Fonction exponentielle
Pour tout réel x, il existe un unique réel
y strictement positif tel que ln(y)
= x ; x est l'image de y par la
fonction logarithme népérien. On peut alors
définir une fonction réciproque telle que y
soit l'image du réel x en utilisant le principe
d'échange image - antécédent.
1. Définition
La fonction exponentielle, notée exp, est la
fonction réciproque de la fonction ln.
équivaut à 
.
On démontre que, pour tout
,
exp(x) = ex.
équivaut à .On démontre que, pour tout
,
exp(x) = ex.
Conséquences immédiates :
• L'ensemble de définition de la fonction exp est
.• Pour tout
, ex >
0.• Pour tout x > 0 , elnx = x.
• Pour tout
, ln(ex) =
x.
2. Propriétés immédiates de la fonction
exponentielle
a. Propriétés
► La fonction exp est dérivable sur
et exp'(x) = exp(x).
► La fonction exp est strictement croissante sur
, donc exp(A) > exp(B) ⇔ A > B (par
exemple).
► La fonction exp est une bijection de
sur ]0 ; +∞[, donc exp(A) = exp(B) ⇔
A = B.
►
, donc l'axe des
abscisses est asymptote à la courbe en
-∞, et 
.
et exp'(x) = exp(x).► La fonction exp est strictement croissante sur
, donc exp(A) > exp(B) ⇔ A > B (par
exemple).► La fonction exp est une bijection de
sur ]0 ; +∞[, donc exp(A) = exp(B) ⇔
A = B.►
, donc l'axe des
abscisses est asymptote à la courbe en
-∞, et .
b. Tableau de variations
c. Courbe représentative de la fonction exp
dans un repère orthonormal
3. Exemples d'utilisation
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