Dérivation d'une fonction composée - Maxicours

Dérivation d'une fonction composée

Objectifs
- Connaître le théorème
- Savoir réaliser des applications
1. Le théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et prenant des valeurs appartenant à l'intervalle et soit g une fonction définie sur J (donc est alors définie sur I).
Quelque soit , si f est dérivable en xo et si g est dérivable en f(x0), alors est dérivable en xo

Et :

Démonstration

Le taux de variation de
en xo est :



Posons y = f(x) et yo = f(xo),

D'après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, lorsque x tend vers xo, y tend vers yo et tend vers .
D'autre part, tend vers , d'où le résultat.
2. Applications
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I

•    est dérivable sur I et

•    est dérivable sur I et

•  Pour tout entier , un est dérivable sur I et

•  Si u ne s'annule pas sur I, pour tout entier , un est dérivable et

•  Si u est strictement positive sur I, est dérivable sur I et

Exemples

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