Forme exponentielle
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Objectif :
La fonction
La forme exponentielle d'une fonction
Règles de calcul en écriture exponentielle
La forme exponentielle d'une fonction
Règles de calcul en écriture exponentielle
1. La fonction cosθ + i.sinθ
Soit la fonction définie sur et à valeurs dans
, .
On sait que pour tous z et z' non nuls de , |zz'| = |z| |z'| et arg (zz') = arg (z) + arg (z') [2].
Donc, pour tout et réels:
.
La relation fonctionnelle caractéristique de la
fonction exponentielle : .
Par analogie, on écrit :
2. Forme exponentielle
Nombres complexes de module
1
D'après le paragraphe précédent , tout nombre complexe de module 1 et d'argument θ, se note eiθ.
D'après le paragraphe précédent , tout nombre complexe de module 1 et d'argument θ, se note eiθ.
Exemples :
θ | 0 | ||||
eiθ | 1 | (1 + i) | i | -1 |
Forme générale
Un nombre complexe non nul z de module r et d'argument θ, s'écrit :
z = r (cos θ + isin θ) et donc s'écrit aussi z = reiθ.
Exemple : Si z = 1 + i, alors |z| = ,
donc .
Le module de z est et un argument de z est ,
donc la forme exponentielle de z est .
3. Règles de calcul en écriture exponentielle
Les règles de calcul déjà
étudiées s'écrivent:
; ; ; .
Remarque : s'appelle la formule de Moivre.
Exemple :
et ;
et ;
;
.
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