Définitions d'un nombre complexe, forme algébrique et opérations sur les complexes
- Fiche de cours
- Quiz
- Profs en ligne
- Videos
- Application mobile
Objectifs :
Nous allons découvrir l'ensemble des nombres complexes,
le plan complexe et les opérations associées.
1. L'ensemble des nombres complexes
Théorème
(admis)
Il existe un ensemble appelé l'ensemble des complexes, noté
vérifiant :
•
contient l'ensemble
des
réels.
•
est muni d'une addition et
d'une multiplication qui prolongent celles de
et qui suivent les
mêmes règles de calcul.
• Il existe un élément i de
tel que i2 = -1.
• Tout élément z de
s'écrit de manière unique : z = a +
ib (a et b réels), donc
si z = a + ib et z' = a' + ib', z =
z' ⇔ a = a' et b =
b'.
Vocabulaire
a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z.
Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Le réel b s'appelle la partie imaginaire de z, notée Im(z).
SI b = Im(z) = 0, alors z = a et z est un réel.
Si a = Re(z) = 0, alors z = ib et z est appelé un imaginaire pur.
Il existe un ensemble appelé l'ensemble des complexes, noté

•


•


• Il existe un élément i de

• Tout élément z de

Vocabulaire
a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z.
Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Le réel b s'appelle la partie imaginaire de z, notée Im(z).
SI b = Im(z) = 0, alors z = a et z est un réel.
Si a = Re(z) = 0, alors z = ib et z est appelé un imaginaire pur.
Exemple : 2 - i





2. Le plan complexe et quelques applications

• A tout nombre complexe z = x + iy , on peut associer le point M ( x ; y ).
M est appelé l'image de z. On le note M(z).
• A tout point M (x ; y) du plan, on peut associer le nombre complexe z = x + iy.
z est appelé l'affixe du point M. On peut le noter zM.
• A tout vecteur

z est appelé l'affixe du vecteur



Exemples : Dans le plan complexe, les images
I(1) ; J(i) ; A( 2 + i ) ;
B( -1 ; 2i ).
zI = 1 ; zJ =
i ; zA = 2 +
i ; zB = -1 +
2i ; zM = x +
iy ; = x + iy.
Applications
:
1. Que se passe-t-il lorsque z
appartient à l'axe imaginaire ?
On dit que z est un imaginaire pur.
2. Que se passe-t-il lorsque z
appartient à l'axe des réels ?
On dit que z est un réel.
3. Opérations
a. Addition
Soit z = a + ib et z' = a' +
ib'.
z + z' = (a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b +
b').

Opposé d'un nombre
complexe
L'opposé de z est le nombre (-z) tel que z + (-z) = 0.
Si z = a + ib alors z' = -a + i(-b) = -a - ib.
L'opposé de z est le nombre (-z) tel que z + (-z) = 0.
Si z = a + ib alors z' = -a + i(-b) = -a - ib.
Exemples :
(5 - 3i) + (-2 + 2i) = 3 - I ;
(1 - 2i) + (-2 + 2i) = -1 ;
(2 + 2i) + (-2 + 2i) = 4i ;
(1 - 2i) - (-2 + 2i) = (1 - 2i) + (2 - 2i) = 3 - 4i.
b. Multiplication
z = a + ib et z' = a' + ib'
;
z x z' = (a + ib) x (a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + ba').
Inutile de mémoriser cette formule, autant faire les calculs dans chaque cas particulier.
z x z' = (a + ib) x (a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + ba').
Inutile de mémoriser cette formule, autant faire les calculs dans chaque cas particulier.
Exemples :
(5 - 3i) x (-2 + 2i) = -10 + 10i + 6i - 6i2 = -10 + 6 + 16i = -4 + 16i ;
(1 - 2i) + (-2 + 2i) = -2 + 2i + 4i - 4i2 = -2 + 4 + 6i = 2 + 6i.
c. L'inverse
Inverse d'un nombre complexe
non nul
L'inverse de z ≠ 0 est le nombre z' tel que zz' = 1, noté
.
L'inverse de z ≠ 0 est le nombre z' tel que zz' = 1, noté

Si z = a + ib avec a ≠ 0 et b ≠ 0 et z' = x + iy ;
alors zz' = 1 ⇔ (ax - by) + i(ay + bx) = 1 ;
(ax - by) + i(ay + bx) = 1 ⇔

Donc

Inutile de mémoriser cette formule, en effet :
Quels que soient les réels a et
b, (a + ib) x (a - ib) =
a2 + b2.
Donc, si a ≠ 0 et b ≠ 0,
.
Donc, si a ≠ 0 et b ≠ 0,

Exemples :


d. Quotient
Quotient de deux nombres
complexes
On utilisera la méthode ci-dessus pour mettre sous forme algébrique le quotient de 2 nombres complexes.
On utilisera la méthode ci-dessus pour mettre sous forme algébrique le quotient de 2 nombres complexes.
Exemple :

e. Identités remarquables
« Identités
remarquables »
(a + ib)2 = a2 + 2iab - b2 ;
(a - ib)2 = a2 - 2iab - b2 ;
(a + ib)(a - ib) = a2 + b2.
(a + ib)2 = a2 + 2iab - b2 ;
(a - ib)2 = a2 - 2iab - b2 ;
(a + ib)(a - ib) = a2 + b2.
Exemples :
( 2 + 3i )2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i ;
( 2 - 3i )2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i ;
( 2 + 3i ) ( 2 - 3i ) = 4 + 9 = 13.
Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !