Le raisonnement par récurrence
Objectifs :
- Comprendre le principe de récurrence
- Connaître son utilisation
- S'exercer sur le calcul des sommes
- Connaître son utilisation
- S'exercer sur le calcul des sommes
1. Le principe de récurrence
a. Exemple de mise en place
Dans les prochaines années, la
météorologie fonctionnera sur le principe
suivant : "S'il fait beau toute une journée alors
il fera beau toute la journée du lendemain".
Vous vous réveillez un matin et il fait beau toute la journée. Et bien selon le principe établi, il fera beau le lendemain, le surlendemain et ainsi de suite. Il fera beau tous les jours à partir du premier jour de beau temps!
L'exemple précédent se traduit mathématiquement comme suit :
► Soit la propriété Pn : "Il fait beau tout le jour n"
► Le principe météorologique "S'il fait beau toute une journée alors il fera beau toute la journée du lendemain" se traduit par : (Pn est vraie)
(Pn+1 est vraie)
Ce qui signifie : "Si (Pn est vraie) alors (Pn+1 est vraie)", on dit que la propriété Pn est héréditaire.
► Le premier jour de beau temps permet d'écrire que P1 est vraie, on dit que la récurrence est fondée. On peut donc conclure que pour tout entier n non-nul, que Pn est vraie.
Vous vous réveillez un matin et il fait beau toute la journée. Et bien selon le principe établi, il fera beau le lendemain, le surlendemain et ainsi de suite. Il fera beau tous les jours à partir du premier jour de beau temps!
L'exemple précédent se traduit mathématiquement comme suit :
► Soit la propriété Pn : "Il fait beau tout le jour n"
► Le principe météorologique "S'il fait beau toute une journée alors il fera beau toute la journée du lendemain" se traduit par : (Pn est vraie)
(Pn+1 est vraie)Ce qui signifie : "Si (Pn est vraie) alors (Pn+1 est vraie)", on dit que la propriété Pn est héréditaire.
► Le premier jour de beau temps permet d'écrire que P1 est vraie, on dit que la récurrence est fondée. On peut donc conclure que pour tout entier n non-nul, que Pn est vraie.
b. Définition du principe de
récurrence
Soit une propriété Pn.
Si (Pn est vraie)
(Pn+1 est vraie) et s'il existe un entier
q tel que Pq est vraie, alors pour tout
entier 
, Pn est vraie.
Si (Pn est vraie)
(Pn+1 est vraie) et s'il existe un entier
q tel que Pq est vraie, alors pour tout
entier , Pn est vraie.
Les deux hypothèses sont fondamentales : l'hérédité bien sûr mais aussi le fait que la récurrence soit fondée.
En effet, pour revenir à l'exemple précédent, s'il n'y a aucune journée de beau temps pour amorcer le raisonnement, la propriété Pn sera toujours fausse.
2. Utilisation de ce théorème
► Montrons que pour tout entier n, le nombre
est un multiple de
3
Posons Pn :
est un
multiple de 3
•
est
un multiple de 3 donc Po est vraie, la
récurrence est fondée.
• Montrons que Pn est héréditaire. On suppose donc que pour un certain entier n, Pn est vraie (ceci est appelée l'hypothèse de récurrence).
Ceci se traduit par : "Il existe un entier q tel que
"
• Montrons que Pn+1 est vraie (c'est-à-dire montrons qu'il existe un entier k tel que
).
• Conclusion : Pour tout entier n, le nombre
est
un multiple de 3.
► Soit la suite
de termes positifs
définies par : 
Montrons par récurrence que
est
croissante
• Soit Pn la propriété :
,
donc Po est vraie. La récurrence est
fondée.
• Supposons que Pn est vraie et montrons que Pn+1 est vraie, donc que
Par l'hypothèse de récurrence:
est un multiple de
3Posons Pn :
est un
multiple de 3•
est
un multiple de 3 donc Po est vraie, la
récurrence est fondée.• Montrons que Pn est héréditaire. On suppose donc que pour un certain entier n, Pn est vraie (ceci est appelée l'hypothèse de récurrence).
Ceci se traduit par : "Il existe un entier q tel que
"• Montrons que Pn+1 est vraie (c'est-à-dire montrons qu'il existe un entier k tel que
).• Conclusion : Pour tout entier n, le nombre
est
un multiple de 3.► Soit la suite
de termes positifs
définies par : Montrons par récurrence que
est
croissante• Soit Pn la propriété :
,
donc Po est vraie. La récurrence est
fondée.• Supposons que Pn est vraie et montrons que Pn+1 est vraie, donc que
Par l'hypothèse de récurrence:
• Conclusion : la suite 
est une suite croissante.
3. Application aux calculs de sommes
Le principe de récurrence permet de démontrer
que 
On pose
et la
proposition Pn définie par "la somme des
termes d'une suite arithmétique est égale
à : 
"
• Calculons les premiers termes :
L'égalité proposée est donc vraie pour n = 1 et n = 2. La récurrence est donc fondée.
• Supposons que Pn est vraie et montrons que Pn+1 est vraie, c'est-à-dire que :
.
Or :
La dernière étape peut être vérifiée de deux façons : soit en développant (n+2)(2n+3) soit en remarquant que -2 est racine du trinôme puis en factorisant. Donc pour tout entier non-nul :
On pose
et la
proposition Pn définie par "la somme des
termes d'une suite arithmétique est égale
à : "• Calculons les premiers termes :
L'égalité proposée est donc vraie pour n = 1 et n = 2. La récurrence est donc fondée.
• Supposons que Pn est vraie et montrons que Pn+1 est vraie, c'est-à-dire que :
.
Or :La dernière étape peut être vérifiée de deux façons : soit en développant (n+2)(2n+3) soit en remarquant que -2 est racine du trinôme puis en factorisant. Donc pour tout entier non-nul :
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