Propriétés du logarithme népérien
Objectifs
• Propriétés
• Équations - Inéquations
• Équations - Inéquations
1. Propriétés algébriques
Propriétés
• Pour tous réels
et 
et 
un nombre entier relatif :
►
.
►
.
►
.
►
.
►
.
• Pour tout réel
: 
.
• Pour tout réel
: 
.
•
.
•
.
• Pour tous réels
et et un nombre entier relatif :►
.►
.►
.►
.►
.• Pour tout réel
: .• Pour tout réel
: .•
.•
.
Exemples :
•
•
•
•
2. Équations
Théorème
Pour tous réels
et 
:
équivaut à
« 
».
Pour tous réels
et :
équivaut à
« ».
Exemple :
Résoudre dans
l'équation 
.
Donc
.
Résoudre dans
l'équation .Donc
.
3. Inéquations
Théorème
Pour tous réels
et 
:
équivaut à
« 
».
Pour tous réels
et : équivaut à
« ».
Remarque :
Ce théorème est valable car la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l'intervalle
.
Ce théorème est valable car la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l'intervalle
.
Exemple :
Résoudre dans
l'équation 
.
Donc
.
Résoudre dans
l'équation .Donc
.
L'essentiel
• Pour tous réels et et un nombre entier relatif :
►.
►.
►.
►.
►.
• Pour tout réel : .
• Pour tout réel : .
•.
•.
• Pour tous réels et :
►
équivaut à
« ».
► équivaut à
« ».
et et un nombre entier relatif :►
.►
.►
.►
.►
.• Pour tout réel
: .• Pour tout réel
: .•
.•
.• Pour tous réels
et :►
équivaut à
« ».►
équivaut à
« ».
Pour aller plus loin
On peut également résoudre des équations
ou inéquations plus complexes à l'aide de
théorèmes similaires.
Théorème
Pour toutes fonctions
et 
strictement positives :
équivaut à
« 
».
Pour toutes fonctions
et strictement positives :
équivaut à
« ».
Exemple :
Résoudre dans
l'équation 
.
• Tout d'abord,
existe si 
,
c'est-à-dire si 
ou 
.
• L'inéquation s'écrit alors :
Puisque
,
on obtient 
.
Résoudre dans
l'équation .• Tout d'abord,
existe si ,
c'est-à-dire si ou .• L'inéquation s'écrit alors :
Puisque
,
on obtient .
Théorème
Pour toutes fonctions u et v strictement positives :
équivaut à
« 
».
Pour toutes fonctions u et v strictement positives :
équivaut à
« ».
Exemple :
Résoudre dans
l'inéquation 
.
• Tout d'abord,
existe si 
,
c'est-à-dire si 
ou 
:
• L'inéquation s'écrit alors :
Puisque
,
on a le schéma suivant :
Résoudre dans
l'inéquation .• Tout d'abord,
existe si ,
c'est-à-dire si ou :• L'inéquation s'écrit alors :
Puisque
,
on a le schéma suivant :
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