Primitives d'une fonction
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Objectifs :
- Comprendre la définition
- Mettre en place l'existence d'un ensemble de primitives d'une fonction et, de son unicité s'il y a une condition initiale
- Connaître le tableau des primitives usuelles
- Mettre en place l'existence d'un ensemble de primitives d'une fonction et, de son unicité s'il y a une condition initiale
- Connaître le tableau des primitives usuelles
1. Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F
dérivable sur I telle que pour tout 
Remarque : Une fonction
est notée par une minuscule et sa primitive
(lorsqu'elle existe) est notée par la majuscule
correspondante.
Exemples
2. Ensemble des primitives d'une fonction -
unicité de la primitive si condition initiale
Théorème
Soit f une fonction définie sur I et qui admet une primitive F sur I, alors :
• Pour tout k réel, si
, G est une primitive de f sur
I.
• Toute primitive de f est égale à la somme de F et d'une constante, c'est-à-dire G est une primitive de f sur I équivaut à "il existe k, réel, tel que
"
Soit f une fonction définie sur I et qui admet une primitive F sur I, alors :
• Pour tout k réel, si
, G est une primitive de f sur
I.• Toute primitive de f est égale à la somme de F et d'une constante, c'est-à-dire G est une primitive de f sur I équivaut à "il existe k, réel, tel que
"
Exemple
Soit
est une primitive de fG est une primitive de f sur I équivaut à : il existe k, réel, tel que
Théorème
Si f est une fonction admettant des primitives sur un intervalle I et si x0 est un réel de I et y0, un réel, alors il existe une primitive G de f sur I, et une seule, telle que :
Si f est une fonction admettant des primitives sur un intervalle I et si x0 est un réel de I et y0, un réel, alors il existe une primitive G de f sur I, et une seule, telle que :
Exemple
Si
, toute primitive G de f est de la
forme 
avec k réel.La seule primitive de f satisfaisant à la condition
3. Tableau des primitives usuelles
| I est un intervalle |
Fonction 
|
Une primitive F de f sur I est F:x
|
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0 | c |
|
1 | x + c |
|
k | kx + c |
|
x |
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Soient u et v deux fonctions admettant pour primitives
respectives, sur un même intervalle I, les
fonctions U et V (avec k, réel). Alors :
• U + V est une primitive de u + v sur I
• kU est une primitive de ku sur I
• U + V est une primitive de u + v sur I
• kU est une primitive de ku sur I
Exemple
Soit
Une primitive de
Et une primitive de
Donc une primitive F de f est donnée par
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