Propriétés du logarithme népérien - Maxicours

Propriétés du logarithme népérien

Objectifs
• Propriétés
• Équations - Inéquations
1. Propriétés algébriques
Propriétés
• Pour tous réels  et  et  un nombre entier relatif :

► .

.

.

► .

.

• Pour tout réel  : .

• Pour tout réel  : .

• .

• .
Exemples :
• 
• 

2. Équations
Théorème
Pour tous réels  et  :
 équivaut à «  ».
Exemple :
Résoudre dans  l'équation  .





Donc .
3. Inéquations
Théorème
Pour tous réels  et  :
 équivaut à «  ».
Remarque :
Ce théorème est valable car la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l'intervalle .

Exemple :
Résoudre dans  l'équation .





Donc .
L'essentiel
• Pour tous réels  et  et  un nombre entier relatif :

► .

.

.

► .

.

• Pour tout réel  : .

• Pour tout réel  : .

• .

• .

• Pour tous réels  et  :

►  équivaut à «  ».
►  équivaut à «  ».
Pour aller plus loin
On peut également résoudre des équations ou inéquations plus complexes à l'aide de théorèmes similaires.

Théorème
Pour toutes fonctions  et  strictement positives :
 équivaut à «  ».
Exemple :
Résoudre dans l'équation .

• Tout d'abord,  existe si , c'est-à-dire si  ou .

• L'inéquation s'écrit alors :




Puisque , on obtient .

Théorème
Pour toutes fonctions u et v strictement positives :
 équivaut à «  ».
Exemple :
Résoudre dans l'inéquation .

• Tout d'abord,  existe si , c'est-à-dire si  ou  :

• L'inéquation s'écrit alors :





Puisque , on a le schéma suivant :

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