Produit scalaire dans le plan
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Savoir identifier des vecteurs orthogonaux
- Comprendre le carré scalaire et la norme d'un vecteur
- Savoir utiliser les propriétés associées
Le produit scalaire des vecteurs
est noté
Si
sont colinéaires et de même sens,
alors 
sont colinéaires et de sens contraires,
alors 
Vecteurs non-colinéaires
Si
sont non-colinéaires et si H est le
projeté orthogonal de C sur (AB), alors
donc :• Si
• Si
Exemple
Le triangle ABC est tel que AC = 5 et AB = 6. H est le projeté orthogonal de C sur (AB). AH = 3.
Remarque : Si l'on utilise le cosinus de l'angle
, les définitions
ci-dessus se traduisent par : "quels que soient A, B et
C, 
Le produit scalaire des vecteurs
est le nombre tel que
:• Si
• Si
Exemple
ABC est un triangle équilatéral de côté 1, D
Les vecteurs
sont dits "orthogonaux"...• Si
• Ou si
ont des directions perpendiculaires
sont orthogonaux si et
seulement si leur produit scalaire est nul : 
Le carré scalaire du vecteur
, noté 
est le produit scalaire du vecteur 
par lui-même, 
.La norme du vecteur
notée 
est le nombre tel que
:
Si
Exemple
(OI) et (OJ) sont deux droites perpendiculaires. OI = 1, OJ = 2,
sont orthogonaux donc 
Les normes des vecteurs sont :
Quels que soient les vecteurs
et le nombre a :
Exemple
Quels que soient O, A, B et C :
Quels que soient
:
Les techniques de calcul concernant le produit scalaire sont les mêmes que celles de l'addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres réels.
Exemple
a pour coordonnées le
couple (x; y) et le vecteur 
, le couple (x'; y'), alors
Exemple 1
Si dans un repère orthonormal,
En effet, on a :
Exemple 2
Si dans un repère orthonormal,
alors ABC est un triangle
rectangle et isocèle. En effet :
donc 
sont orthogonaux et le triangle ABC est rectangle en
A.
Donc AB = AC =
et le triangle ABC est
isocèle en A.
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