Produit scalaire dans le plan
Objectifs :
- Connaître les définitions du produit scalaire
en fonction de la colinéarité des vecteurs
- Savoir identifier des vecteurs orthogonaux
- Comprendre le carré scalaire et la norme d'un vecteur
- Savoir utiliser les propriétés associées
- Savoir identifier des vecteurs orthogonaux
- Comprendre le carré scalaire et la norme d'un vecteur
- Savoir utiliser les propriétés associées
1. Définitions
Notation
Le produit scalaire des vecteurs
est noté
Le produit scalaire des vecteurs
est noté
Vecteurs
colinéaires
Si
sont colinéaires et de même sens,
alors 
Si
sont colinéaires et de même sens,
alors
Si 
sont colinéaires et de sens contraires,
alors 
sont colinéaires et de sens contraires,
alors
Vecteurs non-colinéaires
Si
sont non-colinéaires et si H est le
projeté orthogonal de C sur (AB), alors
donc :• Si
• Si
Exemple
Le triangle ABC est tel que AC = 5 et AB = 6. H est le projeté orthogonal de C sur (AB). AH = 3.
Remarque : Si l'on utilise le cosinus de l'angle
, les définitions
ci-dessus se traduisent par : "quels que soient A, B et
C, 
Formule
générale
Le produit scalaire des vecteurs
est le nombre tel que
:
• Si
• Si
Le produit scalaire des vecteurs
est le nombre tel que
:• Si
• Si
Exemple
ABC est un triangle équilatéral de côté 1, D
2. Vecteurs orthogonaux
Définition
Les vecteurs
sont dits "orthogonaux"...
• Si
• Ou si
ont des directions perpendiculaires
Les vecteurs
sont dits "orthogonaux"...• Si
• Ou si
ont des directions perpendiculaires
Théorème
sont orthogonaux si et
seulement si leur produit scalaire est nul : 
sont orthogonaux si et
seulement si leur produit scalaire est nul :
3. Carré scalaire - Norme d'un vecteur
Définitions
Le carré scalaire du vecteur
, noté 
est le produit scalaire du vecteur 
par lui-même, 
.
La norme du vecteur
notée 
est le nombre tel que
:
Si
Le carré scalaire du vecteur
, noté est le produit scalaire du vecteur par lui-même, .La norme du vecteur
notée est le nombre tel que
:Si
Exemple
(OI) et (OJ) sont deux droites perpendiculaires. OI = 1, OJ = 2,
sont orthogonaux donc 
Les normes des vecteurs sont :
4. Propriétés associées
Formules
Quels que soient les vecteurs
et le nombre a :
Quels que soient les vecteurs
et le nombre a :
Exemple
Quels que soient O, A, B et C :
Conséquences
Quels que soient
:
Les techniques de calcul concernant le produit scalaire sont les mêmes que celles de l'addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres réels.
Quels que soient
:Les techniques de calcul concernant le produit scalaire sont les mêmes que celles de l'addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres réels.
Exemple
Si dans un repère orthonormal (où
les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1), le
vecteur 
a pour coordonnées le
couple (x; y) et le vecteur 
, le couple (x'; y'), alors
a pour coordonnées le
couple (x; y) et le vecteur , le couple (x'; y'), alors
Exemple 1
Si dans un repère orthonormal,
En effet, on a :
Exemple 2
Si dans un repère orthonormal,
alors ABC est un triangle
rectangle et isocèle. En effet :
donc 
sont orthogonaux et le triangle ABC est rectangle en
A.
Donc AB = AC =
et le triangle ABC est
isocèle en A.
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