Nombres complexes et transformations géométriques
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Objectifs :
- Connaître l'écriture complexe d'une
translation
- Connaître l'écriture complexe d'une homothétie
- Connaître l'écriture complexe d'une rotation
- Connaître l'écriture complexe d'une homothétie
- Connaître l'écriture complexe d'une rotation
1. Écriture complexe d'une translation
Soit a un nombre complexe et
le
vecteur d'affixe a.
La fonction définie dans
admet
pour transformation associée dans le plan complexe
la translation de vecteur

La fonction définie dans


Démonstration
En effet, soient M(z) et M'(z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur
est
z' - z = a, donc
=
donc M' est l'image de M dans la translation de vecteur
.
Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) dans la translation de vecteur
d'affixe
b, alors z' = z + b.
Exemples
► Si T est la transformation qui à tout point M(z) du plan complexe associe le point M'(z') tel que
z' = z - i + 1, alors T est la translation de vecteur
d'affixe
-i + 1. En particulier, si R est le point d'affixe -i +
1, alors quel que soit M, 
► Soit dans le plan complexe, les points A d'affixe 1 +
et
B d'affixe
.
Si C est l'image du point B dans la translation de vecteur
,
l'affixe zc de C est :
En effet, soient M(z) et M'(z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur




Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) dans la translation de vecteur

Exemples
► Si T est la transformation qui à tout point M(z) du plan complexe associe le point M'(z') tel que
z' = z - i + 1, alors T est la translation de vecteur


► Soit dans le plan complexe, les points A d'affixe 1 +


Si C est l'image du point B dans la translation de vecteur


2. Écriture complexe d'une homothétie
Soit Ω un point d'affixe ω et k, un
réel non-nul.
La fonction définie dans
admet pour transformation associée dans le plan
complexe l'homothétie de centre Ω et de
rapport k.
La fonction définie dans

Démonstration
En effet, soit M(z) et M'(z') les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur


z' - ω = k(z - ω) donc

Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) dans l'homothétie de centre Ω et de rapport k, alors z' - ω = k(z - ω).
Exemples
► Si H est la transformation qui à tout point M(z) du plan complexe associe le point M'(z') tel que
z' - 2 + i = 3(z - 2 + i), alors H est l'homothétie de centre Ω(2 - i) et de rapport 3.
► H est l'homothétie de centre Ω(1 + i) et de rapport -2. L'écriture complexe de H est :

Le transformé de A(1 - i) par H est A'(1 + 5i).
Si z = 1 - i alors

3. Écriture complexe d'une rotation
Soit Ω un point d'affixe ω et θ un
réel.
la fonction définie dans
admet pour transformation associée dans le plan
complexe la rotation de centre Ω et d'angle
θ.
la fonction définie dans

Démonstration
En effet, soit M(z) et M'(z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur



Ainsi, quel que soit M, ΩM' = ΩM et

Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) par la rotation de centre Ω et d'angle θ, alors z' - ω =

Exemples
► R est la transformation qui à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tel que z' = iz.


► Soit la rotation de centre Ω d'affixe 1 - i et d'angle


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