Dérivation d'une fonction composée
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Objectifs
- Connaître le théorème
- Savoir réaliser des applications
- Savoir réaliser des applications
1. Le théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et
prenant des valeurs appartenant à l'intervalle
et soit g une fonction définie sur J (donc
est alors définie sur I).


Quelque soit
,
si f est dérivable en xo et si g est
dérivable en f(x0), alors
est dérivable en xo
Et :


Et :

Démonstration
Le taux de variation de

en xo est :

Posons y = f(x) et yo = f(xo),

D'après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, lorsque x tend vers xo, y tend vers yo et


D'autre part,


2. Applications
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle
I
•
est dérivable sur
I et 
•
est dérivable sur
I et 

• Pour tout entier
,
un est dérivable sur I et 
• Si u ne s'annule pas sur I, pour tout entier
,
un est dérivable et 
• Si u est strictement positive sur I,
est dérivable sur I et
•


•



• Pour tout entier


• Si u ne s'annule pas sur I, pour tout entier


• Si u est strictement positive sur I,


Exemples
•

•

•

•

Donc

•

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