Le raisonnement par récurrence
- Connaître son utilisation
- S'exercer sur le calcul des sommes
Vous vous réveillez un matin et il fait beau toute la journée. Et bien selon le principe établi, il fera beau le lendemain, le surlendemain et ainsi de suite. Il fera beau tous les jours à partir du premier jour de beau temps!
L'exemple précédent se traduit mathématiquement comme suit :
► Soit la propriété Pn : "Il fait beau tout le jour n"
► Le principe météorologique "S'il fait beau toute une journée alors il fera beau toute la journée du lendemain" se traduit par : (Pn est vraie)

Ce qui signifie : "Si (Pn est vraie) alors (Pn+1 est vraie)", on dit que la propriété Pn est héréditaire.
► Le premier jour de beau temps permet d'écrire que P1 est vraie, on dit que la récurrence est fondée. On peut donc conclure que pour tout entier n non-nul, que Pn est vraie.
Si (Pn est vraie)


Les deux hypothèses sont fondamentales : l'hérédité bien sûr mais aussi le fait que la récurrence soit fondée.
En effet, pour revenir à l'exemple précédent, s'il n'y a aucune journée de beau temps pour amorcer le raisonnement, la propriété Pn sera toujours fausse.

Posons Pn :

•

• Montrons que Pn est héréditaire. On suppose donc que pour un certain entier n, Pn est vraie (ceci est appelée l'hypothèse de récurrence).
Ceci se traduit par : "Il existe un entier q tel que

• Montrons que Pn+1 est vraie (c'est-à-dire montrons qu'il existe un entier k tel que


• Conclusion : Pour tout entier n, le nombre

► Soit la suite


Montrons par récurrence que

• Soit Pn la propriété :


• Supposons que Pn est vraie et montrons que Pn+1 est vraie, donc que

Par l'hypothèse de récurrence:

• Conclusion : la suite
est une suite croissante.

On pose


• Calculons les premiers termes :

L'égalité proposée est donc vraie pour n = 1 et n = 2. La récurrence est donc fondée.
• Supposons que Pn est vraie et montrons que Pn+1 est vraie, c'est-à-dire que :


La dernière étape peut être vérifiée de deux façons : soit en développant (n+2)(2n+3) soit en remarquant que -2 est racine du trinôme puis en factorisant. Donc pour tout entier non-nul :


Fiches de cours les plus recherchées


Des profs en ligne
- 6 j/7 de 17 h à 20 h
- Par chat, audio, vidéo
- Sur les matières principales

Des ressources riches
- Fiches, vidéos de cours
- Exercices & corrigés
- Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques
- Coach virtuel
- Quiz interactifs
- Planning de révision

Des tableaux de bord
- Suivi de la progression
- Score d’assiduité
- Un compte Parent