Primitives d'une fonction
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Objectifs :
- Comprendre la définition
- Mettre en place l'existence d'un ensemble de primitives d'une fonction et, de son unicité s'il y a une condition initiale
- Connaître le tableau des primitives usuelles
- Mettre en place l'existence d'un ensemble de primitives d'une fonction et, de son unicité s'il y a une condition initiale
- Connaître le tableau des primitives usuelles
1. Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F
dérivable sur I telle que pour tout
Remarque : Une fonction
est notée par une minuscule et sa primitive
(lorsqu'elle existe) est notée par la majuscule
correspondante.
Exemples

2. Ensemble des primitives d'une fonction -
unicité de la primitive si condition initiale
Théorème
Soit f une fonction définie sur I et qui admet une primitive F sur I, alors :
• Pour tout k réel, si
, G est une primitive de f sur
I.
• Toute primitive de f est égale à la somme de F et d'une constante, c'est-à-dire G est une primitive de f sur I équivaut à "il existe k, réel, tel que
"
Soit f une fonction définie sur I et qui admet une primitive F sur I, alors :
• Pour tout k réel, si

• Toute primitive de f est égale à la somme de F et d'une constante, c'est-à-dire G est une primitive de f sur I équivaut à "il existe k, réel, tel que

Exemple
Soit


G est une primitive de f sur I équivaut à : il existe k, réel, tel que

Théorème
Si f est une fonction admettant des primitives sur un intervalle I et si x0 est un réel de I et y0, un réel, alors il existe une primitive G de f sur I, et une seule, telle que :
Si f est une fonction admettant des primitives sur un intervalle I et si x0 est un réel de I et y0, un réel, alors il existe une primitive G de f sur I, et une seule, telle que :

Exemple
Si


La seule primitive de f satisfaisant à la condition

3. Tableau des primitives usuelles
I est un intervalle |
Fonction ![]() |
Une primitive F de f sur I est F:x![]() |
![]() |
0 | c |
![]() |
1 | x + c |
![]() |
k | kx + c |
![]() |
x |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Soient u et v deux fonctions admettant pour primitives
respectives, sur un même intervalle I, les
fonctions U et V (avec k, réel). Alors :
• U + V est une primitive de u + v sur I
• kU est une primitive de ku sur I
• U + V est une primitive de u + v sur I
• kU est une primitive de ku sur I
Exemple
Soit

Une primitive de

Et une primitive de

Donc une primitive F de f est donnée par

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