Objectif(s)

Propriétés - Équations - Inéquations

1. Propriétés

Pour tous réels a et b :

•

;

•

pour tout n entier relatif.

Pour tout réel x : ln(e^x) = x.

Pour tout réel x > 0 : e^ln(x) = x.

e⁰ = 1

Pour tout réel x : e^x > 0.

Exemples

2. Equations

On peut utiliser l'une des deux propriétés suivantes :

• Pour tous réels a et b > 0 : « e^a = b » équivaut à « a = ln(b) ».
• Pour tous réels a et b : « e^a = e^b » équivaut à « a = b ».

Exemple
Résoudre dans

l'équation : e^x-3 = 2.

L'équation s'écrit : e^x-3 = e^ln(2).
x - 3 = ln(2)
x = 3 + ln(2)

S = {3 + ln(2)}.

3. Inéquations

Pour tous réels a et b : « e ^a> e ^b » équivaut à « a > b ».

Exemple
Résoudre dans

l'inéquation : e^3-x > 2.

L'inéquation s'écrit : e^3-^x > e^ln(2).
3 - x > ln(2)
- x > ln(2) -3
x > 3 - ln(2)

S = ]-∞ ; 3 - ln(2)[.

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Propriétés de l'exponentielle

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