La fonction logarithme népérien - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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La fonction logarithme népérien

Objectifs :
- Savoir la définition du logarithme népérien
- Connaître le signe et le sens de variation de cette fonction
- Connaître la continuité et dérivabilité de la fonction ln
- Relation fonctionnelle à maitriser
- Savoir trouver le comportement asymptotique et les variations de la fonction logarithme népérien


1. Définition
Pour tout x > 0, il existe un réel unique y tel que x = ey. La fonction qui à x fait correspondre y s'appelle la fonction logarithme népérien et est notée ln.   et y = ln(x) équivaut à x = ey  et .

Conséquences :

e0 = 1 donc ln(1) = 0  ;  e1 = e donc ln(e) = 1.
• Pour tout x réel, eln(x) = x.
• Pour tout x > 0, ln(ex) = x.
2. Signe et sens de variation de la fonction ln
Signe de la fonction ln

ln x = 0 x = 1.
ln x < 0 0 < x < 1.
ln x > 0 x > 1.

Sens de variation de la fonction ln

La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +[.

On en déduit que :

• Pour tous a et b strictement positifs, a < b ln (a) < ln (b).
• Pour tous a et b strictement positifs, a = b ln (a) = ln (b).

Conséquence

Pour tout réel y, l'équation ln (x) = y  a une solution unique strictement positive.
Ce qui se traduit par « La fonction ln est une bijection de ]0 ; +[  sur  ]- ; +[ ».

Exemples

• Résolution dans de l'équation ln(x - 1) = ln(2x + 3)

ln(x - 1) = ln(2x + 3) x - 1 > 0 et 2x + 3 > 0 et x - 1 = 2x + 3. Donc ln(x - 1) = ln(2x + 3) ⇔ x > 1 et x >    et x = -4.

On en déduit que l'équation n'a pas de solution.

• Résolution dans de l'inéquation ln(x - 1) < ln(2x + 3)

ln(x - 1) = ln(2x + 3) x - 1 > 0 et 2x + 3 > 0 et x - 1 < 2x + 3. Donc ln(x - 1) = ln(2x + 3) ⇔ x > 1 et x >   et x > -4.

On en déduit que l'ensemble-solution est ]1 ; [.
3. Continuité et dérivabilité de la fonction ln
La fonction logarithme népérien est continue sur ]0 ; [.
La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ;  [ et pour tout x > 0, ln'(x) = .
4. Relation fonctionnelle
Théorème
Pour tous réels a et b strictement positifs, ln (a x b) = ln (a) + ln (b).

Exemples

ln 8 = ln(4 x 2) = ln 4 + ln 2.
Si x > 0, ln x + ln 2 = ln 2x.

Conséquences

Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout entier relatif n :
• ln = ln a - ln b ;

• exp(-b) = ;

• si n , ln an = n ln a.

• si n 1,

Exemples

ln(16 x 9) = ln 16 + ln 9 = ln 24 + ln 32 = 4 ln 2 + 2 ln 3.
Si x > 0, ln x2 = 2 ln x.
Si x > 1, ln = ln x - ln(x - 1).
5. Comportement asymptotique
Théorème

Limites de la fonction logarithme népérien :    et 

En , x tend plus vite vers l'infini que lnx donc : .
L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonction logarithme népérien.
6. Tableau de variation et courbe représentative

 

 

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