Produit scalaire dans le plan - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Produit scalaire dans le plan

Objectifs :
- Connaître les définitions du produit scalaire en fonction de la colinéarité des vecteurs
- Savoir identifier des vecteurs orthogonaux
- Comprendre le carré scalaire et la norme d'un vecteur
- Savoir utiliser les propriétés associées

1. Définitions
Notation

Le produit scalaire des vecteurs est noté

Vecteurs colinéaires

Si sont colinéaires et de même sens, alors
Si sont colinéaires et de sens contraires, alors
 

Vecteurs non-colinéaires

Si sont non-colinéaires et si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors
donc :

• Si


• Si

Exemple

Le triangle ABC est tel que AC = 5 et AB = 6. H est le projeté orthogonal de C sur (AB). AH = 3.

 

Remarque : Si l'on utilise le cosinus de l'angle , les définitions ci-dessus se traduisent par : "quels que soient A, B et C,
 
Formule générale

Le produit scalaire des vecteurs est le nombre tel que :

• Si
• Si

Exemple

ABC est un triangle équilatéral de côté 1, D



 

2. Vecteurs orthogonaux
Définition

Les vecteurs sont dits "orthogonaux"...

• Si
• Ou si ont des directions perpendiculaires



Théorème

sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :
3. Carré scalaire - Norme d'un vecteur
Définitions

Le carré scalaire du vecteur , noté est le produit scalaire du vecteur par lui-même, .

La norme du vecteur notée est le nombre tel que :
Si

Exemple

(OI) et (OJ) sont deux droites perpendiculaires. OI = 1, OJ = 2,
sont orthogonaux donc
Les normes des vecteurs sont :
4. Propriétés associées
Formules

Quels que soient les vecteurs et le nombre a :

Exemple

Quels que soient O, A, B et C :

 

Conséquences

Quels que soient :



Les techniques de calcul concernant le produit scalaire sont les mêmes que celles de l'addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres réels.


Exemple


Si dans un repère orthonormal (où les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1), le vecteur a pour coordonnées le couple (x; y) et le vecteur , le couple (x'; y'), alors

Exemple 1

Si dans un repère orthonormal,
En effet, on a :

Exemple 2

Si dans un repère orthonormal, alors ABC est un triangle rectangle et isocèle. En effet :

donc sont orthogonaux et le triangle ABC est rectangle en A.


Donc AB = AC = et le triangle ABC est isocèle en A. 

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