La fonction logarithme népérien
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Objectifs :
- Savoir la définition du logarithme
népérien
- Connaître le signe et le sens de variation de cette fonction
- Connaître la continuité et dérivabilité de la fonction ln
- Relation fonctionnelle à maitriser
- Savoir trouver le comportement asymptotique et les variations de la fonction logarithme népérien
- Connaître le signe et le sens de variation de cette fonction
- Connaître la continuité et dérivabilité de la fonction ln
- Relation fonctionnelle à maitriser
- Savoir trouver le comportement asymptotique et les variations de la fonction logarithme népérien
1. Définition
Pour tout x > 0, il existe un réel unique
y tel que x = ey. La
fonction qui à x fait correspondre y
s'appelle la fonction logarithme
népérien et est notée ln.
et y = ln(x) équivaut
à x = ey et
.
Conséquences :
• e0 = 1 donc ln(1) = 0 ; e1 = e donc ln(e) = 1.
• Pour tout x réel, eln(x) = x.
• Pour tout x > 0, ln(ex) = x.
et y = ln(x) équivaut
à x = ey et
.Conséquences :
• e0 = 1 donc ln(1) = 0 ; e1 = e donc ln(e) = 1.
• Pour tout x réel, eln(x) = x.
• Pour tout x > 0, ln(ex) = x.
2. Signe et sens de variation de la fonction ln
Signe de la fonction ln
• ln x = 0
x = 1.
• ln x < 0
0 < x <
1.
• ln x > 0
x > 1.
• ln x = 0
x = 1.• ln x < 0
0 < x <
1.• ln x > 0
x > 1.
Sens de variation de la fonction ln
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +
[.On en déduit que :
• Pour tous a et b strictement positifs, a < b
ln (a) < ln
(b).• Pour tous a et b strictement positifs, a = b
ln (a) = ln
(b).Conséquence
Pour tout réel y, l'équation ln (x) = y a une solution unique strictement positive.
Ce qui se traduit par « La fonction ln est une bijection de ]0 ; +
[ sur ]-
; +
[
».
Exemples
• Résolution dans
de
l'équation ln(x - 1) = ln(2x +
3)ln(x - 1) = ln(2x + 3)
x - 1 > 0 et 2x +
3 > 0 et x - 1 = 2x + 3. Donc ln(x
- 1) = ln(2x + 3) ⇔ x > 1 et
x > 
et x = -4.On en déduit que l'équation n'a pas de solution.
• Résolution dans
de
l'inéquation ln(x - 1) < ln(2x +
3)ln(x - 1) = ln(2x + 3)
x - 1 > 0 et 2x +
3 > 0 et x - 1 < 2x + 3. Donc
ln(x - 1) = ln(2x + 3) ⇔ x >
1 et x > 
et x > -4.On en déduit que l'ensemble-solution est ]1 ;
[.
3. Continuité et dérivabilité de la
fonction ln
La fonction logarithme népérien est
continue sur ]0 ; 
[.
[.
La fonction logarithme népérien est
dérivable sur ]0 ; [ et
pour tout x > 0, ln'(x) = 
.
[ et
pour tout x > 0, ln'(x) = .
4. Relation fonctionnelle
Théorème
Pour tous réels a et b strictement positifs, ln (a x b) = ln (a) + ln (b).
Pour tous réels a et b strictement positifs, ln (a x b) = ln (a) + ln (b).
Exemples
ln 8 = ln(4 x 2) = ln 4 + ln 2.
Si x > 0, ln x + ln 2 = ln 2x.
Conséquences
Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout entier relatif n :
• ln
= ln a - ln b ;
• exp(-b) =
;
• si n
,
ln an = n ln a.
• si n
1, 
Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout entier relatif n :
• ln
= ln a - ln b ;• exp(-b) =
;• si n
,
ln an = n ln a.• si n
1,
Exemples
ln(16 x 9) = ln 16 + ln 9 = ln 24 + ln 32 = 4 ln 2 + 2 ln 3.
Si x > 0, ln x2 = 2 ln x.
Si x > 1, ln
= ln
x - ln(x - 1).
5. Comportement asymptotique
Théorème
Limites de la fonction logarithme népérien :
et 
En
,
x tend plus vite vers l'infini que lnx donc : 
.
Limites de la fonction logarithme népérien :
et En
,
x tend plus vite vers l'infini que lnx donc : .
L'axe des ordonnées est une asymptote
verticale à la courbe de la fonction logarithme
népérien.
6. Tableau de variation et courbe représentative
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