Définitions d'un nombre complexe, forme algébrique et opérations sur les complexes - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Définitions d'un nombre complexe, forme algébrique et opérations sur les complexes

Objectifs :
Nous allons découvrir l'ensemble des nombres complexes, le plan complexe et les opérations associées.
1. L'ensemble des nombres complexes
Théorème (admis)
Il existe un ensemble appelé l'ensemble des complexes, noté vérifiant :
contient l'ensemble des réels.
est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de et qui suivent les mêmes règles de calcul.
• Il existe un élément i de tel que i2 = -1.
• Tout élément z de s'écrit de manière unique : z = a + ib  (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib',  z = z'  ⇔ a = a'  et  b = b'.

Vocabulaire
a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z.

Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Le réel b s'appelle la partie imaginaire de z, notée Im(z).

SI b = Im(z) = 0, alors z = a et z est un réel.
Si a = Re(z) = 0, alors z = ib et z est appelé un imaginaire pur.

Exemple : 2 - i ; ;  3i

  et  .
2. Le plan complexe et quelques applications
est un repère orthogonal direct du plan.

• A tout nombre complexe z = x + iy , on peut associer le point M ( x ; y ).
M est appelé l'image de z. On le note M(z).

• A tout point M (x ; y) du plan, on peut associer le nombre complexe z = x + iy.
z est appelé l'affixe du point M. On peut le noter zM.

• A tout vecteur du plan, on peut associer le nombre complexe z = x + iy.
z est appelé l'affixe du vecteur . On peut le noter .


Exemples : Dans le plan complexe, les images I(1) ; J(i) ; A( 2 + i ) ; B( -1 ; 2i ).
zI = 1  ;  zJ = i zA = 2 + i  ;  zB = -1 + 2i  ;  zM = x + iy  ;  = x + iy.

Applications :

1. Que se passe-t-il lorsque z appartient à l'axe imaginaire ?
On dit que z est un imaginaire pur.

2. Que se passe-t-il lorsque z appartient à l'axe des réels ?
On dit que z est un réel.


3. Opérations
a. Addition
Soit z = a + ib  et  z' = a' + ib'.
z + z' = (a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b').
   M(z)   ;   N(z')   ;   P(z + z')
Opposé d'un nombre complexe
L'opposé de z est le nombre (-z) tel que z + (-z) = 0.
Si z = a + ib alors z' = -a + i(-b) = -a - ib.

Exemples :
(5 - 3i) + (-2 + 2i) = 3 - I ;
(1 - 2i) + (-2 + 2i) = -1 ;
(2 + 2i) + (-2 + 2i) = 4i ;
(1 - 2i) - (-2 + 2i) = (1 - 2i) + (2 - 2i) = 3 - 4i.
b. Multiplication
z = a + ib  et  z' = a' + ib' ;
z x z' = (a + ib) x (a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + ba').
Inutile de mémoriser cette formule, autant faire les calculs dans chaque cas particulier.

Exemples :
(5 - 3i) x (-2 + 2i) = -10 + 10i + 6i - 6i2 = -10 + 6 + 16i = -4 + 16i ;
(1 - 2i) + (-2 + 2i) = -2 + 2i + 4i - 4i2 = -2 + 4 + 6i = 2 + 6i.
c. L'inverse
Inverse d'un nombre complexe non nul

L'inverse de z ≠ 0 est le nombre z' tel que zz' = 1, noté .

Si z = a + ib avec a ≠ 0  et  b ≠ 0  et z' = x + iy ;
alors zz' = 1 ⇔ (ax - by) + i(ay + bx) = 1 ;
(ax - by) + i(ay + bx) = 1 ⇔ .

Donc .

Inutile de mémoriser cette formule, en effet :
Quels que soient les réels a et b, (a + ib) x (a - ib) = a2 + b2.

Donc, si a ≠ 0  et  b ≠ 0, .

Exemples :
;

.
d. Quotient
Quotient de deux nombres complexes

On utilisera la méthode ci-dessus pour mettre sous forme algébrique le quotient de 2 nombres complexes.

Exemple :

.
e. Identités remarquables
« Identités remarquables »

(a + ib)2 = a2 + 2iab - b2 ;
(a - ib)2 = a2 - 2iab - b2 ;
(a + ib)(a - ib) = a2 + b2.

Exemples :
( 2 + 3i )2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i ;
( 2 - 3i )2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i ;
( 2 + 3i ) ( 2 - 3i ) = 4 + 9 = 13.

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