Propriétés du logarithme népérien
Objectifs
• Propriétés
• Équations - Inéquations
• Équations - Inéquations
1. Propriétés algébriques
Propriétés
• Pour tous réels
et
et
un nombre entier relatif :
►
.
►
.
►
.
►
.
►
.
• Pour tout réel
:
.
• Pour tout réel
:
.
•
.
•
.
• Pour tous réels



►

►

►

►

►

• Pour tout réel


• Pour tout réel


•

•

Exemples :
•
•
•

•

2. Équations
Théorème
Pour tous réels
et
:
équivaut à
«
».
Pour tous réels




Exemple :
Résoudre dans
l'équation
.



Donc
.
Résoudre dans





Donc

3. Inéquations
Théorème
Pour tous réels
et
:
équivaut à
«
».
Pour tous réels




Remarque :
Ce théorème est valable car la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l'intervalle
.
Ce théorème est valable car la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l'intervalle

Exemple :
Résoudre dans
l'équation
.



Donc
.
Résoudre dans





Donc

L'essentiel
• Pour tous réels
et
et
un nombre entier relatif :
►
.
►
.
►
.
►
.
►
.
• Pour tout réel
:
.
• Pour tout réel
:
.
•
.
•
.
• Pour tous réels
et
:
►
équivaut à
«
».
►
équivaut à
«
».



►

►

►

►

►

• Pour tout réel


• Pour tout réel


•

•

• Pour tous réels


►


►


Pour aller plus loin
On peut également résoudre des équations
ou inéquations plus complexes à l'aide de
théorèmes similaires.
Théorème
Pour toutes fonctions
et
strictement positives :
équivaut à
«
».
Pour toutes fonctions




Exemple :
Résoudre dans
l'équation
.
• Tout d'abord,
existe si
,
c'est-à-dire si
ou
.
• L'inéquation s'écrit alors :



Puisque
,
on obtient
.
Résoudre dans


• Tout d'abord,




• L'inéquation s'écrit alors :



Puisque


Théorème
Pour toutes fonctions u et v strictement positives :
équivaut à
«
».
Pour toutes fonctions u et v strictement positives :


Exemple :
Résoudre dans
l'inéquation
.
• Tout d'abord,
existe si
,
c'est-à-dire si
ou
:

• L'inéquation s'écrit alors :




Puisque
,
on a le schéma suivant :

Résoudre dans


• Tout d'abord,





• L'inéquation s'écrit alors :




Puisque




Fiches de cours les plus recherchées


Des profs en ligne
- 6 j/7 de 17 h à 20 h
- Par chat, audio, vidéo
- Sur les matières principales

Des ressources riches
- Fiches, vidéos de cours
- Exercices & corrigés
- Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques
- Coach virtuel
- Quiz interactifs
- Planning de révision

Des tableaux de bord
- Suivi de la progression
- Score d’assiduité
- Un compte Parent