3 < xB < 4.
Vérification à l'aide d'un tableau de
valeurs :
| x | 3 | xB | 4 |
| f(x) | 3,4 | 5 | 11,8 |
La fonction f est continue et croissante sur [3 ; 4] ; f(3) < 5 et f(4) > 5.
Donc f(x) prend une seule fois la valeur 5 pour xB compris entre 3 et 4.
Voici un autre zoom pour préciser l'encadrement de
xB :
On constate que 3,2 < xB < 3,3.
Vérification à l'aide d'un tableau de
valeurs :
| x | 3,2 | xB | 3,3 |
| f(x) | 4,75 | 5 | 5,49 |
La fonction f est continue et croissante sur [3,2 ; 3,3]
; f(3,2) < 5 et f(3,3) > 5.
Donc f(x) prend une seule fois la valeur 5 pour
xB compris entre 3,2 et 3,3.
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