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Limite d'une suite

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1. Prérequis à l'étude des limites d'une suite - Définitions et théorèmes
Définition
Soit u une suite et l un réel.
Dire que la suite u admet pour limite l signifie que tout intervalle ouvert ]a ; b[ contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Exemple : Soit la suite u définie par : pour tout n, un =
Ci-dessous, une représentation graphique sur un tableur des termes de la suite pour 0 ≤ n ≤ 20. On peut conjecturer que la limite de la suite u est 1 :


Soit l'intervalle I = ] 1 - a ; 1 + a [, où a est un réel strictement positif quelconque, pour démontrer que la limite est 1, on doit démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans cet intervalle.

unI ⇔ 1 - a < un < 1 + a ⇔ -a < un - 1 < a ;
u
n - 1 = , donc un ∈ I ⇔ -a < < a ;

< 0 donc pour tout n, < a ;

-a < n + 1 > n > - 1.
Donc, si N est le plus petit entier tel que N > + 1, alors pour tout nN, unI.
L'intervalle ]1 - a ; 1 + a[ contient tous les termes de la suite u à partir du rang N, donc la suite u admet pour limite I.

Vocabulaire et notation
Si une suite admet pour limite le nombre réel I on dit qu'elle est convergente vers I (ou qu'elle converge vers I ou qu'elle tend vers I). On note :   ou lim u = I.
Théorème 1
La limite d'une suite est unique.

Théorème 2

Les suites , où k est un entier positif non nul, convergent vers 0.
2. Limites infinies de suites
Définition 1
Dire que la suite u a pour limite +∞ signifie que tout intervalle de la forme [A ; +∞[, où A est un réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note : lim u = +∞  ou  


Définition 2
Dire que la suite u a pour limite -∞ signifie que tout intervalle de la forme ]-∞ ; B[, où B est un réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note : lim u = -∞  ou  .
Exemple : Soit la suite u telle que, pour tout n, un = 4n2 + 1. Soit I = [A ; +∞[.
Démontrons qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle I.
Si n alors n2 > A et 4n2 + > n2 > A, donc unI.
Si N est le plus petit entier tel que N, à partir du rang N, tous les termes de la suite u sont dans l'intervalle I. lim u = +∞.
3. Limites d'une suite monotone, non-majorée ou non-minorée
a. Suite croissante et non majorée
Définition
La suite u est majorée, si, et seulement si, il existe un réel M tel que pour tout n, unM. M est appelé un majorant de la suite.
En conséquence, la suite u est non majorée si, et seulement si, quelque soit le réel M, il existe n tel que un ≥ M.
Exemple :  Soit la suite u telle que, pour tout n* , un = + 1. Pour tout n*, 0 < ≤ 2 donc
pour tout n*, 1 < + 1 ≤ 3. La suite u est majorée et 3 est un majorant de cette suite u.
Théorème
Si u est une suite croissante et non majorée, alors u tend vers +∞.

Démonstration : Soit A un réel quelconque, et u une suite non majorée.
u est non majorée donc il existe un naturel p tel que up ≥ A.
u est croissante donc quel que soit n ≥ p, un ≥ up.

On en déduit que à partir du rang p, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ]A ; +∞[, d'où le résultat.
Exemple : Soit la suite u telle que, pour tout n, un = 4n + 2.
u
est croissante et quel que soit le réel positif M, um ≥ M, donc u n'est pas majorée. On en déduit que la suite u tend vers +∞.
b. Suite croissante et non minorée
Définition
La suite u est minorée si, et seulement si, il existe un réel M tel que pour tout n, un ≥ M. M étant un minorant de la suite.

En conséquence, la suite u est non minorée si, et seulement si, quelque soit le réel M, il existe n tel que un ≤ M.


Théorème
Si u est une suite décroissante et non minorée, alors u tend vers -∞.

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