Fiche de cours

Le raisonnement par récurrence

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Objectifs :
- Comprendre le principe de récurrence
- Connaître son utilisation
- S'exercer sur le calcul des sommes

1. Le principe de récurrence
a. Exemple de mise en place
Dans les prochaines années, la météorologie fonctionnera sur le principe suivant : "S'il fait beau toute une journée alors il fera beau toute la journée du lendemain".
Vous vous réveillez un matin et il fait beau toute la journée. Et bien selon le principe établi, il fera beau le lendemain, le surlendemain et ainsi de suite. Il fera beau tous les jours à partir du premier jour de beau temps!

L'exemple précédent se traduit mathématiquement comme suit :

► Soit la propriété Pn : "Il fait beau tout le jour n"

► Le principe météorologique "S'il fait beau toute une journée alors il fera beau toute la journée du lendemain" se traduit par : (Pn est vraie) (Pn+1 est vraie)

Ce qui signifie : "Si (Pn est vraie) alors (Pn+1 est vraie)", on dit que la propriété Pn est héréditaire.

► Le premier jour de beau temps permet d'écrire que P1 est vraie, on dit que la récurrence est fondée. On peut donc conclure que pour tout entier n non-nul, que Pn est vraie.
b. Définition du principe de récurrence
Soit une propriété Pn.

Si (Pn est vraie) (Pn+1 est vraie) et s'il existe un entier q tel que Pq est vraie, alors pour tout entier , Pn est vraie.

Les deux hypothèses sont fondamentales
: l'hérédité bien sûr mais aussi le fait que la récurrence soit fondée.

En effet, pour revenir à l'exemple précédent, s'il n'y a aucune journée de beau temps pour amorcer le raisonnement, la propriété Pn sera toujours fausse.
2. Utilisation de ce théorème
► Montrons que pour tout entier n, le nombre   est un multiple de 3

Posons Pn : est un multiple de 3

est un multiple de 3 donc Po est vraie, la récurrence est fondée.

Montrons que Pn est héréditaire. On suppose donc que pour un certain entier n, Pn est vraie (ceci est appelée l'hypothèse de récurrence).

Ceci se traduit par : "Il existe un entier q tel que "

Montrons que Pn+1 est vraie (c'est-à-dire montrons qu'il existe un entier k tel que ).



Conclusion : Pour tout entier n, le nombre est un multiple de 3.


► Soit la suite de termes positifs définies par :
Montrons par récurrence que est croissante


• Soit Pn la propriété : , donc Po est vraie. La récurrence est fondée.

• Supposons que Pn est vraie et montrons que Pn+1 est vraie, donc que

Par l'hypothèse de récurrence:


 

Conclusion : la suite est une suite croissante.

3. Application aux calculs de sommes
Le principe de récurrence permet de démontrer que

On pose et la proposition Pn définie par "la somme des termes d'une suite arithmétique est égale à : "

• Calculons les premiers termes :
L'égalité proposée est donc vraie pour n = 1 et n = 2. La récurrence est donc fondée.

• Supposons que Pn est vraie et montrons que Pn+1 est vraie, c'est-à-dire que :. Or :



La dernière étape peut être vérifiée de deux façons : soit en développant (n+2)(2n+3) soit en remarquant que -2 est racine du trinôme puis en factorisant. Donc pour tout entier non-nul :

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