Définitions d'un nombre complexe, forme algébrique et opérations sur les complexes
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Il existe un ensemble appelé l'ensemble des complexes, noté
vérifiant :•
contient l'ensemble
des
réels.•
est muni d'une addition et
d'une multiplication qui prolongent celles de 
et qui suivent les
mêmes règles de calcul.• Il existe un élément i de
tel que i2 = -1.• Tout élément z de
s'écrit de manière unique : z = a +
ib (a et b réels), donc
si z = a + ib et z' = a' + ib', z =
z' ⇔ a = a' et b =
b'.Vocabulaire
a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z.
Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Le réel b s'appelle la partie imaginaire de z, notée Im(z).
SI b = Im(z) = 0, alors z = a et z est un réel.
Si a = Re(z) = 0, alors z = ib et z est appelé un imaginaire pur.
Exemple : 2 - i
; 
; 3i 
et 
.
est un
repère orthogonal direct du plan.• A tout nombre complexe z = x + iy , on peut associer le point M ( x ; y ).
M est appelé l'image de z. On le note M(z).
• A tout point M (x ; y) du plan, on peut associer le nombre complexe z = x + iy.
z est appelé l'affixe du point M. On peut le noter zM.
• A tout vecteur
du plan,
on peut associer le nombre complexe z = x + iy.z est appelé l'affixe du vecteur
.
On peut le noter 
.
Exemples : Dans le plan complexe, les images
I(1) ; J(i) ; A( 2 + i ) ;
B( -1 ; 2i ).
zI = 1 ; zJ =
i ; zA = 2 +
i ; zB = -1 +
2i ; zM = x +
iy ; 
= x + iy.
Applications
:
1. Que se passe-t-il lorsque z
appartient à l'axe imaginaire ?
On dit que z est un imaginaire pur.
2. Que se passe-t-il lorsque z
appartient à l'axe des réels ?
On dit que z est un réel.
M(z) ;
N(z') ; P(z + z')
L'opposé de z est le nombre (-z) tel que z + (-z) = 0.
Si z = a + ib alors z' = -a + i(-b) = -a - ib.
Exemples :
(5 - 3i) + (-2 + 2i) = 3 - I ;
(1 - 2i) + (-2 + 2i) = -1 ;
(2 + 2i) + (-2 + 2i) = 4i ;
(1 - 2i) - (-2 + 2i) = (1 - 2i) + (2 - 2i) = 3 - 4i.
z x z' = (a + ib) x (a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + ba').
Inutile de mémoriser cette formule, autant faire les calculs dans chaque cas particulier.
Exemples :
(5 - 3i) x (-2 + 2i) = -10 + 10i + 6i - 6i2 = -10 + 6 + 16i = -4 + 16i ;
(1 - 2i) + (-2 + 2i) = -2 + 2i + 4i - 4i2 = -2 + 4 + 6i = 2 + 6i.
L'inverse de z ≠ 0 est le nombre z' tel que zz' = 1, noté
.
Si z = a + ib avec a ≠ 0 et b ≠ 0 et z' = x + iy ;
alors zz' = 1 ⇔ (ax - by) + i(ay + bx) = 1 ;
(ax - by) + i(ay + bx) = 1 ⇔
.Donc
.Inutile de mémoriser cette formule, en effet :
Donc, si a ≠ 0 et b ≠ 0,
.
Exemples :
;
.On utilisera la méthode ci-dessus pour mettre sous forme algébrique le quotient de 2 nombres complexes.
Exemple :
.(a + ib)2 = a2 + 2iab - b2 ;
(a - ib)2 = a2 - 2iab - b2 ;
(a + ib)(a - ib) = a2 + b2.
Exemples :
( 2 + 3i )2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i ;
( 2 - 3i )2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i ;
( 2 + 3i ) ( 2 - 3i ) = 4 + 9 = 13.
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