Dérivation d'une fonction composée
Objectifs
- Connaître le théorème
- Savoir réaliser des applications
- Savoir réaliser des applications
1. Le théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et
prenant des valeurs appartenant à l'intervalle
et soit g une fonction définie sur J (donc
est alors définie sur I).
et soit g une fonction définie sur J (donc
est alors définie sur I).
Quelque soit 
,
si f est dérivable en xo et si g est
dérivable en f(x0), alors 
est dérivable en xo
Et :
,
si f est dérivable en xo et si g est
dérivable en f(x0), alors
est dérivable en xoEt :
Démonstration
Le taux de variation de
en xo est :
Posons y = f(x) et yo = f(xo),
D'après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, lorsque x tend vers xo, y tend vers yo et
tend vers 
.D'autre part,
tend vers 
, d'où le
résultat.
2. Applications
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle
I
•
est dérivable sur
I et 
•
est dérivable sur
I et 
• Pour tout entier
,
un est dérivable sur I et 
• Si u ne s'annule pas sur I, pour tout entier
,
un est dérivable et
• Si u est strictement positive sur I,
est dérivable sur I et 
•
est dérivable sur
I et •
est dérivable sur
I et • Pour tout entier
,
un est dérivable sur I et • Si u ne s'annule pas sur I, pour tout entier
,
un est dérivable et • Si u est strictement positive sur I,
est dérivable sur I et
Exemples
•
•
•
•
Donc
•
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