Limite d'une suite

Exemple : Soit la suite u définie par : pour tout n ∈ , u_n =
Ci-dessous, une représentation graphique sur un tableur des termes de la suite pour 0 ≤ n ≤ 20. On peut conjecturer que la limite de la suite u est 1 :


Soit l'intervalle I = ] 1 - a ; 1 + a [, où a est un réel strictement positif quelconque, pour démontrer que la limite est 1, on doit démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans cet intervalle.

u_n ∈ I ⇔ 1 - a < u_n < 1 + a ⇔ -a < u_n - 1 < a ;
u_n - 1 = , donc u_n ∈ I ⇔ -a < < a ;

< 0 donc pour tout n, < a ;

-a < ⇔ n + 1 > ⇔ n > - 1.
Donc, si N est le plus petit entier tel que N > + 1, alors pour tout n ≥ N, u_n ∈ I.
L'intervalle ]1 - a ; 1 + a[ contient tous les termes de la suite u à partir du rang N, donc la suite u admet pour limite I.

Exemple : Soit la suite u telle que, pour tout n ∈ , u_n = 4n² + 1. Soit I = [A ; +∞[.
Démontrons qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle I.
Si n ≥ alors n² > A et 4n² + > n² > A, donc u_n ∈ I.
Si N est le plus petit entier tel que N ≥ , à partir du rang N, tous les termes de la suite u sont dans l'intervalle I. lim u = +∞.