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Equation cartésienne d'un plan

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Objectifs :
- Connaître la définition d'un vecteur normal
- Comprendre la formation d'une équation cartésienne d'un plan

1. Vecteur normal
Définition

On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur directeur d'une droite perpendiculaire au plan P


Théorème 1


Si sont deux vecteurs non-colinéaires du plan P, le vecteur est normal au plan P si et seulement si est orthogonal aux vecteurs .

Théorème 2

A est un point donné, un vecteur et M, un point de l'espace. M est dans le plan passant par A de vecteur normal
2. Équation cartésienne d'un plan
Théorème

Dans un repère orthonormal, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non-nuls et le vecteur est normal à P.

Réciproquement, a, b, c et d étant quatre réels donnés avec a, b et c pas tous nuls, l'ensemble des points M (x ; y ; z) tel que ax + by + cz + d = 0 est un plan qui admet pour vecteur normal le vecteur

Exemple

P est le plan d'équation est normal à P.

Méthode pour établir l'équation d'un plan

Dans un repère orthonormal, pour déterminer une équation cartésienne du plan (ax + by + cz + d = 0) passant par les trois points non-alignés A, B et C, une méthode consiste à :

? Déterminer un vecteur orthogonal aux vecteurs et obtenir ainsi un vecteur normal au plan (ABC) et les coefficients a, b et c de l'équation cherchée.

? Calculer le coefficient d en utilisant l'appartenance de l'un des points au plan (ABC).

Exemple

Soit dans un repère orthonormal A (4,2,-1); B (1,3,1) et C (-3,0,3).
Une équation du plan (ABC) est 8x -2y + 13z -15 = 0.

En effet, ne sont pas colinéaires donc A, B et C déterminent un plan.


Les vecteurs orthogonaux aux vecteurs sont les vecteurs dont les coordonnées satisfont au système

Ce système équivaut à :

Si a = 8 alors b = -2 et c = 13. Un vecteur normal au plan (ABC) est le vecteur donc l'équation cherchée est de la forme : 8x -y +13z + d = 0.

donc ses coordonnées vérifient l'équation du plan : , d'où le résultat. 

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