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PPCM

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Objectifs :
Définition et théorèmes – Lien entre PGCD et PPCM – PGCD, PPCM et décomposition en facteurs premiers
1. Définition et théorèmes
Définition
Si a et b sont deux entiers, on appelle PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de a et b, le plus petit des multiples communs positifs de a et b.
On le note PPCM(a ; b).

Exemple :
Les premiers multiples positifs de 12 sont 0 ; 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; etc.
Les premiers multiples positifs de 15 sont 0 ; 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 ; etc.
12 et 15 ont des multiples positifs communs : 60 ; 120 ; etc.
Le plus petit est 60. Donc PPCM(12 ; 15) = 60.

Théorèmes
Si m est un multiple commun à a et b, alors m est un multiple du PPCM de a et b.

Exemple :  Le PPCM de 12 et 15 est 60 ; tout multiple de 60 est multiple de 12 et de 15.

Si a est un multiple de b, alors PPCM(a ; b) = a.

Exemple : PPCM(187 ; 17) = 187.

Quels que soient les entiers naturels non nuls a, b et k,
PPCM(ka ; kb) = k x PPCM(a ; b).

Exemple : PPCM(81 ; 45) = 9 x PPCM(9 ; 5) = 9 x 45 = 405.
2. Lien entre PGCD et PPCM
Théorème 1
Quels que soient les entiers naturels non nuls a et b,
PGCD(a ; b) x PPCM(a ; b) = a x b

Ce théorème donne un moyen simple de calculer le PPCM de deux nombres.

• Exemple 1 : Il s'agit de trouver le PPCM de 3080 et 1100.
On calcule le PGCD de 3080 et 1100 par l'algorithme d'Euclide.
On trouve : (PGCD(3080 ; 1100) = 220.

Donc  .


• Exemple 2 : Le nombre d'élèves d'une classe est inférieur à 40. Si on range les élèves par files de 12 ou par files de 9, il en reste 1 à chaque fois. On peut en déduire que le nombre d'élèves de cette classe est 37.

En effet, ce nombre est la somme de 1 et d'un multiple commun à 12 et à 9.
Cherchons le PPCM de 12 et 9 :
12 = 4 x 3  et 9 = 3 x 3  donc PPCM(12 ; 9) = 4 x 32 = 36.
Les multiples communs de 12 et de 9 sont donc les multiples de 36.
Le nombre d'élèves est donc de la forme 36k + 1, avec k entier.
k doit être tel que 0 < 36k + 1 40, donc k = 1  et il y a 37 élèves dans cette classe.

Théorème 2
a et b sont premiers entre eux ⇔ PPCM(a ; b) = a x b.

Exemple :
Quel que soit l'entier naturel p, les nombres 9p + 4  et  2p + 1  sont premiers entre eux et leur PPCM est égal à leur produit.
En effet, on a (-1) x (9p + 4) + 5 x (2p + 1) = 1 ;
donc d'après le théorème de Bézout 9p + 4  et  2p + 1  sont premiers entre eux.
Et PPCM(9p + 4 ; 2p + 1) = (9p + 4)(2p + 1) = 18p2 + 17p + 4.
3. PGCD, PPCM et décomposition en facteurs premiers
En dernier recours, pour trouver le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) ou le PPCM de deux nombres a et b, on peut utiliser leurs décompositions en facteurs premiers.
- Le PGCD de a et de b est le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions affectés de leur plus petit exposant.
- Le PPCM de a et b est égal au produit de tous les facteurs premiers des deux décompositions affectés de leur plus grand exposant.

Exemple : Calcul du PGCD de 1960 et 2016.
On décompose 1960 et 2016 en facteurs premiers.
a = 23 x 5 x 72  et b = 25 x 32 x 7.
Les facteurs premiers communs sont 2 et 7 donc PGCD(1960 ; 2016) = 23 x 7 = 56.

Exemple : Calcul du PPCM de 135 et 63.
135 = 33 x 5  et  63 = 32 x 7.
Les facteurs premiers apparaissant dans les deux décompositions sont 3 ; 5 et 7 donc PPCM(135 ; 63) = 33 x 5 x 7 = 945.

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