Primitives d'une fonction - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Primitives d'une fonction

Objectifs :
- Comprendre la définition

- Mettre en place l'existence d'un ensemble de primitives d'une fonction et, de son unicité s'il y a une condition initiale

- Connaître le tableau des primitives usuelles

1. Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que pour tout
Remarque : Une fonction est notée par une minuscule et sa primitive (lorsqu'elle existe) est notée par la majuscule correspondante.

Exemples


2. Ensemble des primitives d'une fonction - unicité de la primitive si condition initiale
Théorème

Soit f une fonction définie sur I et qui admet une primitive F sur I, alors :

• Pour tout k réel, si , G est une primitive de f sur I.

• Toute primitive de f est égale à la somme de F et d'une constante, c'est-à-dire G est une primitive de f sur I équivaut à "il existe k, réel, tel que "
 
Exemple

Soit

est une primitive de f

G est une primitive de f sur I équivaut à : il existe k, réel, tel que
Théorème

Si f est une fonction admettant des primitives sur un intervalle I et si x0 est un réel de I et y0, un réel, alors il existe une primitive G de f sur I, et une seule, telle que :

Exemple

Si , toute primitive G de f est de la forme avec k réel.
La seule primitive de f satisfaisant à la condition
3. Tableau des primitives usuelles
I est un intervalle Fonction Une primitive F de f sur I est F:x
0 c
1 x + c
k kx + c
x

 
Soient u et v deux fonctions admettant pour primitives respectives, sur un même intervalle I, les fonctions U et V (avec k, réel). Alors :

• U + V est une primitive de u + v sur I
• kU est une primitive de ku sur I

Exemple

Soit

Une primitive de

Et une primitive de

Donc une primitive F de f est donnée par

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