Nombres complexes et transformations géométriques
Objectifs :
- Connaître l'écriture complexe d'une
translation
- Connaître l'écriture complexe d'une homothétie
- Connaître l'écriture complexe d'une rotation
- Connaître l'écriture complexe d'une homothétie
- Connaître l'écriture complexe d'une rotation
1. Écriture complexe d'une translation
Soit a un nombre complexe et 
le
vecteur d'affixe a.
La fonction définie dans
admet
pour transformation associée dans le plan complexe
la translation de vecteur 
le
vecteur d'affixe a.La fonction définie dans
admet
pour transformation associée dans le plan complexe
la translation de vecteur
Démonstration
En effet, soient M(z) et M'(z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur
est
z' - z = a, donc 
=
donc M' est l'image de M dans la translation de vecteur
.
Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) dans la translation de vecteur
d'affixe
b, alors z' = z + b.
Exemples
► Si T est la transformation qui à tout point M(z) du plan complexe associe le point M'(z') tel que
z' = z - i + 1, alors T est la translation de vecteur
d'affixe
-i + 1. En particulier, si R est le point d'affixe -i +
1, alors quel que soit M, 
► Soit dans le plan complexe, les points A d'affixe 1 +
et
B d'affixe 
.
Si C est l'image du point B dans la translation de vecteur
,
l'affixe zc de C est :
En effet, soient M(z) et M'(z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur
est
z' - z = a, donc =
donc M' est l'image de M dans la translation de vecteur
.Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) dans la translation de vecteur
d'affixe
b, alors z' = z + b.Exemples
► Si T est la transformation qui à tout point M(z) du plan complexe associe le point M'(z') tel que
z' = z - i + 1, alors T est la translation de vecteur
d'affixe
-i + 1. En particulier, si R est le point d'affixe -i +
1, alors quel que soit M, ► Soit dans le plan complexe, les points A d'affixe 1 +
et
B d'affixe .Si C est l'image du point B dans la translation de vecteur
,
l'affixe zc de C est :
2. Écriture complexe d'une homothétie
Soit Ω un point d'affixe ω et k, un
réel non-nul.
La fonction définie dans
admet pour transformation associée dans le plan
complexe l'homothétie de centre Ω et de
rapport k.
La fonction définie dans
admet pour transformation associée dans le plan
complexe l'homothétie de centre Ω et de
rapport k.
Démonstration
En effet, soit M(z) et M'(z') les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur
est
z - ω et l'affixe du vecteur 
est z'
- ω.z' - ω = k(z - ω) donc
, on en
déduit que M' est l'image de M dans
l'homothétie de centre Ω et de rapport
k.Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) dans l'homothétie de centre Ω et de rapport k, alors z' - ω = k(z - ω).
Exemples
► Si H est la transformation qui à tout point M(z) du plan complexe associe le point M'(z') tel que
z' - 2 + i = 3(z - 2 + i), alors H est l'homothétie de centre Ω(2 - i) et de rapport 3.
► H est l'homothétie de centre Ω(1 + i) et de rapport -2. L'écriture complexe de H est :
Le transformé de A(1 - i) par H est A'(1 + 5i).
Si z = 1 - i alors
3. Écriture complexe d'une rotation
Soit Ω un point d'affixe ω et θ un
réel.
la fonction définie dans
admet pour transformation associée dans le plan
complexe la rotation de centre Ω et d'angle
θ.
la fonction définie dans
admet pour transformation associée dans le plan
complexe la rotation de centre Ω et d'angle
θ.
Démonstration
En effet, soit M(z) et M'(z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur
est
z - ω et l'affixe du vecteur 
est z' -
ω.
Ainsi, quel que soit M, ΩM' = ΩM et
donc M' est l'image de M par la rotation de centre
Ω et d'angle θ.Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) par la rotation de centre Ω et d'angle θ, alors z' - ω =
Exemples
► R est la transformation qui à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tel que z' = iz.
et T est la rotation de centre O et d'angle 
► Soit la rotation de centre Ω d'affixe 1 - i et d'angle
,
l'écriture complexe de R est :
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