La fonction logarithme népérien
- Fiche de cours
- Quiz
- Profs en ligne
- Videos
- Application mobile
Objectifs :
- Savoir la définition du logarithme
népérien
- Connaître le signe et le sens de variation de cette fonction
- Connaître la continuité et dérivabilité de la fonction ln
- Relation fonctionnelle à maitriser
- Savoir trouver le comportement asymptotique et les variations de la fonction logarithme népérien
- Connaître le signe et le sens de variation de cette fonction
- Connaître la continuité et dérivabilité de la fonction ln
- Relation fonctionnelle à maitriser
- Savoir trouver le comportement asymptotique et les variations de la fonction logarithme népérien
1. Définition
Pour tout x > 0, il existe un réel unique
y tel que x = ey. La
fonction qui à x fait correspondre y
s'appelle la fonction logarithme
népérien et est notée ln.
et y = ln(x) équivaut
à x = ey et
.
Conséquences :
• e0 = 1 donc ln(1) = 0 ; e1 = e donc ln(e) = 1.
• Pour tout x réel, eln(x) = x.
• Pour tout x > 0, ln(ex) = x.


Conséquences :
• e0 = 1 donc ln(1) = 0 ; e1 = e donc ln(e) = 1.
• Pour tout x réel, eln(x) = x.
• Pour tout x > 0, ln(ex) = x.
2. Signe et sens de variation de la fonction ln
Signe de la fonction ln
• ln x = 0
x = 1.
• ln x < 0
0 < x <
1.
• ln x > 0
x > 1.
• ln x = 0

• ln x < 0

• ln x > 0

Sens de variation de la fonction ln
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +

On en déduit que :
• Pour tous a et b strictement positifs, a < b

• Pour tous a et b strictement positifs, a = b

Conséquence
Pour tout réel y, l'équation ln (x) = y a une solution unique strictement positive.
Ce qui se traduit par « La fonction ln est une bijection de ]0 ; +



Exemples
• Résolution dans

ln(x - 1) = ln(2x + 3)


On en déduit que l'équation n'a pas de solution.
• Résolution dans

ln(x - 1) = ln(2x + 3)


On en déduit que l'ensemble-solution est ]1 ;

3. Continuité et dérivabilité de la
fonction ln
La fonction logarithme népérien est
continue sur ]0 ;
[.

La fonction logarithme népérien est
dérivable sur ]0 ;
[ et
pour tout x > 0, ln'(x) =
.


4. Relation fonctionnelle
Théorème
Pour tous réels a et b strictement positifs, ln (a x b) = ln (a) + ln (b).
Pour tous réels a et b strictement positifs, ln (a x b) = ln (a) + ln (b).
Exemples
ln 8 = ln(4 x 2) = ln 4 + ln 2.
Si x > 0, ln x + ln 2 = ln 2x.
Conséquences
Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout entier relatif n :
• ln
= ln a - ln b ;
• exp(-b) =
;
• si n
,
ln an = n ln a.
• si n
1,
Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout entier relatif n :
• ln

• exp(-b) =

• si n

• si n


Exemples
ln(16 x 9) = ln 16 + ln 9 = ln 24 + ln 32 = 4 ln 2 + 2 ln 3.
Si x > 0, ln x2 = 2 ln x.
Si x > 1, ln

5. Comportement asymptotique
Théorème
Limites de la fonction logarithme népérien :
et 
En
,
x tend plus vite vers l'infini que lnx donc :
.
Limites de la fonction logarithme népérien :


En


L'axe des ordonnées est une asymptote
verticale à la courbe de la fonction logarithme
népérien.
6. Tableau de variation et courbe représentative

Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !