Propriétés du logarithme népérien
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Objectifs
• Propriétés
• Équations - Inéquations
• Équations - Inéquations
1. Propriétés algébriques
Propriétés
• Pour tous réels et et un nombre entier relatif :
► .
► .
► .
► .
► .
• Pour tout réel : .
• Pour tout réel : .
• .
• .
• Pour tous réels et et un nombre entier relatif :
► .
► .
► .
► .
► .
• Pour tout réel : .
• Pour tout réel : .
• .
• .
Exemples :
•
•
•
•
2. Équations
Théorème
Pour tous réels et :
Pour tous réels et :
équivaut à
« ».
Exemple :
Résoudre dans l'équation .
Donc .
Résoudre dans l'équation .
Donc .
3. Inéquations
Théorème
Pour tous réels et :
Pour tous réels et :
équivaut à
« ».
Remarque :
Ce théorème est valable car la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l'intervalle .
Ce théorème est valable car la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l'intervalle .
Exemple :
Résoudre dans l'équation .
Donc .
Résoudre dans l'équation .
Donc .
L'essentiel
• Pour tous réels et et un nombre entier relatif :
► .
► .
► .
► .
► .
• Pour tout réel : .
• Pour tout réel : .
• .
• .
• Pour tous réels et :
► équivaut à « ».
► équivaut à « ».
► .
► .
► .
► .
► .
• Pour tout réel : .
• Pour tout réel : .
• .
• .
• Pour tous réels et :
► équivaut à « ».
► équivaut à « ».
Pour aller plus loin
On peut également résoudre des équations
ou inéquations plus complexes à l'aide de
théorèmes similaires.
Théorème
Pour toutes fonctions et strictement positives :
Pour toutes fonctions et strictement positives :
équivaut à
« ».
Exemple :
Résoudre dans l'équation .
• Tout d'abord, existe si , c'est-à-dire si ou .
• L'inéquation s'écrit alors :
Puisque , on obtient .
Résoudre dans l'équation .
• Tout d'abord, existe si , c'est-à-dire si ou .
• L'inéquation s'écrit alors :
Puisque , on obtient .
Théorème
Pour toutes fonctions u et v strictement positives :
Pour toutes fonctions u et v strictement positives :
équivaut à
« ».
Exemple :
Résoudre dans l'inéquation .
• Tout d'abord, existe si , c'est-à-dire si ou :
• L'inéquation s'écrit alors :
Puisque , on a le schéma suivant :
Résoudre dans l'inéquation .
• Tout d'abord, existe si , c'est-à-dire si ou :
• L'inéquation s'écrit alors :
Puisque , on a le schéma suivant :
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