Théorème des valeurs intermédiaires

Exemple
Soit la fonction f : , définie et continue sur [-2 ; 4].
f( -2) = -8,6 et f(4) = 11,8.
On en déduit, d'après le théorème précédent, que pour tout réel m compris entre -8,6 et 11,8, l'équation f(x) = m a une seule solution x_B dans [-2 ; 4].

Soit m = 5.
L'équation s'écrit f(x) = 5.
D'après le théorème précédent, cette équation a une seule solution x_B.
On peut résumer ce qui précède dans un tableau de variation :

C'est le cas de la fonction f représentée ci-dessous :



Pour encadrer x_B, on effectue un zoom au voisinage de B :

On constate que 3 < x_B < 4.

Vérification à l'aide d'un tableau de valeurs :

Voici un autre zoom pour préciser l'encadrement de x_B :

On constate que 3,2 < x_B < 3,3.

Vérification à l'aide d'un tableau de valeurs :

La fonction f est continue et croissante sur [3,2 ; 3,3] ; f(3,2) < 5 et f(3,3) > 5.

Donc f(x) prend une seule fois la valeur 5 pour x_B compris entre 3,2 et 3,3.