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Dérivation d'une fonction composée

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Objectifs
- Connaître le théorème
- Savoir réaliser des applications
1. Le théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et prenant des valeurs appartenant à l'intervalle et soit g une fonction définie sur J (donc est alors définie sur I).
Quelque soit , si f est dérivable en xo et si g est dérivable en f(x0), alors est dérivable en xo

Et :

Démonstration

Le taux de variation de
en xo est :



Posons y = f(x) et yo = f(xo),

D'après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, lorsque x tend vers xo, y tend vers yo et tend vers .
D'autre part, tend vers , d'où le résultat.
2. Applications
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I

•    est dérivable sur I et

•    est dérivable sur I et

•  Pour tout entier , un est dérivable sur I et

•  Si u ne s'annule pas sur I, pour tout entier , un est dérivable et

•  Si u est strictement positive sur I, est dérivable sur I et

Exemples

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• 

• 

• 

Donc

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Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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