Fonction exponentielle - Maxicours

Fonction exponentielle

Pour tout réel x, il existe un unique réel y strictement positif tel que ln(y) = x ; x est l'image de y par la fonction logarithme népérien. On peut alors définir une fonction réciproque telle que y soit l'image du réel x en utilisant le principe d'échange image - antécédent.
1. Définition
La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction réciproque de la fonction ln.

équivaut à .

On démontre que, pour tout , exp(x) = ex.

Conséquences immédiates :
• L'ensemble de définition de la fonction exp est .
• Pour tout , ex > 0.
• Pour tout x > 0 , elnx = x.
• Pour tout , ln(ex) = x.
2. Propriétés immédiates de la fonction exponentielle
a. Propriétés
► La fonction exp est dérivable sur et exp'(x) = exp(x).

► La fonction exp est strictement croissante sur , donc exp(A) > exp(B) ⇔ A > B (par exemple).

► La fonction exp est une bijection de sur ]0 ; +∞[, donc exp(A) = exp(B) ⇔ A = B.

, donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe en -∞, et .
b. Tableau de variations

c. Courbe représentative de la fonction exp dans un repère orthonormal

3. Exemples d'utilisation

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