Equation cartésienne d'un plan
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Objectifs :
- Connaître la définition d'un vecteur
normal
- Comprendre la formation d'une équation cartésienne d'un plan
- Comprendre la formation d'une équation cartésienne d'un plan
1. Vecteur normal
Définition
On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur directeur d'une droite perpendiculaire au plan P
On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur directeur d'une droite perpendiculaire au plan P
Théorème 1
Si
sont deux vecteurs non-colinéaires du plan
P, le vecteur 
est normal au plan P si et seulement si
est orthogonal aux vecteurs 
.
Théorème
2
A est un point donné,
un vecteur et M, un point
de l'espace. M est dans le plan passant par A de vecteur
normal 
A est un point donné,
un vecteur et M, un point
de l'espace. M est dans le plan passant par A de vecteur
normal
2. Équation cartésienne d'un plan
Théorème
Dans un repère orthonormal, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non-nuls et le vecteur
est normal à P.
Réciproquement, a, b, c et d étant quatre réels donnés avec a, b et c pas tous nuls, l'ensemble des points M (x ; y ; z) tel que ax + by + cz + d = 0 est un plan qui admet pour vecteur normal le vecteur
Dans un repère orthonormal, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non-nuls et le vecteur
est normal à P.Réciproquement, a, b, c et d étant quatre réels donnés avec a, b et c pas tous nuls, l'ensemble des points M (x ; y ; z) tel que ax + by + cz + d = 0 est un plan qui admet pour vecteur normal le vecteur
Exemple
P est le plan d'équation
est normal à P.
Méthode pour établir l'équation d'un plan
Dans un repère orthonormal, pour déterminer une équation cartésienne du plan (ax + by + cz + d = 0) passant par les trois points non-alignés A, B et C, une méthode consiste à :
? Déterminer un vecteur
orthogonal aux vecteurs
et obtenir ainsi un vecteur normal au plan
(ABC) et les coefficients a, b et c de l'équation
cherchée.? Calculer le coefficient d en utilisant l'appartenance de l'un des points au plan (ABC).
Exemple
Soit dans un repère orthonormal A (4,2,-1); B (1,3,1) et C (-3,0,3).
Une équation du plan (ABC) est 8x -2y + 13z -15 = 0.
En effet,
ne sont pas colinéaires
donc A, B et C déterminent un plan.
Les vecteurs orthogonaux aux vecteurs
sont les vecteurs dont les coordonnées satisfont
au système 
Ce système équivaut à :
Si a = 8 alors b = -2 et c = 13. Un vecteur normal au plan (ABC) est le vecteur
donc l'équation
cherchée est de la forme : 8x -y +13z + d = 0.
donc ses coordonnées
vérifient l'équation du plan : 
, d'où le
résultat.
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