Dérivation d'une fonction composée
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Objectifs
- Connaître le théorème
- Savoir réaliser des applications
- Savoir réaliser des applications
1. Le théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et
prenant des valeurs appartenant à l'intervalle
et soit g une fonction définie sur J (donc
est alors définie sur I).
Quelque soit ,
si f est dérivable en xo et si g est
dérivable en f(x0), alors
est dérivable en xo
Et :
Et :
Démonstration
Le taux de variation de
en xo est :
Posons y = f(x) et yo = f(xo),
D'après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, lorsque x tend vers xo, y tend vers yo et tend vers .
D'autre part, tend vers , d'où le résultat.
2. Applications
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle
I
• est dérivable sur I et
• est dérivable sur I et
• Pour tout entier , un est dérivable sur I et
• Si u ne s'annule pas sur I, pour tout entier , un est dérivable et
• Si u est strictement positive sur I, est dérivable sur I et
• est dérivable sur I et
• est dérivable sur I et
• Pour tout entier , un est dérivable sur I et
• Si u ne s'annule pas sur I, pour tout entier , un est dérivable et
• Si u est strictement positive sur I, est dérivable sur I et
Exemples
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Donc
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