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Définitions d'un nombre complexe, forme algébrique et opérations sur les complexes

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Objectifs :

Nous allons découvrir l'ensemble des nombres complexes, le plan complexe et les opérations associées.

1. L'ensemble des nombres complexes

Théorème (admis)
Il existe un ensemble appelé l'ensemble des complexes, noté

vérifiant :
•

contient l'ensemble

des réels.
•

est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de

et qui suivent les mêmes règles de calcul.
• Il existe un élément i de

tel que i² = -1.
• Tout élément z de

s'écrit de manière unique : z = a + ib (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' ⇔ a = a' et b = b'.

Vocabulaire
a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z.

Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Le réel b s'appelle la partie imaginaire de z, notée Im(z).

SI b = Im(z) = 0, alors z = a et z est un réel.
Si a = Re(z) = 0, alors z = ib et z est appelé un imaginaire pur.

Exemple : 2 - i

;

; 3i

2. Le plan complexe et quelques applications

est un repère orthogonal direct du plan.

• A tout nombre complexe z = x + iy , on peut associer le point M ( x ; y ).
M est appelé l'image de z. On le note M(z).

• A tout point M (x ; y) du plan, on peut associer le nombre complexe z = x + iy.
z est appelé l'affixe du point M. On peut le noter z_M.

• A tout vecteur

du plan, on peut associer le nombre complexe z = x + iy.
z est appelé l'affixe du vecteur

. On peut le noter

Exemples : Dans le plan complexe, les images I(1) ; J(i) ; A( 2 + i ) ; B( -1 ; 2i ).
z_I = 1 ; z_J = i ; z_A = 2 + i ; z_B = -1 + 2i ; z_M = x + iy ; = x + iy.

Applications :

1. Que se passe-t-il lorsque z appartient à l'axe imaginaire ?
On dit que z est un imaginaire pur.

2. Que se passe-t-il lorsque z appartient à l'axe des réels ?
On dit que z est un réel.

3. Opérations

a. Addition

Soit z = a + ib et z' = a' + ib'.

z + z' = (a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b').

M(z) ; N(z') ; P(z + z')

Opposé d'un nombre complexe
L'opposé de z est le nombre (-z) tel que z + (-z) = 0.
Si z = a + ib alors z' = -a + i(-b) = -a - ib.

Exemples :
(5 - 3i) + (-2 + 2i) = 3 - I ;
(1 - 2i) + (-2 + 2i) = -1 ;
(2 + 2i) + (-2 + 2i) = 4i ;
(1 - 2i) - (-2 + 2i) = (1 - 2i) + (2 - 2i) = 3 - 4i.

b. Multiplication

z = a + ib et z' = a' + ib' ;
z x z' = (a + ib) x (a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + ba').
Inutile de mémoriser cette formule, autant faire les calculs dans chaque cas particulier.

Exemples :
(5 - 3i) x (-2 + 2i) = -10 + 10i + 6i - 6i² = -10 + 6 + 16i = -4 + 16i ;
(1 - 2i) + (-2 + 2i) = -2 + 2i + 4i - 4i² = -2 + 4 + 6i = 2 + 6i.

c. L'inverse

Inverse d'un nombre complexe non nul

L'inverse de z ≠ 0 est le nombre z' tel que zz' = 1, noté