Forme exponentielle
Objectif :
La fonction 
La forme exponentielle d'une fonction
Règles de calcul en écriture exponentielle
La forme exponentielle d'une fonction
Règles de calcul en écriture exponentielle
1. La fonction cosθ + i.sinθ
Soit la fonction définie sur 
et à valeurs dans
, 
.
et à valeurs dans
, .
On sait que pour tous z et z' non nuls de
, |zz'| = |z| |z'| et arg
(zz') = arg (z) + arg (z')
[2
].Donc, pour tout
et 
réels:
.
La relation fonctionnelle caractéristique de la
fonction exponentielle : 
.
.
Par analogie, on écrit : 
2. Forme exponentielle
Nombres complexes de module
1
D'après le paragraphe précédent , tout nombre complexe de module 1 et d'argument θ, se note eiθ.
D'après le paragraphe précédent , tout nombre complexe de module 1 et d'argument θ, se note eiθ.
Exemples :
| θ | 0 |
|
|
|
|
| eiθ | 1 |
 (1 + i)
|
i | -1 |
|
Forme générale
Un nombre complexe non nul z de module r et d'argument θ, s'écrit :
z = r (cos θ + isin θ) et donc s'écrit aussi z = reiθ.
Exemple : Si z = 1 + i, alors |z| =
,donc
.Le module de z est
et un argument de z est 
,donc la forme exponentielle de z est
.
3. Règles de calcul en écriture exponentielle
Les règles de calcul déjà
étudiées s'écrivent:
; 
; 
; 
.
Remarque :
s'appelle la formule de Moivre.
Exemple :
et 
;
et 
;
;
.
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