Produit scalaire dans le plan
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Objectifs :
- Connaître les définitions du produit scalaire
en fonction de la colinéarité des vecteurs
- Savoir identifier des vecteurs orthogonaux
- Comprendre le carré scalaire et la norme d'un vecteur
- Savoir utiliser les propriétés associées
- Savoir identifier des vecteurs orthogonaux
- Comprendre le carré scalaire et la norme d'un vecteur
- Savoir utiliser les propriétés associées
1. Définitions
Notation
Le produit scalaire des vecteurs est noté
Le produit scalaire des vecteurs est noté
Vecteurs
colinéaires
Si sont colinéaires et de même sens, alors
Si sont colinéaires et de même sens, alors
Si sont colinéaires et de sens contraires,
alors
Vecteurs non-colinéaires
Si sont non-colinéaires et si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors
donc :
• Si
• Si
Exemple
Le triangle ABC est tel que AC = 5 et AB = 6. H est le projeté orthogonal de C sur (AB). AH = 3.
Remarque : Si l'on utilise le cosinus de l'angle , les définitions ci-dessus se traduisent par : "quels que soient A, B et C,
Formule
générale
Le produit scalaire des vecteurs est le nombre tel que :
• Si
• Si
Le produit scalaire des vecteurs est le nombre tel que :
• Si
• Si
Exemple
ABC est un triangle équilatéral de côté 1, D
2. Vecteurs orthogonaux
Définition
Les vecteurs sont dits "orthogonaux"...
• Si
• Ou si ont des directions perpendiculaires
Les vecteurs sont dits "orthogonaux"...
• Si
• Ou si ont des directions perpendiculaires
Théorème
sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :
sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :
3. Carré scalaire - Norme d'un vecteur
Définitions
Le carré scalaire du vecteur , noté est le produit scalaire du vecteur par lui-même, .
La norme du vecteur notée est le nombre tel que :
Si
Le carré scalaire du vecteur , noté est le produit scalaire du vecteur par lui-même, .
La norme du vecteur notée est le nombre tel que :
Si
Exemple
(OI) et (OJ) sont deux droites perpendiculaires. OI = 1, OJ = 2,
sont orthogonaux donc
Les normes des vecteurs sont :
4. Propriétés associées
Formules
Quels que soient les vecteurs et le nombre a :
Quels que soient les vecteurs et le nombre a :
Exemple
Quels que soient O, A, B et C :
Conséquences
Quels que soient :
Les techniques de calcul concernant le produit scalaire sont les mêmes que celles de l'addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres réels.
Quels que soient :
Les techniques de calcul concernant le produit scalaire sont les mêmes que celles de l'addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres réels.
Exemple
Si dans un repère orthonormal (où
les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1), le
vecteur a pour coordonnées le
couple (x; y) et le vecteur , le couple (x'; y'), alors
Exemple 1
Si dans un repère orthonormal,
En effet, on a :
Exemple 2
Si dans un repère orthonormal, alors ABC est un triangle rectangle et isocèle. En effet :
donc sont orthogonaux et le triangle ABC est rectangle en A.
Donc AB = AC = et le triangle ABC est isocèle en A.
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