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Fonction exponentielle exp(u)

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Objectifs
• Équations - inéquations
• Dérivation
• Primitives
• Fonctions  et 
1. Équations et inéquations
a. Équations
Propriété
Soit  et  deux fonctions. Pour tout réel  :
 équivaut à .
Exemple :
Résoudre dans ℝ l'équation .


donc .
b. Inéquations
Propriété
Soit  et  deux fonctions. Pour tout réel  :
 équivaut à .
Remarque :
Ce théorème est valable car la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Exemple :
Résoudre dans ℝ l'inéquation .


donc . 

2. Dérivée et primitives
a. Dérivée de exp(u)
Théorème
Soit  une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors pour tout réel :

Exemple 1 :
Soit la fonction  définie sur ℝ par . 

La fonction  est dérivable sur ℝ car elle est composée de fonctions dérivables sur ℝ.  
On pose , telle que . 
En dérivant la fonction , on obtient .
Alors : .

Exemple 2 :
Soit la fonction  définie sur ℝ par . 

La fonction  est dérivable sur ℝ car elle est composée de fonctions dérivables sur ℝ.  
On pose , telle que . 
En dérivant la fonction , on obtient .
Alors : .
b. Primitives de u'exp(u)
Théorème
Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors, pour tout réel ,  admet des primitives définies sur ℝ par   , avec c une constante réelle, telle que : 
Exemple 1 :
La fonction est définie sur ℝ.

La fonction est définie et dérivable sur ℝ.
On pose , d'où .
Pour obtenir  de la forme , on peut écrire : .
Alors, une primitive  de  est définie par .

Exemple 2 :
La fonction est définie sur ℝ.

La fonction est définie et dérivable sur ℝ car elle est composée de deux fonctions définies et dérivables sur ℝ. 
On pose , d'où . 
Pour obtenir  de la forme , on peut écrire : .
Alors, une primitive  de  est définie par .

3. Fonctions de la forme exp(u) particulières
a. Cas où u(x)=-kx
Théorème
Soit  un nombre réel strictement positif.
Les fonctions définies sur ℝ par :

 sont strictement décroissantes.
Les fonctions ont pour dérivées 
Or pour tout  réel, . 
De plus, comme  est un réel strictement positif, on a  d'où .
On peut donc conclure que, pour tout  réel, .
Les fonctions  sont donc strictement décroissantes. 


Voici le tableau de variation de la fonction  :



 
Voici la représentation graphique de plusieurs fonctions de la forme   :

b. Cas où u(x)=-kx²
Théorème
Soit  un nombre réel strictement positif.
Les fonctions définies sur ℝ par :

sont croissantes sur ]- ∞ ; 0] et décroissantes sur [0 ; + ∞[.
Les fonctions ont pour dérivées .
Or pour tout  réel,  
De plus, comme  est un réel strictement positif, on a  d'où .
• Pour tout  appartenant à l'intervalle ,  donc .
On a , donc les fonctions sont croissantes sur .
• Pour tout  appartenant à l'intervalle ,  donc .
On a , donc les fonctions  sont décroissantes sur .


Voici le tableau de variation de la fonction  :



 
Voici la représentation graphique de plusieurs fonctions de la forme   :  
 

L'essentiel
• Soit  et  deux fonctions. Pour tout réel  :

►  équivaut à .
►  équivaut à .

• Soit  une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors pour tout réel : .
 
• Soit  un nombre réel strictement positif. Les fonctions définies sur ℝ par :

►  sont strictement décroissantes.
► sont croissantes sur l'intervalle ]- ∞ ; 0] et décroissantes sur [0 ; + ∞[.

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