Nombres complexes et transformations géométriques - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Nombres complexes et transformations géométriques

Objectifs :
- Connaître l'écriture complexe d'une translation
- Connaître l'écriture complexe d'une homothétie
- Connaître l'écriture complexe d'une rotation

1. Écriture complexe d'une translation
Soit a un nombre complexe et le vecteur d'affixe a.

La fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe la translation de vecteur
Démonstration

En effet, soient M(z) et M'(z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur est z' - z = a, donc = donc M' est l'image de M dans la translation de vecteur .

Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) dans la translation de vecteur d'affixe b, alors z' = z + b.

Exemples

► Si T est la transformation qui à tout point M(z) du plan complexe associe le point M'(z') tel que
z' = z - i + 1, alors T est la translation de vecteur d'affixe -i + 1. En particulier, si R est le point d'affixe -i + 1, alors quel que soit M,

► Soit dans le plan complexe, les points A d'affixe 1 + et B d'affixe .
Si C est l'image du point B dans la translation de vecteur , l'affixe zc de C est :
2. Écriture complexe d'une homothétie
Soit Ω un point d'affixe ω et k, un réel non-nul.

La fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe l'homothétie de centre Ω et de rapport k.

Démonstration

En effet, soit M(z) et M'(z') les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur est z - ω et l'affixe du vecteur est z' - ω.

z' - ω = k(z - ω) donc , on en déduit que M' est l'image de M dans l'homothétie de centre Ω et de rapport k.

Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) dans l'homothétie de centre Ω et de rapport k, alors z' - ω = k(z - ω).

Exemples

► Si H est la transformation qui à tout point M(z) du plan complexe associe le point M'(z') tel que
z' - 2 + i = 3(z - 2 + i), alors H est l'homothétie de centre Ω(2 - i) et de rapport 3.

► H est l'homothétie de centre Ω(1 + i) et de rapport -2. L'écriture complexe de H est :


Le transformé de A(1 - i) par H est A'(1 + 5i).
Si z = 1 - i alors
3. Écriture complexe d'une rotation
Soit Ω un point d'affixe ω et θ un réel.

la fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe la rotation de centre Ω et d'angle θ. 

Démonstration

En effet, soit M(z) et M'(z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur est z - ω et l'affixe du vecteur est z' - ω.


Ainsi, quel que soit M, ΩM' = ΩM et donc M' est l'image de M par la rotation de centre Ω et d'angle θ.

Et, réciproquement, on démontre de façon analogue que si le point N'(z') est l'image du point N(z) par la rotation de centre Ω et d'angle θ, alors z' - ω =

Exemples

► R est la transformation qui à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tel que z' = iz.
   et T est la rotation de centre O et d'angle

► Soit la rotation de centre Ω d'affixe 1 - i et d'angle , l'écriture complexe de R est :

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