Fonction exponentielle exp(u)
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Objectifs
• Équations - inéquations
• Dérivation
• Primitives
• Fonctions
et 
• Dérivation
• Primitives
• Fonctions
et
1. Équations et inéquations
a. Équations
Propriété
Soit
et 
deux fonctions. Pour tout
réel 
:
équivaut
à 
.
Soit
et deux fonctions. Pour tout
réel : équivaut
à .
Exemple :
Résoudre dans ℝ l'équation
.
donc
.
Résoudre dans ℝ l'équation
.donc
.
b. Inéquations
Propriété
Soit
et 
deux fonctions. Pour tout
réel 
:
équivaut
à 
.
Soit
et deux fonctions. Pour tout
réel : équivaut
à .
Remarque :
Ce théorème est valable car la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Ce théorème est valable car la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Exemple :
Résoudre dans ℝ l'inéquation
.
donc
.
Résoudre dans ℝ l'inéquation
.donc
.
2. Dérivée et primitives
a. Dérivée de exp(u)
Théorème
Soit
une fonction dérivable sur un
intervalle I. Alors pour tout
réel 
:
Soit
une fonction dérivable sur un
intervalle I. Alors pour tout
réel :
Exemple 1 :
Soit la fonction
définie
sur ℝ par 
.
La fonction
est dérivable
sur ℝ car elle est composée
de fonctions dérivables sur ℝ.
On pose
, telle que 
.
En dérivant la fonction
, on obtient 
.
Alors :
.
Soit la fonction
définie
sur ℝ par . La fonction
est dérivable
sur ℝ car elle est composée
de fonctions dérivables sur ℝ.
On pose
, telle que . En dérivant la fonction
, on obtient .Alors :
.
Exemple 2 :
Soit la fonction définie
sur ℝ par 
.
La fonction est dérivable
sur ℝ car elle est composée
de fonctions dérivables sur ℝ.
On pose
, telle que 
.
En dérivant la fonction, on obtient 
.
Alors :
.
Soit la fonction
définie
sur ℝ par . La fonction
est dérivable
sur ℝ car elle est composée
de fonctions dérivables sur ℝ.
On pose
, telle que . En dérivant la fonction
, on obtient .Alors :
.
b. Primitives de u'exp(u)
Théorème
Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors, pour tout réel
, 
admet des primitives
définies sur ℝ
par 
, avec c une constante
réelle, telle que :
Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors, pour tout réel
, admet des primitives
définies sur ℝ
par , avec c une constante
réelle, telle que :
Exemple 1 :
La fonction
est définie
sur ℝ.
La fonction est définie et dérivable sur ℝ.
On pose
,
d'où 
.
Pour obtenir
de la
forme 
, on peut écrire
: 
.
Alors, une primitive
de 
est définie
par 
.
La fonction
est définie
sur ℝ.La fonction est définie et dérivable sur ℝ.
On pose
,
d'où .Pour obtenir
de la
forme , on peut écrire
: .Alors, une primitive
de est définie
par .
Exemple 2 :
La fonction
est définie
sur ℝ.
La fonction est définie et dérivable sur ℝ car elle est composée de deux fonctions définies et dérivables sur ℝ.
On pose
,
d'où 
.
Pour obtenir
de la
forme 
, on peut
écrire : 
.
Alors, une primitive
de 
est définie
par 
.
La fonction
est définie
sur ℝ.La fonction est définie et dérivable sur ℝ car elle est composée de deux fonctions définies et dérivables sur ℝ.
On pose
,
d'où . Pour obtenir
de la
forme , on peut
écrire : .Alors, une primitive
de est définie
par .
3. Fonctions de la forme exp(u) particulières
a. Cas où u(x)=-kx
Théorème
Soit
un nombre réel
strictement positif.
Les fonctions
définies
sur ℝ par :
sont strictement
décroissantes.
Les fonctions Soit
un nombre réel
strictement positif.Les fonctions
définies
sur ℝ par : sont strictement
décroissantes.
ont pour
dérivées 
Or pour tout
réel, 
. De plus, comme
est un
réel strictement positif, on a 
d'où 
.On peut donc conclure que, pour tout
réel, 
.Les fonctions
sont donc
strictement décroissantes. Voici le tableau de variation de la fonction
:
:
b. Cas où u(x)=-kx²
Théorème
Soit
un nombre réel
strictement positif.
Les fonctions
définies
sur ℝ par :
sont croissantes sur
]- ∞ ; 0] et décroissantes sur
[0 ; + ∞[.
Les fonctions Soit
un nombre réel
strictement positif.Les fonctions
définies
sur ℝ par :sont croissantes sur
]- ∞ ; 0] et décroissantes sur
[0 ; + ∞[.
ont pour
dérivées 
.Or pour tout
réel, 
De plus, comme
est un
réel strictement positif, on a 
d'où 
.• Pour tout
appartenant à
l'intervalle 
, 
donc 
.On a
, donc les
fonctions 
sont croissantes
sur 
.• Pour tout
appartenant à
l'intervalle 
, 
donc 
.On a
, donc les
fonctions 
sont décroissantes
sur 
.Voici le tableau de variation de la fonction
:
Voici la représentation graphique de plusieurs
fonctions de la forme 
:
:
L'essentiel
• Soit 
et 
deux fonctions. Pour tout
réel :
► équivaut à
.
► équivaut à
.
• Soit une fonction dérivable
sur un intervalle I. Alors
pour tout réel : .
• Soit un nombre réel
strictement positif. Les fonctions définies
sur ℝ par :
► sont strictement
décroissantes.
► sont croissantes sur l'intervalle
]- ∞ ; 0] et décroissantes sur
[0 ; + ∞[.
et deux fonctions. Pour tout
réel :►
équivaut à
.►
équivaut à
.• Soit
une fonction dérivable
sur un intervalle I. Alors
pour tout réel : .• Soit
un nombre réel
strictement positif. Les fonctions définies
sur ℝ par :►
sont strictement
décroissantes.►
sont croissantes sur l'intervalle
]- ∞ ; 0] et décroissantes sur
[0 ; + ∞[.
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