Forme exponentielle - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Forme exponentielle

Objectif :
La fonction
La forme exponentielle d'une fonction
Règles de calcul en écriture exponentielle
1. La fonction cosθ + i.sinθ
Soit la fonction définie sur et à valeurs dans , .

On sait que pour tous z et z' non nuls de , |zz'| = |z| |z'|  et arg (zz') = arg (z) + arg (z') [2].
Donc, pour tout et réels:
.

La relation fonctionnelle caractéristique de la fonction exponentielle : .
Par analogie, on écrit :
2. Forme exponentielle
Nombres complexes de module 1
D'après le paragraphe précédent , tout nombre complexe de module 1 et d'argument θ, se note e.

Exemples :
θ 0
eiθ 1 (1 + i) i -1

Forme générale

Un nombre complexe non nul z de module r et d'argument θ, s'écrit :
z = r (cos θ + isin θ)  et donc s'écrit aussi z = re.

Exemple : Si z = 1 + i, alors |z| = ,

donc .

Le module de z est et un argument de z est ,

donc la forme exponentielle de z est .


3. Règles de calcul en écriture exponentielle
Les règles de calcul déjà étudiées s'écrivent:
  ;      ;      ;   .

Remarque :   s'appelle la formule de Moivre.

Exemple :

   et   ;

   et   ;

;

.

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