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Primitives d'une fonction

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Objectifs :

- Comprendre la définition

- Mettre en place l'existence d'un ensemble de primitives d'une fonction et, de son unicité s'il y a une condition initiale

- Connaître le tableau des primitives usuelles

1. Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que pour tout

Remarque : Une fonction est notée par une minuscule et sa primitive (lorsqu'elle existe) est notée par la majuscule correspondante.

Exemples

2. Ensemble des primitives d'une fonction - unicité de la primitive si condition initiale

Théorème

Soit f une fonction définie sur I et qui admet une primitive F sur I, alors :

• Pour tout k réel, si

, G est une primitive de f sur I.

• Toute primitive de f est égale à la somme de F et d'une constante, c'est-à-dire G est une primitive de f sur I équivaut à "il existe k, réel, tel que

Exemple

Soit

est une primitive de f

G est une primitive de f sur I équivaut à : il existe k, réel, tel que

Théorème

Si f est une fonction admettant des primitives sur un intervalle I et si x₀ est un réel de I et y₀, un réel, alors il existe une primitive G de f sur I, et une seule, telle que :

Exemple

Si

, toute primitive G de f est de la forme

avec k réel.
La seule primitive de f satisfaisant à la condition

3. Tableau des primitives usuelles

I est un intervalle	Fonction	Une primitive F de f sur I est F:x
	0	c
	1	x + c
	k	kx + c
	x

Soient u et v deux fonctions admettant pour primitives respectives, sur un même intervalle I, les fonctions U et V (avec k, réel). Alors :

• U + V est une primitive de u + v sur I
• kU est une primitive de ku sur I

Exemple

Soit