Nombres complexes et transformations géométriques

Démonstration

En effet, soient M(z) et M'(z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur est z' - z = a, donc = donc M' est l'image de M dans la translation de vecteur .

Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) dans la translation de vecteur d'affixe b, alors z' = z + b.

Exemples

► Si T est la transformation qui à tout point M(z) du plan complexe associe le point M'(z') tel que
z' = z - i + 1, alors T est la translation de vecteur d'affixe -i + 1. En particulier, si R est le point d'affixe -i + 1, alors quel que soit M,

► Soit dans le plan complexe, les points A d'affixe 1 + et B d'affixe .
Si C est l'image du point B dans la translation de vecteur , l'affixe zc de C est :

Démonstration

En effet, soit M(z) et M'(z') les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur est z - ω et l'affixe du vecteur est z' - ω.

z' - ω = k(z - ω) donc , on en déduit que M' est l'image de M dans l'homothétie de centre Ω et de rapport k.

Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) dans l'homothétie de centre Ω et de rapport k, alors z' - ω = k(z - ω).

Exemples

► Si H est la transformation qui à tout point M(z) du plan complexe associe le point M'(z') tel que
z' - 2 + i = 3(z - 2 + i), alors H est l'homothétie de centre Ω(2 - i) et de rapport 3.

► H est l'homothétie de centre Ω(1 + i) et de rapport -2. L'écriture complexe de H est :


Le transformé de A(1 - i) par H est A'(1 + 5i).
Si z = 1 - i alors

Démonstration

En effet, soit M(z) et M'(z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur est z - ω et l'affixe du vecteur est z' - ω.


Ainsi, quel que soit M, ΩM' = ΩM et donc M' est l'image de M par la rotation de centre Ω et d'angle θ.

Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) par la rotation de centre Ω et d'angle θ, alors z' - ω =

Exemples

► R est la transformation qui à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tel que z' = iz.
   et T est la rotation de centre O et d'angle

► Soit la rotation de centre Ω d'affixe 1 - i et d'angle , l'écriture complexe de R est :