Probabilités conditionnelles - arbre pondéré
1. Etude d'un exemple
► Dans une classe de Terminale de 30
élèves, 8 élèves sont
redoublants, 18 élèves sont des filles et 5
filles sont redoublantes. On choisit au hasard un
élève de cette classe et on
s'intéresse aux événements suivants
:
A : « L'élève est redoublant » et B : « L'élève est une fille ».
Ω est l'ensemble des 30 élèves de la classe. Card(Ω) = 30.
On a :
;
.
L'intersection des événements A et B s'écrit
: «
L'élève est une fille redoublante
».
D'après l'énoncé, on a donc :
.
► On s'intéresse maintenant à la probabilité que l'élève soit redoublant sachant que c'est une fille, c'est-à-dire à la probabilité que l'événement A se réalise sachant que B est réalisé.
Cette contrainte supplémentaire change l'univers qui n'est plus les 30 élèves de la classe mais uniquement les 18 filles de cette classe.
.
Remarque
La probabilité de A et la probabilité de A sachant B sont différentes. Dans le deuxième cas la réalisation de A est conditionnée par celle de B, ce qui change l'univers.
A : « L'élève est redoublant » et B : « L'élève est une fille ».
Ω est l'ensemble des 30 élèves de la classe. Card(Ω) = 30.
On a :
;
.L'intersection des événements A et B s'écrit
: «
L'élève est une fille redoublante
».D'après l'énoncé, on a donc :
.► On s'intéresse maintenant à la probabilité que l'élève soit redoublant sachant que c'est une fille, c'est-à-dire à la probabilité que l'événement A se réalise sachant que B est réalisé.
Cette contrainte supplémentaire change l'univers qui n'est plus les 30 élèves de la classe mais uniquement les 18 filles de cette classe.
.Remarque
La probabilité de A et la probabilité de A sachant B sont différentes. Dans le deuxième cas la réalisation de A est conditionnée par celle de B, ce qui change l'univers.
2. Définition et exemples
Soient A et B deux événements d'un
même univers de probabilité non nulle.
La probabilité conditionnelle de A sachant B est la probabilité que A se réalise sachant que B est réalisé. On le note : P(A/B) ou PB(A).
La formule générale pour calculer cette probabilité est :
.
La probabilité conditionnelle de A sachant B est la probabilité que A se réalise sachant que B est réalisé. On le note : P(A/B) ou PB(A).
La formule générale pour calculer cette probabilité est :
.
Exemple
Vérifions cette formule sur l'exemple du paragraphe précédent.
.Autre utilisation
La formule peut aussi s'écrire
.Ceci permet de calculer la probabilité de l'événement « A et B » si l'on connaît la probabilité de B et la probabilité conditionnelle de A sachant B.
Utilisation d'un arbre pondéré
On représente les données d'un énoncé par un arbre dont chaque branche est pondérée par la probabilité de l'événement correspondant.
On représente les données d'un énoncé par un arbre dont chaque branche est pondérée par la probabilité de l'événement correspondant.
Exemple
On pose une question à un groupe de personnes (les seules réponses possibles sont « oui » et « non »).
• 30 % des personnes interrogées sont des femmes.
• 45 % des femmes répondent « oui ».
• 65 % des hommes répondent « oui ».
On note F : « être une femme » et O : « Répondre oui ».
On peut traduire cet énoncé par l'arbre pondéré suivant :
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